用疊加模式將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)
——以“一元二次方程求解”為例

南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院 (210024) 朱大龍

以HPM視角來進(jìn)行數(shù)學(xué)教材設(shè)計(jì)和課堂教學(xué)，日益受到教育界關(guān)注.近期在德國(guó)漢堡大學(xué)舉行的第十三屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)中第25個(gè)研究專題強(qiáng)調(diào)，要認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)課堂和教學(xué)中的作用[1].

根據(jù)汪曉勤教授的劃分，數(shù)學(xué)史融入到數(shù)學(xué)教學(xué)的方式主要可分為四種“附加式”、“復(fù)制式”、“順應(yīng)式”、“重構(gòu)式”.“附加式”是指在教學(xué)中，介紹數(shù)學(xué)故事，數(shù)學(xué)家圖片或介紹數(shù)學(xué)符號(hào)、概念的來源的方法. 其可以使教學(xué)更加有趣、生動(dòng)，但過于淺顯，不能挖出知識(shí)的內(nèi)涵. “重構(gòu)式”是指在教學(xué)中借鑒或重構(gòu)知識(shí)的發(fā)生，發(fā)展的歷史，采用發(fā)生法進(jìn)行教學(xué)的方法[2]. 其使教學(xué)順乎知識(shí)的發(fā)展規(guī)律，可以使學(xué)生再創(chuàng)造式的學(xué)習(xí)新知識(shí)，但重構(gòu)難度大，缺少直觀性，易使課堂枯燥.現(xiàn)今，我國(guó)中學(xué)教材對(duì)于數(shù)學(xué)史以歷史故事或歷史題目為主的“附加式”融入居多，而對(duì)于從知識(shí)的歷史源頭，“重構(gòu)式”這種高層次的融入，明顯不足[3].如若將它們結(jié)合起來，在“附加式”中融入“重構(gòu)式”，必然會(huì)使教學(xué)更優(yōu)化.本文以一元二次方程求解教學(xué)片斷及分析為例，探討“附加-重構(gòu)”疊加模式的運(yùn)用.

1.西方一元二次方程的解的發(fā)展史

2.教學(xué)片段及分析

2.1教學(xué)片斷 1 由史引入，數(shù)形結(jié)合

師：在古巴比倫這個(gè)國(guó)家，當(dāng)時(shí)很多人認(rèn)為一塊長(zhǎng)方形的田的面積只與它的周長(zhǎng)有關(guān)，于是有一些商人就靠農(nóng)民認(rèn)知的錯(cuò)誤來占農(nóng)民的便宜，比如他們把4×6的一塊田來當(dāng)成2×8的價(jià)格來買，當(dāng)時(shí)的書記員想辦法解決這個(gè)問題[5].

師：長(zhǎng)方形面積和什么有關(guān)？

生(全體)：長(zhǎng)和寬.

師：正方形的面積呢？

生(全體)：一邊的長(zhǎng)(也有人回答周長(zhǎng)).

師：怎么能使面積由周長(zhǎng)確定了呢？

生1：把它變成正方形.

教學(xué)片斷分析:“附加式”的情境設(shè)置.情境是知識(shí)賴以產(chǎn)生意義的背景，是認(rèn)知學(xué)習(xí)的來源，通過數(shù)學(xué)史設(shè)置情境，能讓學(xué)生體會(huì)到原汁原味的數(shù)學(xué)文化.從相對(duì)輕松的歷史趣事上開始一節(jié)課的內(nèi)容，在一節(jié)課的開始便能吸引學(xué)生的注意力；讓學(xué)生融入到歷史情境中，激發(fā)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的興趣；但學(xué)生還不能一下子找出問題的解決方法，教師要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和歷史發(fā)展，設(shè)置問題，由淺入深、由表及里，引導(dǎo)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)的歷史故事抽象成幾何圖形問題，再將幾何圖形聯(lián)系到一元二次方程，自然而然的在數(shù)與形中發(fā)現(xiàn)求解方法.為重構(gòu)搭建起數(shù)學(xué)史的橋梁.

2.2 教學(xué)片斷2 化長(zhǎng)為方，由形得解

師：長(zhǎng)方形長(zhǎng)y米，寬x米，長(zhǎng)寬之差為2米，面積為15平方米，(在黑板上畫出圖形)，是否可以寫出哪些方程？

生2：y-x=2,xy=15.

生3：可化成一元二次方程(x+2)·x=15.

師：畫出圖1.根據(jù)圖形怎么可以化長(zhǎng)為方？

圖1 圖2

生4：可以用割補(bǔ)法(得到圖2).

師：割補(bǔ)后的正方形面積怎么表示？

生5：(x+1)2.

師：用等式表示正方形面積和長(zhǎng)方形面積的關(guān)系？

生(全體)：(x+1)2=15+12.

師：仔細(xì)觀察這個(gè)方程，有什么發(fā)現(xiàn)？

生6：可以用直接開方法解出x.

生7：得出(x+2)·x=15的解.

教學(xué)片斷分析:承接“附加式”的情境進(jìn)行重構(gòu).學(xué)生學(xué)習(xí)配方法解方程，最困難的地方是如何設(shè)計(jì)教學(xué)，再現(xiàn)配方法的發(fā)現(xiàn)過程.此教學(xué)片斷通過設(shè)疑，問答的方式，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解法.避免了傳統(tǒng)教學(xué)直接給出方程，讓學(xué)生探究如何解方程，這種脫離歷史和生活的教學(xué)方法.而是讓學(xué)生在解決化長(zhǎng)為方的歷史問題中，偶然地得出了方程的解.從而引發(fā)思考是如何得到的解，回頭重視整個(gè)過程，發(fā)現(xiàn)一元二次方程可以表示成長(zhǎng)方形，進(jìn)而通過割補(bǔ)得到一個(gè)完全平方公式，得出解.在數(shù)學(xué)史的發(fā)展中，很多理論的發(fā)現(xiàn)恰恰是偶然的，而讓學(xué)生經(jīng)歷這種偶然，從而進(jìn)行思考總結(jié)自己的這個(gè)偶然發(fā)現(xiàn)，恰恰是當(dāng)今教學(xué)中需要的重構(gòu)學(xué)習(xí)的一種方式.

2.3 教學(xué)片斷 3 類比探究，由形歸數(shù)

師：觀察求解過程，有什么發(fā)現(xiàn)？是否有更簡(jiǎn)單的方法？(板書出過程，如下).

x2+2x-15=0?(x+2)·x=15?(x+1)2=15+12?x2+2x+12=15+12.

生8：與原方程相比，等號(hào)兩邊加上了小正方形的面積，湊成了完全平方的形式.

師：是否可以得出一般的求解方法.

生9：首先將常數(shù)移到等式右邊，然后等式兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，等式左邊可化成完全平方，最后直接開平方求出x.

教學(xué)片斷分析:反思重構(gòu)過程，總結(jié)升華.最初的偶然的發(fā)現(xiàn)往往是不夠完美的，在經(jīng)過最初發(fā)現(xiàn)的驚喜過后，要做的便是回顧、驗(yàn)證、分析、總結(jié)，進(jìn)一步完善自己的發(fā)現(xiàn).在學(xué)生通過化長(zhǎng)為方發(fā)現(xiàn)求方程的解，經(jīng)過短暫的興奮，喜悅之后，教師通過引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考，分析，對(duì)比之前求解的思路，讓學(xué)生最終發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)便，一般的求解方法.

3疊加模式解析

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)是個(gè)綜合的過程，需要發(fā)掘出豐富的數(shù)學(xué)史料，而后將其融入教材，最后再由教師進(jìn)行加工運(yùn)用到教學(xué)中.其中如何發(fā)掘更多史料，如何將數(shù)學(xué)史融入教材需要數(shù)學(xué)史專家、數(shù)學(xué)教育專家、教材編寫人員通過不斷的探索，實(shí)踐來獲得，這是一個(gè)漫長(zhǎng)的過程.但讓教師運(yùn)用和加工現(xiàn)有的史料和教材，如上案例中，使數(shù)學(xué)史“附加-重構(gòu)”疊加式融入教學(xué)中，可以找到一個(gè)普遍的教學(xué)設(shè)計(jì)步驟.

圖3

整理史料：在對(duì)某一個(gè)知識(shí)的講解，你希望融入數(shù)學(xué)史時(shí)，你需要大量搜索與它有關(guān)的歷史資料，不能僅僅滿足教材上提供的一些歷史資料.在材料的選取上需要做到兩點(diǎn)：1、思考你需要設(shè)置什么樣的情境，哪些材料具有代表性適合放入情境中.之后在相關(guān)歷史材料中，提煉出對(duì)你符合要求的歷史材料，為情境設(shè)置做準(zhǔn)備；2、明確知識(shí)是如何產(chǎn)生發(fā)展的.整理出一條主 “脈絡(luò)”，為重構(gòu)做準(zhǔn)備.

歷史情境：以數(shù)學(xué)史料創(chuàng)設(shè)的情境，就是呈現(xiàn)給學(xué)生刺激性數(shù)學(xué)歷史，引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)的文化，激起學(xué)生的好奇心、發(fā)現(xiàn)欲，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，誘發(fā)質(zhì)疑猜想，喚醒強(qiáng)烈的問題意識(shí)，從而使其發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題，解決數(shù)學(xué)問題[5]．利用已整理好的史料，根據(jù)課程需要達(dá)到的效果，直接引用或適當(dāng)改編史料，設(shè)置一個(gè)有歷史，有故事，有啟發(fā)的情境為重構(gòu)做準(zhǔn)備.故事情境是為了文化的顯性表現(xiàn)，重構(gòu)則是為了文化的隱性再創(chuàng)造.

重構(gòu)再現(xiàn)：根據(jù)情境中產(chǎn)生的問題，引導(dǎo)學(xué)生按照整理史料環(huán)節(jié)所制定知識(shí)的歷史 “脈絡(luò)”(引導(dǎo)的方法可多樣化，可通過啟發(fā)、游戲、實(shí)踐等方式)重構(gòu)對(duì)于這部分知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過程.上述教學(xué)片斷中，以通過對(duì)古巴比倫的賣田為情境，讓學(xué)生探討化長(zhǎng)為方的問題，通過教師的巧妙引導(dǎo)，讓學(xué)生探究求解過程，實(shí)現(xiàn)重構(gòu).

反思升華：在讓學(xué)生重現(xiàn)了歷史發(fā)展的過程后，一定要讓學(xué)生自己總結(jié)在這一過程中發(fā)現(xiàn)了什么，怎么發(fā)現(xiàn)的，有什么啟發(fā).從而發(fā)掘出其中的數(shù)學(xué)思想，體味數(shù)學(xué)的文化，鞏固新建構(gòu)的認(rèn)識(shí).

4.反思總結(jié)

本節(jié)課主要通過附加式和重構(gòu)式將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué).整體上看，從由數(shù)到形，化長(zhǎng)為方；到由形到數(shù)，解出方程；最后歸納總結(jié)整個(gè)過程，再現(xiàn)了解一元二次方程的歷史發(fā)展過程，屬于重構(gòu)式.從局部看，利用數(shù)學(xué)史中的一個(gè)歷史故事作為情境設(shè)置，屬于附加式.歷史故事作為情境，可以讓學(xué)生再次回到歷史創(chuàng)造環(huán)境氛圍中去，仿佛身臨其境.而后為了解決情境中的問題，教師通過設(shè)疑，提示，引導(dǎo)學(xué)生重回歷史發(fā)展之路，探索重構(gòu)一元二次方程的解.

數(shù)學(xué)史中包含著豐富的教學(xué)素材和思想養(yǎng)料，包含著不同時(shí)空，各個(gè)數(shù)學(xué)家的探索精神和創(chuàng)新思維[6]，如果全然拋棄這些歷史素材，數(shù)學(xué)課堂就變成了一個(gè)“模仿作坊”，學(xué)生學(xué)習(xí)到的只是單調(diào)的定理，公式，學(xué)到的只是一具數(shù)學(xué)的軀殼，沒有靈魂的數(shù)學(xué).自然，學(xué)生無法體會(huì)到歷史中數(shù)學(xué)家的思維之妙，也不能感受多元文化.“附加-重構(gòu)”疊加式融入數(shù)學(xué)史，這一模式，既有“附加”讓學(xué)生直觀體會(huì)到數(shù)學(xué)的歷史、文化，又有“重構(gòu)”讓學(xué)生再創(chuàng)造式的探索發(fā)現(xiàn)知識(shí)，體會(huì)到數(shù)學(xué)家們精妙的思想，感受數(shù)學(xué)的魅力.

[1]徐斌艷.2016年相聚在第十三屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2016，(6):1-3.

[2]汪曉勤.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[J].教育研究與評(píng)論，2014，(1)：8-14.

[3]劉超.人教版初中、高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史的調(diào)查分析[J] .基礎(chǔ)教育，2011，(8-2)：99-105.

[4]VICTOR J . KATZ.數(shù)學(xué)史通論(第二版)[M] .高等教育出版社，1980.28-31.

[5]呂傳漢，汪秉彝.再論中小學(xué)“數(shù)學(xué)情境與提出問題”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002，(4)：73-76.

[6]汪曉勤.20世紀(jì)中葉以前的正弦定理歷史[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2016，(1)：1-5.