不同底板材料乒乓球拍碰撞動力特性研究

孫 瑞，李 春，任 杰，朱 玲，季云峰，施之

（1.上海理工大學能源與動力工程學院，上海 200093；2.上海體育學院，上海 200438）

乒乓球是一項集力量、速度、柔韌、靈敏和耐力為一體的全民競技運動。在我國，乒乓球群眾基礎雄厚，被譽為“國球”。至2016年8月16日，中國乒乓球隊已連續5年，分別在亞特蘭大、悉尼、北京奧運會、倫敦和里約奧運會中包攬男單、女單、以及男女團體4項金牌。20世紀70年代初，乒乓球解凍中美關系，改善國際關系，“小球推動地球”的乒乓球外交得到廣泛贊譽。這些成績的取得不僅與運動員刻苦訓練、頑強拼搏有關，還與我國對體育科研的重視和投入息息相關。乒乓球球體在空氣中的平動和旋轉的強弱源自球體與球板瞬時碰撞產生的反作用和摩擦力有關，其不僅與運動員自身的技術特點有關，更與球拍的性能密切相關。不同球拍擊打出球的速度快慢、力量大小、旋轉強弱、落點長短和弧線軌跡均可產生不同效果。乒乓球拍主要由表層膠皮、海綿和中間的底板構成，底板有3層、5層、7層復合方式。隨著技術變革和戰術變化，乒乓球拍底板的作用尤其底板材料的選擇顯得格外重要。

目前，乒乓球拍底板性能多給予運動員試打主觀判斷，結果常因人而異，尚未上升到基于材料力學、碰撞力學、動力學響應等理論高度的排除人為因素的統一量化標準。RG Rinaldi等基于聲振模型，以運動員的聽覺評價成型底板性能，但未考慮感官分析的主觀局限性；紅雙喜公司通過球在球拍的各采樣點上按壓檢測采樣點變形程度，借此衡量球拍硬度，然而測試是靜態而非動態，評價的準確性有待提高；武秀根采用有限元分析軟件數值模擬乒乓球與球拍碰撞過程，初步研究了由傳統木材和碳纖維復合材料板疊合而成的乒乓球拍微結構對碰撞后乒乓球運動規律的影響，但未系統定量分析造成出球速度變化的具體原因。本文基于有限元軟件ANSYS，實現多種乒乓球拍結構設計，建立不同材料底板的乒乓球碰撞模型，采用數值模擬，解釋了具體碰撞過程，并對比分析了不同入射速度下乒乓球反彈速度和碰撞接觸時間。

1 理論基礎

1.1 顯式動力學有限元法

顯式動力學有限元法無需建立剛度矩陣和求逆運算，而是采用中心差分法顯式求解有限元方程，并通過單點高斯積分和集中質量，提高了求解速度，具有節省計算時間和存儲空間的優點。近年來，顯式動力學有限元法在碰撞沖擊領域得到廣泛應用，并表現出在處理大規模接觸問題上的優勢。

1.2 控制方程

根據有限元思想，可以建立球與乒乓球拍碰撞的矩陣方程：

式中，M，C分別是系統的質量矩陣和阻尼矩陣，K是考慮了材料單元的本構關系的剛度矩陣，a（t），v（t

）和x（t

）是節點的加速度，速度以及位移向量；Q（t）是節點載荷，由單元矩陣和向量集成。

LS-DYNA采用顯式積分方法，用tn-1時間步來求解tn時間步的解，即：

式中，Q（tn）是外力向量列陣，F（tn）為內力矢量，H（tn）為沙漏阻力。則加速度表達式為：

又根據中心差分法，對tn+1時刻的速度和位移可以如下求解：

2 數值模擬

2.1 實體模型

以某品牌橫拍快攻型底板作為研究對象，拍柄選用擊球穩定和發力強勁的錐形，底板由木材垂直疊合成型，最大寬度158mm，長度150 mm。本文主要分析底板微結構，故按國家標準乒乓球拍（GB/T 23115-2008），海綿厚度1mm，膠皮厚度1.5mm，乒乓球直徑40mm。

2.2 材料屬性

乒乓球拍底板中木材和碳纖維等復合材料為各項異性材料，檜木纖維方向彈性模量為1.16GPa，阿尤斯為6.27GPa，碳纖維為121GPa。乒乓球所使用的賽璐珞、海綿和膠皮為各向同性材料，彈性模量分別為10GPa、1MPa和2MPa。

2.3 網格劃分

考慮到采用顯式動力學求解，故網格類型為顯式，整體單元大小為5mm。為提高計算精度，確定碰撞時影響區球直徑為80 mm，單元格大小為2 mm，局部細化，共劃分成68 962個節點，49 836個單元。

3 結果與分析

3.1 碰撞分析

乒乓球與球拍碰撞過程中，因底板材料不同接觸力和反彈速度亦不同。乒乓球底板材料分別采用阿尤斯、檜木和加碳纖維阿尤斯，乒乓球以10m/s的入射速度與球拍垂直碰撞，接觸力如圖1所示。

根據圖1可知，碰撞開始前無接觸力。碰撞后，隨時間增加，接觸力急劇增加，直至達到最大值，隨后接觸力消失。可看出，阿尤斯底板與球碰撞時最大接觸力明顯大于檜木，約高出17.5%，加入碳纖維后，最大接觸力變化不大。且相比于純木底板，加入碳纖維后接觸力極值點發生后移。究其原因，檜木彈性模量小于阿尤斯，僅為后者的17.9%，故碰撞后速度較小；而加入的碳纖維因比例不大（為底板總質量的2%），因此相比較于純阿尤斯為底板速度雖有增加，但增加幅度不大。分析3種底板碰撞接觸時間，以檜木和阿尤斯做乒乓球底板材料，碰撞接觸時間相差無幾，分別為0.57ms和0.56ms，而在底板中加入碳纖維后，接觸時間減少至0.42ms，足足降低13.3%。碳纖維硬度較大，混入底板后，乒乓球拍整體硬度增加，擊球縮短乒乓球在球拍上的時間，故碰撞時間降低。

3.2 球拍對不同球速適應性分析

為研究不同材料底板的球拍性能隨入射速度變化，底板分別采用檜木、阿尤斯和加碳纖維阿尤斯3種結構，入射速度從2m/s增加到20m/s，步長2m/s，共30個算例，碰撞后反彈速度與接觸時間分別如圖2、圖3所示。

圖1 不同底板材料接觸力變化

圖2 不同入射速度碰撞后的反彈速度

圖3 不同入射速度下碰撞接觸時間

根據圖2可知，3種球拍的反彈速度隨入射速度的增加而增加，且相同入射速度下，加炭纖維阿尤斯球拍反彈速度最大，阿尤斯次之，檜木最小。相比于檜木，加碳纖維阿尤斯球拍可將反彈速度最大提高31.6%。入射速度較低時，3種底板反彈速度隨入射速度近似線性增加，而入射速度較高時，隨著入射速度的增加，阿尤斯和檜木底板反彈速度增加減緩，加碳纖維阿尤斯底板反彈速度增加速度依舊近似為線性。這是因為，入射速度較低時，碰撞時形變較小，能量轉化過程中損失小，3種底板性能趨勢表現一致。而當球速大于12m/s時，加碳纖維阿尤斯底板更好儲存釋放能量，轉化率高，損失小；純木（檜木或阿尤斯）底板由于彈性模量小，球拍碰撞時形變過大，能量損失嚴重。可見，碳纖維對于高速球具有良好的適應性。

由圖3可知，3種球拍與球體發生碰撞的接觸時間均隨入射速度增加減小。相同入射速度下，檜木球拍接觸時間最長，阿尤斯次之，加碳纖維阿尤斯最短，相比于加碳纖維阿尤斯球拍，檜木球拍接觸時間最多可增加43.6%。分析其原因，檜木彈性模量小，碰撞時形變大，恢復慢；碳纖維可強化底板，碰撞時形變較小，相同入射速度下，相比于另外兩種底板，出球快，接觸時間較短。

4 結 論

4.1 不同底板材料乒乓球拍碰撞過程中接觸力整體變化趨勢相同，先增后減。阿尤斯為底板球拍，碰撞中最大接觸力大于檜木，底板中摻入碳纖維使接觸力極值點后移，但不影響其數值。

4.2 底板材料對乒乓球反彈速度影響顯著。材料彈性模量越大，反彈速度越大。碳纖維通過提高能量轉化效率提高反彈速度。底板材料對乒乓球碰撞時間亦有影響。材料彈性模量越大，接觸時間越長。

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