加權平均指數跳—擴散模型下障礙期權的數值解

摘 要 路徑依賴型期權的解析定價是期權定價的核心問題。將雙指數-跳擴散模型進行延伸，提出加權平均指數跳-擴散模型。模型中，資產價格的跳躍為指數分布的加權平均。在風險中性測度下，給出上升入局看漲障礙期權的定價公式，然后對上升入局看漲障礙期權價格做二重拉普拉斯變換，并利用歐拉反演算和蒙特卡羅模擬兩方法種得到了上升入局看漲障礙期權價格的數值結果。數值結果表明，歐拉反演算法得到的數值結果均在用蒙特卡羅模擬法得到的數值結果的置信水平為95%的置信區間內。其它障礙期權的價格可類似得到。

關鍵詞 加權平均指數 跳-擴散模型 障礙期權 二重拉普拉斯變換 歐拉反演算 蒙特卡羅模擬

中圖分類號：O241 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2017.12.024

Abstract The analytical pricing of path-dependent options is the core issue of option pricing. The dual index - jump diffusion model is extended， and the weighted average index jump - diffusion model is proposed. In the model， the jump in asset prices is a weighted average of exponential distributions. Under the risk-neutral measure， we give the pricing formula of the ascending call-in-option and do the double Laplace transform to the price of the ascending call-in option. We use the Euler inverse and Monte Carlo simulations the numerical result of an ascending call-in-option price. The numerical results show that the numerical results obtained by the Eulerian inversion algorithm are all within the 95% confidence interval of the confidence level of the numerical results obtained by the Monte Carlo simulation. Other barrier options can be similarly priced.

Keywords weighed average exponential； jump-diffusion model； barrier option， double laplace transform； Euler inversion algorithm； Monte Carlo simulation

眾所周知，Black-Scholes期權定價模型是在一些理想的假設條件下給出的，如假設資產價格服從正態分布，這些理想條件使得基于Black-Scholes期權定價模型的期權價格與實際市場價格有明顯的偏差。很多金融學者對B-S模型進行了推廣，如Merton的跳擴散模型、[1]S. Kou的跳擴散模型[2]和雙指數跳擴散模型[3]等，這些模型中假設標的資產價格的跳躍高度是獨立同分布的，這與實際情況也有較大偏差。事實上，與正態分布相比，資產收益分布有厚尾現象，但到底有多“厚”是不清晰的。

障礙期權是一種路徑依賴型期權，這種期權是否有效取決于標的資產價格在一段特定時間內是否達到了某個特定的水平（臨界值），這個臨界值就稱為障礙水平。繼Black-Scholes模型后的很多模型能給出歐式看漲和看跌期權的解析解，但對于路徑依賴型期權的解析定價卻很難，甚至對這些衍生物的數值方法也不容易，如P. Carr的Levy過程下的障礙期權定價、[4]L.Nguyen-Ngoc的指數Levy過程下奇異期權的定價，[5]D. Davydov的CEV過程下路徑依賴型期權定價、[6]張利花在路徑依賴型期權定價模型和方法研究[7]中用總體最小二乘擬蒙特卡洛模擬方法對期權定價等。因此，給出一類跳躍幅度能接近任意分布且容易得到路徑依賴型期權的解析解的跳-擴散模型是必需的。由于加權平均指數分布能近似任何分布，包括正態分布、各種各樣的厚尾分布和離散分布。因此我們給出加權平均指數跳-擴散模型，模型中，資產價格的跳躍為指數分布的加權平均。

4 障礙期權價格的數值結果

為了得到上升入局看漲障礙期權價格的數值解，我們用雙向二維歐拉反演算[14]和蒙特卡羅模擬[15][16]兩種方法反求（6），數值結果見表（1）。表中EI表示歐拉反演算法，MC表示蒙特卡羅方法，MCSE表示蒙特卡羅標準誤差。MC模擬值是通過模擬10000次和使用步長為0.00005估計得到的，為控制變量。所計算EI數值解和MC模擬值的運行時間分別為6秒和2分，MC模擬值運行時間相對長一些。從表1中可以看到，利用歐拉反演算法得到的數值結果均在用蒙特卡羅模擬法得到的數值結果的置信水平為95%的置信區間內。

參考文獻

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