從一道模擬題探究數列求和問題中∑ni=1an≤fn型不等式

摘要：浙江省高考數學最后一道壓軸題由原來的導數轉移到數列部分，它結合了不等式的性質及證明等知識，包含數列放縮的思想方法；對不等式的理解掌握要求高，要求考生有較高的探究發現、運算求解能力，試題難度大。其中關于數列求和的相關問題是重要的考查方向，本文通過一到模擬題歸納總結數列求和問題中∑ni=1an≤f（n）不等式的常規解法。

關鍵詞：∑ni=1an≤f（n）型數列不等式；分析法；數學歸納法；構造法

課程改革以來，浙江省數學高考卷就以全面深入考查基礎知識、基本技能、基本思想方法的命題原則，多層次、多角度的考查考生的思維能力及數學素養，充分體現了考基礎、考能力、考素質、考潛能和以考生發展為本的考試目標；試題靈活，立意新穎，區分度高，選拔功能強。自2015年，浙江省高考數學最后一道壓軸題由原來的導數轉移到數列部分，它結合了不等式的性質及證明等知識，包含數列放縮的思想方法；對不等式的理解掌握要求高，要求考生有較高的探究發現、運算求解能力，試題難度大。其中關于數列求和的相關問題是重要的考查方向，數列求和問題常見的基本結構形式有如下2種：

①∑ni=1an≤k（k為常數）；②∑ni=1an≤f（n）；

對于第①種類型可根據題目特點利用等差模型、等比模型、錯位相減模型、裂項相消模型等進行放縮證明，在本文不做研究。本文主要探究∑ni=1an≤f（n）型數列不等式涉及的方法和技巧，現從一道模擬題開始探討：

例已知數列{an}滿足a1=1，an+1=an+1an（n∈N*）。

（Ⅰ）求證：2≤a2n+1-a2n≤3；

（Ⅱ）求證：1a1+1a2+…+1an≤2n-1。

解析：（Ⅰ）由題易知{an}是正項數列；由遞推公式an+1=an+1anan+1-an=1an>0所以{an}是遞增數列即an≥1。an+1=an+1an兩邊平方得：a2n+1=a2n+1a2n+2a2n+1-a2n=1a2n+2∈[2，3]。

（Ⅱ）題是典型的∑ni=1an≤f（n）型數列不等式先通過下面三種方法解決這一問題：

方法1：利用分析法選擇切入點：

（Ⅰ）中不等式累加可得：a2n≥2n-1，所以1an≤12n-1，利用裂項的技巧當n≥2時1an≤12n-1=222n-1≤22n-1+2n-3=2n-1-2n-3經過累加可證明結論。詳細解答如下：

由（Ⅰ）可得：a2n-a2n-1≥2，a2n-1-a2n-2≥2，…，a23-a22≥2，a22-a21≥2，累加可得：a2n≥2n-1；

開方后取倒數1an≤12n-1=222n-1≤22n-1+2n-3=2n-1-2n-3；

所以當n≥2時從第二項開始放縮1a1+1a2+…+1an≤1+2×2-1-2×2-3+…+2n-3-2n-5+2n-1-2n-3=2n-1；

當n=1時顯然成立；

綜上所述1a1+1a2+…+1an≤2n-1。證畢

點評：數學問題是環環相扣的要善于發現題目中的內在聯系，難點是不等式1an≤12n-1=222n-1≤22n-1+2n-3=2n-1-2n-3放縮，對不等式放縮技巧要求高，難度較大，我們是否可以在回歸到題目中所給的條件，從另外的角度去尋找思路？下面所給的方法2和方法3就是從全新的角度去思考和探究：

方法2：數學歸納法

利用題目中條件可得1an=an+1-an，所以 1a1+1a2+…+1an=an+1-a1，只需用數歸證an+1≤2n-1+1，此時可用歸納等法法進行證明。

詳細解答如下：

由an+1=an+1an可知1an=an+1-an，

所以求證1a1+1a2+…+1an=a2-a1+a3-a2+an+1-an=an+1-1≤2n-1，

即證明：an+1≤2n-1+1，下面用數學歸納法證明：

當n=1時，a2=2≤2×1-1+1；

假設當n=k時，ak+1≤2k-1+1；

當n=k+1時，ak+2=ak+1+1ak+1≤2k-1+1+12k-1+1。

ak+2=ak+1+1ak+1≤2k-1+1+12k-1+1

下面證明： 2k-1+1+12k-1+1≤2k+1+1

12k-1+1≤2k+1-2k-1=22k+1+2k-1，

2k+1+2k-1≤22k-1+22≥2k+1-2k-1

=22k+1+2k-12k+1+2k-1≥1

因為2k+1+2k-1≥1（k≥2）恒成立，

所以2k-1+1+12k-1+1≤2k+1+1，

所以ak+2≤2k+1+1；

綜上由數學歸納法可得：an+1≤2n-1+1，

所以1a1+1a2+…+1an≤2n-1。證畢

方法3：構造新的數列

我們都知道數列的前n項和是關于n的函數，反之對于f（n）我們可以把它看做是新數列{bn}的前n項和，驗證bn≥1an，那么此結論不攻自破。

詳細解答如下：

由（Ⅰ）可得：a2n-a2n-1≥2，a2n-1-a2n-2≥2，…，a23-a22≥2，a22-a21≥2，累加可得：a2n≥2n-1；

開方后取倒數1an≤12n-1；

構造新的數列{bn}滿足：

bn=1n=12n-1-2n-3n≥2，

易知數列{bn}前n項和是2n-1；

當n=1時，b1=1≥a1；

當n≥2時，bn=2n-1-2n-3=22n-1+2n-3≥22n-1+2n-1

=12n-1≥1an；

綜上所述bn≥1an；

所以1a1+1a2+…+1an≤b1+b2+…+bn=12n-1。證畢

方法3是形如∑ni=1ai

設Sn和Tn分別為數列{an}和{bn}的前n項和，顯然，若an

本題中方法1和方法2都是用數列求和中常規的方法去解決問題，方法3是利用數列前n項和的函數特點構造新數列進行解題，對于同一道題目從多角度去思考感受數學的奧妙，感知探究的樂趣。數學是一門靈活開放的學科，它的思想方法沒有一成不變的，本文中歸納的方法只是∑ni=1an≤f（n）型數列不等式常見的幾種，有句話說得好：“生活不是缺少美，而是缺少發現美的眼睛。”數學學習也是如此，深入思考，挖掘問題的本質，才能融會貫通，達到“無招勝有招的”境界。

作者簡介：

郝培德，浙江省杭州市，浙江省杭州學軍中學。