數列周期性的應用略談

呂若虛??

摘要：數列具有函數的有關性質，利用函數的性質來求和、求數列的通項公式、求數列中的某些項，可以大大減小運算量，簡化過程，從而有效地解決諸多的數學難題，收到事半功倍的效果。

關鍵詞：數列；函數；周期性

一、 求和問題中的應用

例如已知數列{an}，a1=1，a2=2，an=an-1-an-2（n∈N+且n≥3）。（1）求a3，a4，a5的值，（2）求S100的值。

解：（1）由已知的遞推關系得：a3=a2 -a1 = 2-1=1，

a4= a3-a2 =1-2=-1，a5=a4 - a3=-1-1=-2.

（2）由遞推關系an=an-1-an-2，學生會感覺跟斐波那契數列十分相似，但其實二者本質上是不同的。后者Fn+2=Fn+1+Fn（n=0，1，2，…）是典型的遞增的數列，而前者則是周期數列。

an=an-1-an-2= （an-2-an-3） -an-2=-an-3

得：an=- an-3，同理得：an-3 =-an-6

所以an = an-6

因此認為數列的周期T=6

a6= a5- a4=-2-（-1）=-1

方法一：an=an-1-an-2， an-1= an-2-an-3，…，a3=a2 -a1，這n-1個式子相加得：an+an-1+…+a3=an-1-a1

Sn=an-1+ a2（n∈N+且n≥2）

S100=a99+a2=a16×6+3+a2=a3+a2=1+2=3=a16×6+3+a2

=a3+a2=3

數列{an}的周期T=6，由此可以求出數列{an}通項an=a6k+r=ar（r=1，2，3，4，5，6），數列前n項的和Sn=an-1+ a2（n∈N+且n≥2）。

二、 應用周期性求數列的通項公式

例如：有數列如下，求其一個可能的通項公式：

（1）1，0，-1，0，1，0，-1，0，…﹔

（2） a，b，a，b，a，b，…；

解：（1）數列的前八項，每隔四項就重復出現一次，所以可以認為數列的周期是T=4，由此可以聯想起三角函數，振幅為A=1，設y=sinωx

由于周期T=4，得：4=2πω，ω=π2

因此可能的一個通項公式為：an=sinnπ2（n∈N+）

（2）本題的通項公式有多種；

①an =a+b2+（-1）na-b2（n∈N+）；

② 認為是分段函數

an∈2k+1k∈N+

bn∈2kk∈N+

③數列的前六項，每隔兩項就重復出現一次，所以可以認為數列的周期是T=2，由此會聯想到三角函數。

an= a+b2-a-b2cosnπ（n∈N+）

三、 求數列中的某些項的應用

已知實數列{an}滿足a0=a，a為實數，an=3an-1+13-an-1（n∈N）求a2009。

原來的解法： a1=3a0+13-a0=3a+13-a

a2=3a1+13-a1=a+31-3a，a3=3a2+13-a2=-1a

a4=3a3+13-a3=3-1a+13--1a=-3+a3a+1

a5=3a4+13-a4=3a-1a+3

a6=3a5+13-a5=33a-1a+3+13-3a-1a+3=a

∴a7=a1a8=a2a9=a3…

于是對于任意正整數k有 a6k+r=ar（r=0，1，2，3，4， …）

2009=6×334+5

∴a2009=a5=3a-1a+3

上述解題過程和最后得出的答案并沒有問題，但是多是機械操作，計算量也較大，顯得繁瑣。如果利用函數的思想和方法來解決問題，就簡捷得多了。

方法一：

如果將上面的a3替換為an，a0替換為an-3得到：

an=-1an-3同理得：an-3=-1an-6

所以得到：an=an-6

用函數的思想認識an=an-6時，很顯然數列{an}的周期T=6。

2009=6×334+5

∴a2009=a5=3a-1a+3

參考文獻：

[1] 劉培杰.數列的周期性.中等數學，2015，6.

[2] 朱樹兵.數列的周期性及其應用.第二課堂（高中版），2007，1.

作者簡介：呂若虛，山東省東營市，山東省廣饒縣第一中學。endprint