高考數(shù)學(xué)排列組合類問題探討

摘要：在高考數(shù)學(xué)中，排列組合問題是每年的重要考點(diǎn)。其通常出現(xiàn)在填空題中，屬于中低檔類型的題目，因此其也是考生必須拿分的題型。但該類題目類型比較多，而學(xué)生在解答此類問題時(shí)往往會(huì)因?yàn)闆]有分清題目類型，錯(cuò)用解題方法從而導(dǎo)致題目解答錯(cuò)誤。

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué)；排列組合；常見題型；解題技巧

排列組合常見的題型有：元素的“在”與“不在”的問題、元素的相鄰問題、元素的相離問題等。雖然排列組合的題目并不難，但是其題型種類較多且比較難判斷。并且不同類型的題目其使用的方法也是不同的。因此在解答此類問題時(shí)，先要判斷其題型，然后使用對(duì)應(yīng)的方法，方可正確解題。

一、 元素的“在”與“不在”的問題

在解答元素的“在”與“不在”的問題時(shí)，既可以從元素入手，也可以從位置入手，但是必須要始終牢記的是誰“特殊”誰優(yōu)先排列。如果從元素入手，則先給特殊的元素安排位置；而如果從位置入手，則先給特殊位置安排元素。但需要特別注意的是，兩種方法只能獨(dú)自使用，不能同時(shí)使用。

例1班級(jí)上6個(gè)人準(zhǔn)備拍照，此時(shí)將6人排成1排，要求小明既不站在最左邊也不站在最右邊，求共有多少種站法？

解析方法一：從位置入手，通過審題可知，最左邊和最右邊是最為特殊的位置。

第一步：先從其他5個(gè)人中選擇2個(gè)人分別站在最左邊和最右邊，有A25種站法；

第二步：剩下的4個(gè)人站在空著的4個(gè)位置，有A44種。從而可得一共有A25A44=480種方法；

方法二：從元素入手，由題干可知，小明同學(xué)是最為特殊的一個(gè)元素。

第一步：先將小明安排到中間的4個(gè)位置的任意一個(gè)，有A14種方法；

第二步：剩下的5個(gè)人站在空著的5個(gè)位置，有A55種方法。從而可得一共有A14A55=480種方法。

點(diǎn)撥本題運(yùn)用兩種方法解題，通過相比較發(fā)現(xiàn)從元素入手，比較容易理解。此外本題也可以采用間接法進(jìn)行解題，即先假設(shè)6個(gè)人的排隊(duì)是無限制條件的，從而算出其總有A66種方法；然后再將特殊情況去除掉，即小明站在最左邊和最右邊時(shí)6人排隊(duì)情況。從而可以算出一共有A66-2A55=480種方法。

二、 相鄰問題

相鄰問題是一種比較常見的排列組合的問題，通常情況下，題設(shè)往往會(huì)給出同一元素必須要相鄰的限制條件。解答此類問題的方法為“捆綁法”，即將同一元素看成一個(gè)整體，將其當(dāng)作一個(gè)元素同其他元素進(jìn)行排列，然后再將看成整體的部分再排列，即可算出種類。

例2有3個(gè)高三（1）班的學(xué)生、4個(gè)高三（2）班的學(xué)生站在一起，其中（1）班同學(xué)必須相鄰，（2）班的同學(xué)也必須相鄰，求共有多少種排列方法？

解析通過審題可知，此題為相鄰問題。

第一步：將3名高三（1）班的學(xué)生看成一個(gè)整體，看成一個(gè)元素，將4名高三（2）班的學(xué)生看成一個(gè)整體，看成一個(gè)元素。這兩種元素排列一共可有A22種方法；

第二步：將高三（1）班、（2）班的學(xué)生分別進(jìn)行內(nèi)部排列：高三（1）班的學(xué)生內(nèi)部排列共有A33種方法，高三（2）班的學(xué)生內(nèi)部排列共有A44種方法。所有共有A22·A33·A44=288種方法。

點(diǎn)撥通過此題的解題過程，我們可以發(fā)現(xiàn)運(yùn)用“捆綁法”進(jìn)行解題，其思想為先整體再局部。此外需要我們特別注意的是，在使用此方法時(shí)一定不能忘記對(duì)整體內(nèi)部的排序，特別在有些不只一個(gè)整體的題目中，對(duì)其內(nèi)部的排序不能有遺漏。

三、 相離問題

相離問題即不相鄰問題，該類問題的模型為將n個(gè)不同元素排列，其中有k個(gè)元素互不相鄰，求排列方法的種類。解答此類問題的方法為“插空法”，即將無要求的元素先排列，然后將互不相鄰的元素的插到已經(jīng)排好的元素之間的空隙中，即可算出種類。

點(diǎn)撥由題意可知，本題的解題思想為先分步再分類，其中其分步是根據(jù)題干中所要求的偶數(shù)；而分類則是根據(jù)特殊元素來進(jìn)行分類的。而在解答不相鄰的問題時(shí)需要特別注意的是，在進(jìn)行分類計(jì)算時(shí)，一定看準(zhǔn)有多少空位，特別是在排列的數(shù)量比較多的問題時(shí)更需要注意。

綜上所述，在解答排列組合的問題時(shí)，其關(guān)鍵就是密切關(guān)注題干中的一些限制條件，從限制條件中判斷題目所屬的類型，然后運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行解題。此外需要學(xué)生特別注意的是，在解答此類問題時(shí)其解題過程最好分步書寫，這樣往往會(huì)使解題思路清晰，從而提高正確率。并且對(duì)一些常用的解題方法要有一個(gè)很好的認(rèn)知。

作者簡介：

田飛，甘肅省武威市，民勤縣第四中學(xué)。endprint