淺談數學中的反證法

李陽??

摘要：反證法是對題目中給出的已知條件予以肯定而否定的需證明結論，再利用否定后的結論和命題中的已知條件進行推理證明矛盾，進而來肯定原命題結論的正確性.本文的主要內容是先對反證法的原理、反證法的研究對象、反證法的例題級應用反證法應該注意的問題等作一簡單闡述。

關鍵詞：反證法；推理；數學

一、 反正法的原理闡釋

從問題出發是數學學習的一個根本。數學學習的本質就是不斷訓練學生解決問題的能力。不論是從問題理解、問題說明和問題解決，數學教學都是圍繞學生處理問題的方法展開的。反證法就是其中的一個案例。從原理上說，反證法從問題出發，找出問題的不相容命題，并不斷推理不相容命題的等價命題，從等價命題之中找出與公理矛盾的地方，反證問題成立或者不成立。

二、 明確問題的對立面

應用反證法要明確問題的對立面：反證法所圍繞的核心是問題，然而問題在哪里，是什么樣的，必須準確給予劃定。一般來說，問題往往十分清晰，只要看到結尾處即可明確問題的范圍。然而，在實際教學甚至實際生活中，學生并不能清楚問題是什么。因此，在運用反證法這一原理時，首先需要為問題劃定范圍，將問題的邏輯明確化。對于反證法也是一樣。反證法的基本原理是證明問題的對立命題是矛盾的。因此，在運用反證法時，必須要把握住問題的對立命題，為之劃定范圍，這樣才能解決問題。

三、 反證法的應用

（一） 反證法的步驟

應用反證法時要正確假設，分清原命題的結論是什么。要正確推理，導出矛盾，肯定否命題正確，從而確定原命題。

可以總結出用反證法證題一般分為三個步驟：

1. 假設命題的結論不成立；

2. 從這個結論出發，經過推理論證，得出矛盾；

3. 由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確。

即提出假設——推出矛盾——肯定結論。

（二） 關于反證法的例題

下面將反證法應用到數學例子中。

例1過平面內一點并且過平面外一點的直線，和平面內不過這一點的直線是異面直線。

由已知：直線AB，點A平面α，點B∈α，直線a∈α不過點B。

求證：直線AB和a是異面直線。

證明：

[提出假設]直線AB和a不是異面直線。

[推出矛盾]它們同在經過點B和直線a的平面內，因為Ba，經過點B與直線a只有一個平面α，直線AB與a在平面α內，∴A∈α，這與Aα矛盾。

[肯定結論]∴直線AB和a是異面直線。

例2已知p3+q3=2，求證：p+q≤2。

分析：此題對結論的否定只有一種情況，p+q>2，應用反證法證明時只要針對這種情況給予否定，就可肯定p+q≤2成立。

證明：假設p+q>2，則q>2-p，

∴q3>8-12p+6p2-p3，

∴p3+q3>643-2p+p2=6（p-1）2+13，

∴p3+q3>2+6（p-1）2。

由此可知p3+q3≠2，這與已知矛盾，

∴p+q≤2。

四、 應用反證法應該注意什么

建立起下面幾個概念：第一，兩個命題互相矛盾的概念；第二，如果從前提出發，邏輯地推出矛盾，而且除了一個前提不是真的外，其他前提已知為真，那么必然是剩下不知真假的前提的假設不真；第三，如果一個論斷的反面不成立，那么原論題成立。

應用反證法要明確哪些問題需要用反證法，哪些問題不必用到反證法。如果用到反證法要正確了解結論是什么，結論的否定命題是什么，從而對否定命題加以證明，得到與已知矛盾，進而得證。

五、 總結

反證法在教學中應用極為廣泛，對思路引導作用也非常之大。如果能夠在實際教學中多用反證法，用好反證法，對教學質量的提高必將產生實質影響。總之，反證法因其在數學問題解決過程中所具備的特殊地位，在具體的教學活動中，一定要引起學者的足夠重視。

參考文獻：

[1] 武寶元，趙輝.反證法證題釋疑[J].中學數學教學參考，2000（11）.

[2] 朱延玲.淺談反證法的教學[J].中學數學研究，2002（7）.

[3] 代欽.數學教學論[M].西安：陜西師范大學出版社，2009.

作者簡介：李陽，吉林省長春市，吉林師范大學 數學學院。endprint