淺析一道大學自主招生力學試題的原參考解答

楊金燕+龍飄

楊金燕龍飄

摘要：一道大學自主招生試題原參考解答在計算功時并未明確指出所針對的參照系，但從功的計算結果來分析可知參照系有兩種可能的情況：其一、f1、f2做的功均以傳送帶為參照系；其二、f1做的功以傳送帶為參照系，f2做的功以地面為參照系。然而，事實上在中學物理計算功時，當題目沒有明確指定是針對何種參照系時一般就是默認以地面為參照系；而在運用動能定理、功能原理解題時必須是針對同一選定的慣性參照系來計算外力對各質點的功。

關鍵詞：參照系；做功；力學試題

為了方便讀者，現將2003年上海交大自主招生的一道試題及原參考解答轉錄于下：

試題：如圖1所示，在水平地面xOy上有一沿x正方向做勻速運動的傳送帶，運動速度為v1，傳送帶上有一質量為m的正方形物體隨傳送帶一起運動，當物體運動到yOz平面時遇到一阻擋板C，阻止其繼續向x正方向運動。設物體與傳送帶間的摩擦因素為μ1，與擋板之間的摩擦因素為μ2。此時若要使物體沿y正方向以勻速v2運動，問：

（1） 沿y方向所加外力為多少？

（2） 若物體沿y方向運動了一段時間t，則在此期間摩擦力所做的功為多少？

圖1

圖2

原參考解答：（1）物體對皮帶的速度如圖2所示，f1為皮帶給物體的摩擦力，f2為擋板給物體的摩擦力，而

f1=μ1mg，N=f1sinθ，

f2=μ2N=μ2f1sinθ。

其中sinθ=v1v21+v22，cosθ=v2v21+v22。故

F=f2+f1cosθ=mgμ1（v1μ2+v2）v21+v22。

（2） Wf=-f1（v2t/cosθ）-f2v2t=-mgμ1t（v21+v22+μ2v1v2v21+v22）。

筆者認為，題目第（2）問的原參考解答在計算功時參照系選取問題上考慮欠妥，本文對此予以分析。

原解答的過程敘述十分簡單，計算功時并未明確指出所針對的參照系。但從功的計算結果“Wf=-f1（v2t/cosθ）-f2v2t”來看，在計算功時所針對的參照系有兩種可能的情況：其一、f1、 f2做的功均以傳送帶為參照系；其二、f1做的功以傳送帶作為參照系，f2做的功以地面作為參照系。因為在f1做功項“-f1（v2t/cosθ）”中，v2t/cosθ只能理解為以傳送帶為參照系得到的位移，而在f2的做功項“-f2v2t”中，v2t既可以理解為是以地面為參照系得到的位移，也可以理解為是以傳送帶為參照系的位移通過正交分解后得到的沿f2方向的分位移。

然而，筆者認為在計算功時對參照系的上述兩種理解均是欠妥的。眾所周知，中學物理在計算功時限于中學物理的特點并沒有強調參照系問題，在一般情況下如果題目沒明確指定是針對何種參照系，則往往就是默認以地面為參照系的。而在計算幾個力對同一質點的做功量時，一般是不需要對每個力各自選定參照系來計算每個力對質點所做的功的——因為在中學物理中計算功的目的一般是為了進一步利用動能定理、功能原理等功能關系來處理問題，所以計算各個力對質點的做功量時如果題目沒有明確指定不同力所針對的參照系，則在中學物理中一般也默認的是針對同一慣性參照系來計算所有外力對一個質點或每個質點的功。由于在原題題目中沒有明確指定計算功的參照系，所以在解答中就應該以地面為參照系，計算所有外力對物體所做的功，但原題解卻并非如此。

為了使得原題第（2）問可解且使解答符合原題的本意，筆者認為可將該題第（2）問作如下修改：

或者改為：若物體沿y方向運動了一段時間t，則在此期間相對傳送帶物體受到的摩擦力所做的功為多少？

此時，f1、f2做的功均以傳送帶為參照系。根據相對運動的位移關系有

v→2t=v→t+v→1t。

由圖二中位移的矢量關系，可得此時物體相對傳送帶為參照系的位移為

vt=v2t/cosθ。

故摩擦力做功為

Wf=-f1（vt）-f2（vt）cosθ=-f1（v2t/cosθ）-f2v2t=-mgμ1t（v21+v22+μ2v1v2v21+v22）。

或者改為：若物體沿y方向運動了一段時間t，則在此期間摩擦生熱為多少？

此時，物體與傳送帶的摩擦生熱量等于物體所受傳送帶施加的摩擦力相對傳送帶做功的絕對值，物體與地面的摩擦產生熱量則等于物體所受地面施加的摩擦力相對地面做功的絕對值。同樣根據圖二中位移的矢量關系不難分別求得這些做功量，進而便得到總的摩擦生熱量為

Q=f1（v2t/cosθ）+f2v2t=mgμ1t（v21+v22+μ2v1v2v21+v22）。

作者簡介：

楊金燕，龍飄，四川省南充市，西華師范大學物理與空間科學學院。endprint