形不同神相似

摘要：本文通過類比物體間一對滑動摩擦力做功與產生的內能之間的關系，研究當磁場與導體存在相對運動時，它們之間的一對相互作用的安培力做功之和的絕對值等于系統產生的電能。兩個模型雖然形式不同，但規律卻非常相似，有著異曲同工之妙。

關鍵詞：安培力做功；能量；摩擦力；相似

2007年高考物理上海卷第23題是一道關于電磁感應現象的試題，題目如下：

如圖1（a）所示，光滑的平行長直金屬導軌置于水平面內，間距為L、導軌左端接有阻值為R的電阻，質量為m的導體棒垂直跨接在導軌上。導軌和導體棒的電阻均不計，且接觸良好。在導軌平面上有一矩形區域內存在著豎直向下的勻強磁場，磁感應強度大小為B。開始時，導體棒靜止于磁場區域的右端，當磁場以速度v1勻速向右移動時，導體棒隨之開始運動，同時受到水平向左、大小為f的恒定阻力，并很快達到恒定速度，此時導體棒仍處于磁場區域內。

（1）求導體棒所達到的恒定速度v2；

（2）為使導體棒能隨磁場運動，阻力最大不能超過多少？

（3）導體棒以恒定速度運動時，單位時間內克服阻力所做的功和電路中消耗的電功率各為多大？

（4）若t=0時磁場由靜止開始水平向右做勻加速直線運動，經過較短時間后，導體棒也做勻加速直線運動，其v-t關系如圖1（b）所示，已知在時刻t導體棒瞬時速度大小為vt，求導體棒做勻加速直線運動時的加速度大小。

作為高考題，該題模型新穎，考查內容豐富。要求學生對物理情景有一定的分析與綜合能力，能夠熟練應用楞次定律和法拉第電磁感應定律，同時還要求學生對電磁感應現象中能量的轉化過程有著正確的認識。在學校組織的一次單元練習中，結果出乎老師預料。全班49人有32人在第（3）問出了錯誤。很多學生完全無法落筆，在與他們課下的溝通和交流時，他們提出了自己的想法：由功與能轉化的關系可知，安培力做功對應電能變化，即安培力做正功，消耗電能；安培力做負功，產生電能。該題中安培力對導體棒做的就是正功，學生難以理解為什么電路中有電能產生，因此他們無法解答。

其實，回顧我們的教學過程，學生有這種“奇怪”想法也是有原因的。在涉及安培力做功與能量轉化關系的知識時，老師通常是通過典型模型歸納出結論：安培力對導體做了多少正功，對應有多少電能轉化為其他形式的能；反之，安培力對導體做了多少負功，對應多少其他形式能量轉化為電能。學生牢記在心，所以當看到該考題中安培力對導體棒做正功時，他們便覺得回路中不會有電能產生，因而便無從落筆。

產生這種錯誤的原因是他們對產生感應電流產生的本質認識得不夠深刻。導體切割磁感線的運動時會產生動生感應電動勢，其本質是導體中的電子受到的洛侖茲力驅使電子定向移動從而形成電流，此時洛侖茲力相當于電源中的非靜電力。因此，考查回路中是否有電流產生，并不是看導體棒是否存在相對地面的運動，而是看是否存在相對磁場有切割磁感線運動。

原題中，我們可以根據右手定則判斷出導體棒中電流方向向下，導體棒受到的安培力向前，這與導體棒能隨磁場運動的事實相符。那么，該回路中的能量究竟是如何轉化的呢？我們可以通過對比研究一個形不同而神似的模型，發現一個相似的規律。

一、 一對相互作用的滑動摩擦力做功

如圖2所示，光滑的水平地面上靜止著一個質量為M的平板小車，上表面粗糙，一質量為m滑塊以某一初速度v0從左端滑上平板小車，此后滑塊受到摩擦力Ff1減速，而小車受到摩擦力Ff2加速，最后兩者達到共同速度v。此過程中能量如何轉化？

對滑塊，由動能定理有

WFf1=12mv2-12mv20①

①式表明，WFf1的結果使得滑塊機械能減少

對小車，由動能定理有

WFf2=12Mv2②

②式表明，WFf2的結果使得小車機械能增加

兩式相加，即系統動能定理，有

WFf1+WFf2=12Mv2+12mv2-12mv20③

易知，WFf1+WFf2<0。③式表明，滑塊和小車組成的系統，通過一對滑動摩擦力做負功，把機械能（這里是動能）轉化為系統的內能。其功能關系圖線如下：

E機W一對滑動摩擦力FfQ

全過程中的功能轉化關系圖線如下（為方便理解，假設WFf1=-10J，WFf2=+8J）

Ek滑WFf1（-10J）WFf2（+8J）Ek車

WFf2+WFf2（-2J）Q

二、 一對相互作用的安培力做功

受上述滑動摩擦力模型的啟示，在此高考題中，我們采用類似的思路。假設沒有阻力f和其他外力，只存在導體棒m和磁場（可視為磁體M）之間的相互作用的安培力，如圖3所示。由于磁場運動速度v1大于導體棒速度v2，由右手定則和左手定則可知，磁場對導體棒的安培力FA2做正功，其反作用力導體棒對磁場的安培力FA1做正功。

圖3

對導體棒，由動能定理有

WFA2=12mv′22-12mv22④

④式表明，WFA2的結果使得導體棒機械能增加

對磁體，由動能定理有

WFA1=12Mv′12-12Mv12⑤

⑤式表明，WFA2的結果使得磁體機械能減小

兩式相加，即系統動能定理，

WFA1+WFA2=12mv′22+12Mv′12-12mv22+12Mv12⑥

因為v1>v2，故WFA1+WFA2<0。⑥式表明，導體棒與磁場組成的系統，通過這一對安培力做功，把機械能轉化為系統的電能，再通過回路電阻轉化為內能。

E機W一對FAE電

三、 原題中的功能關系與能量轉化

仔細分析原題物理情景可以發現，要維持磁場（磁體）作勻速運動，就必須對磁場施加一個大小也等于f的外力F，同樣，為方便理解，假設WF=+10J，WFA2=+8J。全過程中能量轉化關系圖如下圖所示。

E外WF（+10J）Ek磁WFA1（-10J）WFA2（+8J）Ek棒Wf（-8J）Qf

WFA1+WFA2（-2J）E電W電流（+2J）Q電

由圖可知，最終回路產生的電能等于導體棒與磁體之間的一對安培力做功之和的絕對值，所以電路消耗的電功率即為安培力與兩者相對速度的乘積，即

電路消耗的電功率P=FAv相=f（v1-v2）=f2RB2L2

四、 結論

兩物體存在相對運動時，它們之間的一對相互作用的滑動摩擦力做功之和的絕對值等于系統產生的內能；磁場與導體存在相對運動時，它們之間的一對相互作用的安培力做功之和的絕對值等于系統產生的電能。兩個模型雖然形式不同，但規律卻非常相似，有著異曲同工之妙。

參考文獻：

[1]李池.安培力做功與能量轉化的關系[J].數理化學習，2011，（5）.

[2]劉玉才.論安培力做功及引起的能量變化[J].中學物理教學參考，2004，（12）：10-12.

作者簡介：

王利飛，一級教師，浙江省臺州市，浙江省臺州中學。endprint