關于立體幾何概念的教學

段克玉

摘 要：正確的理解概念，是掌握一門學科的基礎，立體幾何也不例外。下面從五個方面談談立體幾何概念的教學問題。

關鍵詞：幾何；教學；概念

一、 明確概念的重要性

很多學生認為數學學習最主要的任務是學算法，只要會算就行，所以他們雖然會算某些題目，但有關概念卻模糊不清，常常是憑經驗和直覺，僅知道大約是怎么回事，但卻說不清其真實含義。因此我們首先要使學生明確概念學習的重要性。教學時，可以提出一些運用概念容易解決的題目，運用不同的解法加以比較，對于提高學生學習概念的積極性是非常有幫助的。

二、 概念的引入

如何引用概念是很重要的，引用得當，學生興趣倍增；引用不當，學生感到困惑，容易喪失學習信心。

1. 實例引入

由于學生在自身的經歷中積累了一些立幾概念的感性知識，為此，教師在概念教學中應啟發學生把這些模糊無條理的感性素材整理提煉，升華成理性知識。例如立體幾何中，“平行”、“垂直”、“距離”、“角”等概念學生都曾接觸過，因此很多概念都可以從實例引入。

2. 模型開路

模型是具體與抽象二者間的中介，對實物來說，模型已初步抽象化了，所以，使用模型就為學生從感性素材抽象出理性的概念架起了一座橋梁。在立幾教學初期，充分利用模型是極重要的手段，一個立方體骨架的模型就幾乎可以把第一章的大部分概念包羅進去了。當然模型使用了一段時間后就應逐步減少，因為學生已經逐步積累了相當的立幾知識，再大量使用模型反而不利于空間想象能力的培養。

3. 抽象概念

學生在初中階段已初步掌握了解幾何體的一些思維方法，在實踐中也積累了概念的感性素材，又通過觀察模型對概念進行了初步的抽象，加上與形似概念進行類比，這時，他們往往試圖自己來給某個概念下定義。所以在教學中應充分利用這些有利條件，充分啟動學生的學習積極性和主動性，讓學生自己學會給抽象概念下定義。當然，學生未必能一下就能給出完整準確的定義，我們的任務就是啟發學生找出他們敘述中的欠缺，并帶領學生加以修正，使之嚴密完整，從而牢牢地掌握它。以“只限于平面垂直”的定義為例：學生會說：“如果直線與平面成直角”，或者“直線與平面內的兩條直線垂直”，或者“直線與平面內的無數條直線垂直”，或者“直線與平面內的所有的直線垂直”等等，就叫直線與平面垂直，對這些意見，我們并不要急于否定或肯定，而是要引導學生找出問題，或進行比較，最后得出課本上的定義來。

【例】 如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點D為線段AB上一點，且AD=13DB，點C為圓O上一點，且BC=3AC，PD⊥平面ABC，PD=DB。

求證：PA⊥CD.

證明：∵AB為圓O的直徑，∴AC⊥CB，

在Rt△ABC中，由3AC=BC得，

∠ABC=30°，設AD=1，

由3AD=DB得，DB=3，BC=23，

由余弦定理得CD2=DB2+BC2-2DB·BCcos30°=3，

∴CD2+DB2=BC2，即CD⊥AO.

∵PD⊥平面ABC，CD平面ABC，

∴PD⊥CD，由PD∩AO=D得，CD⊥平面PAB，

又PA平面PAB，∴PA⊥CD。

思維升華：（1）證明直線和平面垂直的常用方法：①直線與平面垂直的概念及判定定理；②垂直于平面的傳遞性（a∥b，a⊥αb⊥α）；③面面平行的性質（a⊥α，α∥βa⊥β）；④面面垂直的性質。（2）證明直線與平面垂直的核心是證直線與直線垂直，而證明直線與直線垂直則需借助直線平面垂直的性質。因此，判定定理與性質定理的合理轉化是證明直線平面垂直的基本思想。（3）直線平面垂直的性質，常用來證明直線與直線垂直。

三、 揭示概念內涵與外延

定義的語言都是極為簡練的，所以充分發掘概念的內涵與外延是加深學生對概念理解的必不可少的方法。

1. 逐字推敲

例如異面直線的定義為“不同于任何一個平面的兩條直線”。我們可讓學生討論，把“任何”兩字去掉，說成“不同在一個平面內的兩條直線”或“不在同一平面內的兩條直線”行不行？把“同”字去掉，說成“不在任何一個平面內的兩條直線”行不行？這樣一推敲，學生對概念的理解就深了。

2. 完整理解

有的定義分成幾個部分，學生往往重視一般情況而忽略了特殊情況，這樣對概念的理解就不完整。例如“直線與平面所成角”的概念，學生往往只重視“斜線與它在平面內的射影所成的銳角”，而丟掉了直線與平面垂直或平行這兩種特殊情況。這樣，在遇到具體問題時就會解答不全，例如，學生在證明：“一直線與兩平行平面所成的角相等”時，往往只就直線與平面斜交的情況證明，這樣的證明就不完整，因此對這種類型的概念，我們就必須指導學生完整地理解。

3. 揭示本質

例如“距離”這一概念有好多個，表面上每次研究的對象

都不同，但它們都有其本質的共性，即“最短”性，因此應讓學生充分認識這一本質屬性；例如在定義“點與平面的距離”時，我們先帶著學生研究這點與平面上所有各點的連接線段，在其中找出最短線段的一條來，再給出定義。在給出“兩條異面直線的距離”這一定義時，雖暫時不能說明“最短”的理由，但一學到“分別在異面直線上取兩點的距離”公式后，就應回顧這個“最短”的本質屬性，暫時無法證明，但我們也應向學生指明。

四、 注意概念間的聯系與區別

任何知識都必然與其他知識聯系著，但又有別于其他知識，我們應抓住這些區別與聯系，利用對比和類比來進行概念的教學。

1. 抓住平面幾何與立體幾何概念的區別與聯系

平面幾何與立體幾何是前后銜接的兩門相近的學科，立體幾何中許多概念常可溯源于平面幾何概念，因此復習平面幾何中相應概念，使學生通過復習受到啟迪，進而通過類比而得出新的概念是非常可行的。例如通過復習平面幾何中“垂直”“平行”等概念，對照三角形研究四面體的相應概念等等。endprint

我們要特別注意平面幾何與立體幾何相似概念的區別，抓住區別進行對比，以防止學生濫用平面幾何定義。例如“兩直線垂直”，學生常習慣于“必有垂點”這一點，我們應在教學中充分重視，讓學生從平面幾何的窠臼中盡早解脫出來。例如：空間線面位置關系判斷的常用方法：

（1）根據空間線面平行、垂直關系的判定定理和性質定理逐項判斷來解決問題；

（2）必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線面位置關系，并結合有關定理來進行判斷。

2. 注意立體幾何中相近概念的聯系與區別

例如“垂直”、“平行”概念，立體幾何中多次出現，相似而又各不相同，因此我們應進行橫向比較。比如我們可讓學生歸納出：過直線外一點引直線的

垂線有無數條（都在垂面內）

垂面有一個

平行線有一條

平行平面有無數個（都過平行線）

過平面外一點作該平面的

垂線有一條

垂面有無數個（都過垂線）

平行線有無數條（都在平行平面內）

平行平面有一個

等等這樣正確的命題。

3. 利用集合進行比較

例如：棱柱部分有很多概念：棱柱、直棱柱、正棱柱、平行六面體、直平行六面體、直四棱柱、正四棱柱、長方體、正方體等，我們可以利用集合的概念，讓學生指出這些概念間的邏輯關系，并用文氏圖直觀畫出，這對學生搞清有關概念也是很有幫助的。

五、 介紹對概念下定義的規則

學生在初中已經接觸了不少定義，到了高中，他們更希望自己來給一些概念下定義，因此我們應讓學生了解些下定義的規則。在向學生講解有關規則時，可針對學生實際，“就事論事”地講解有關規則，不必求全。例如，在講平面概念時，我們可以講一講什么是原始概念，也可讓學生分析這樣的兩句話：“點按一定方向及其相反方向運動所得的圖形就叫直線。”“直線按一定方向及其相反方向運動所得的圖形叫做平面。”看這是否能作為直線和平面的定義。又如，針對學生說的：“如果直線與平面成90°就叫直線與平面垂直。”我們可以講解“不能用除原始概念外的尚未定義的概念來給待下定義的概念下定義”這條規則。在定義了直線與平面所成角之后，我們則可介紹“定義不能惡性循環”這條規則。

當然，我們也可在適當的時候講講下定義的方法，什么是屬加種差定義，什么是發生性定義以及用揭示外延來定義等等，使學生對此也有一個初步的了解。endprint