內積空間的教學應向學生強調定理成立的大前提條件

摘要：內積空間是大學線性代數或高等代數課程教學的重要內容，分為實內積空間和復內積空間兩部分內容。在實內積空間的教學中我們引入了特殊矩陣正交矩陣，而在復內積空間的教學中我們對應于正交矩陣引入了特殊矩陣酉矩陣。本文對內積空間的教學中正交矩陣和酉矩陣的兩個字面敘述相同容易引起學生困惑的充要條件即“矩陣的列向量組是一個單位正交向量組”進行仔細分析，指出了它們之間雖然字面敘述一樣但卻隱藏著本質性的不同之處，這一不同之處就是這兩個充要條件各自成立的大前提條件的不同，而引起學生困惑的根源就在于我們為了這兩個充要條件記憶和敘述方便省略了它們各自成立的大前提條件。于是我們得出結論，教師在內積空間的教學中，應該主動向學生強調定理成立的大前提條件，以免學生在學習中產生疑惑。

關鍵詞：內積空間；正交矩陣；酉矩陣；單位正交向量組；大前提條件

一、 引言

內積空間是大學線性代數或高等代數課程教學的重要內容，分為實內積空間（又稱Euclid空間）和復內積空間（又稱酉空間）兩部分內容。這兩部分內容中的相關知識是平行對應的，教師時常會在教學中為學生加以類比。例如，在實內積空間的教學中我們引入了特殊矩陣正交矩陣，而在復內積空間的教學中我們對應于正交矩陣引入了特殊矩陣酉矩陣。在矩陣理論中，正交矩陣和酉矩陣是兩類重要的特殊矩陣，它們有不少比較好的性質。本文將對在內積空間教學中正交矩陣和酉矩陣的兩個字面敘述相同的充要條件“矩陣的列向量組是一個單位正交向量組”作出分析，指出它們相同字面敘述背后隱藏著的本質上的不同之處以及學生學習時產生困惑的根源，進而得出結論：教師在內積空間的教學中應該主動向學生強調定理成立的大前提條件以消除學生的疑惑。

先說明一些本文將使用的符號。I表示n階單位矩陣；AT表示矩陣A的轉置；A*表示矩陣A的共軛轉置。兩個列向量x和y的內積用〈x，y〉來表示。

二、 定義

定義1一個n階實矩陣A叫做一個正交矩陣，如果AAT=ATA=I。

定義2一個n階復矩陣U叫做一個酉矩陣，如果UU=UU=I。

這里特別要注意，正交矩陣是一個實矩陣，為了強調這一限制以免初學的學生忘記，教師在課堂上教學時可以告訴學生，也可以將正交矩陣稱為“實正交矩陣”。很明顯，正交矩陣一定是酉矩陣，正交矩陣集合是酉矩陣集合的真子集。

三、 對正交矩陣和酉矩陣兩個字面敘述相同的充要條件的分析

在內積空間的教學中，有的教師會向學生介紹正交矩陣和酉矩陣的兩個常用和重要的充要條件：

定理1一個n階實矩陣A是正交矩陣的充要條件是這個矩陣的列向量組是一個單位正交向量組。

定理2一個n階復矩陣U是酉矩陣的充要條件是這個矩陣的列向量組是一個單位正交向量組。

（注：把上述兩個定理中的列向量組改為行向量組，結論同樣成立）

乍一看，定理1和定理2后面充要條件的文字敘述是完全一樣的，都是“矩陣的列向量組是一個單位正交向量組”。這樣一來，如果一些學生只看文字表面不加仔細思考的話，就會感到很疑惑，甚至容易得出一個矩陣是正交矩陣和一個矩陣是酉矩陣是一回事，也就是正交矩陣就是酉矩陣的謬論來。那么問題出在什么地方呢？怎樣給學生解釋清楚消除困惑并幫助他們辨析和糾正錯誤呢？

為了找出問題的根本原因，我們可以仔細考察這兩個結論的證明。

定理1的證明：

先將矩陣A按列分塊為A=（a1，a2，…，an），其中a1，a2，…，an是A的n個列向量，則

A是正交矩陣（a1，a2，…，an）T（a1，a2，…，an）=IaT1aT2aTn（a1，a2，…，an）=I

aTiaj=δij=1，i=j0，i≠j，i，j=1，2，…，n〈ai，aj〉=δij=1，i=j0，i≠j，i，j=1，2，…，nA的列向量組a1，a2，…，an是單位正交向量組。

定理2的證明：

先將矩陣U按列分塊為U=（u1，u2，…，un），其中u1，u2，…，un是U的n個列向量，則

U是酉矩陣（u1，u2，…，un）（u1，u2，…，un）=Iu1u2un（u1，u2，…，un）=I

uiuj=δij=1，i=j0，i≠j，i，j=1，2，…，n〈ui，uj〉=δij=1，i=j0，i≠j，i，j=1，2，…，n

U的列向量組u1，u2，…，un是單位正交向量組。

現在我們對比一下這兩個定理的證明過程。從總體上可以看出，這兩個證明過程完全類似。為了找出主要的不同之處，我們需要仔細對比分析這兩個證明過程。不難看出，倒數第二步推導，即aTiaj=δij〈ai，aj〉=δij和uiuj=δij〈ui，uj〉=δij，體現了這兩個證明過程的本質差異。前一個證明過程的推導用到了〈ai，aj〉=aTiaj，而后一個證明過程的推導用到了〈ui，uj〉=uiuj。雖然都是內積，用的公式卻不一樣。原因在于前一個證明過程中的內積是實內積空間中的內積，而后一個證明過程中的內積是復內積空間中的內積，兩者的定義不一樣。“單位”和“正交”這兩個概念都是由內積的概念引出的，雖然定理1和定理2這兩個充要條件在字面上是一樣的，但因為內積的定義不一樣，自然“單位”和“正交”的含義也隨之變化，所以這兩個充要條件在本質上并不相同。在倒數第二步推導中，定理1的證明實際是默認了所有列向量都是實向量，也就是A是一個實方陣；定理2的證明實際是默認了所有列向量都是復向量，也就是U是一個復方陣。

根據以上分析，為體現出這兩個充要條件的本質區別，定理1和定理2完整的敘述應該是：

定理1′ 一個（n階實）矩陣A是正交矩陣的充要條件是這個（實）矩陣的列向量組是一個單位正交向量組。endprint

定理2′ 一個（n階復）矩陣U是酉矩陣的充要條件是這個（復）矩陣的列向量組是一個單位正交向量組。

現在請注意上面定理1′和定理2′敘述中我們有意加了括號的文字。將定理1′、定理2′和前面的定理1、定理2對比，可以看出定理1和定理2后面分別省略了定理1′和定理2′后面加了括號的“實”字和“復”字。這個“實”字意即“A是實方陣”正是定理1這個結論成立的大前提條件，而這個“復”字意即“U是復方陣”又正是定理2這個結論成立的大前提條件，它們是證明結論時必須要用到的。正是因為這兩個字省略了，定理1和定理2后面的充要條件在字面上就完全一樣了，這正是容易引起困惑的地方。在數學結論的敘述中，之所以要省略部分文字，一般是出于認為結論所在上下文的說明比較清楚，不致引起誤解，或者是為了方便記憶，從而省去一部分累贅的文字（為便于記憶這兩個充要條件，在清楚結論成立的大前提條件的情況下，我們甚至可能會省略掉定理1′和定理2′中所有括號中的文字）。但是，如果對結論成立的大前提條件并不十分清楚的話，這樣的文字省略也會讓學生對結論產生困惑，本文所分析的定理1和定理2就是一個例子。

為避免學生今后產生困惑，一種比較好的方法是，在教學時把容易省略的文字即結論成立的大前提條件寫在充要條件定理的最前面并向學生加以強調，而把要記憶的主要結論即充要條件本身寫在下一行。這樣，本文的兩個充要條件就可以像下面這樣寫出來：

定理一設A是n階實矩陣，則：

A是正交矩陣的充要條件是A的列向量組是一個單位正交向量組。

定理二設U是n階復矩陣，則：

U是酉矩陣的充要條件是U的列向量組是一個單位正交向量組。

從上面定理一和定理二的敘述也可以看出，如果省略最開始的大前提條件“設A是n階實矩陣”和“設U是n階復矩陣”，下面充要條件后面的文字敘述也是一樣的，都是“列向量組是一個單位正交向量組”，從而容易引起疑惑。另外也可以看出，如果把定理二的大前提條件“設U是n階復矩陣”加強為定理一的大前提條件“設A是n階實矩陣”，則定理二酉矩陣的充要條件就加強成為定理一正交矩陣的充要條件了。

四、 結論

教師在內積空間的教學中應該主動向學生強調定理成立的大前提條件。

根據對以上定理1和定理2兩個充要條件的分析，我們可以認識到，教師在內積空間的教學中，應該主動向初學這一部分內容的學生強調定理的大前提條件：如果是實內積空間的定理，應該強調定理的大前提條件是“向量是實向量”或“矩陣是實矩陣”；如果是復內積空間的定理，則應該強調定理的大前提條件是“向量是復向量”或“矩陣是復矩陣”。尤其是實內積空間的定理更應該強調定理的大前提條件，因為實向量比復向量更特殊、條件更強，實矩陣也比復矩陣更特殊、條件更強，從而成為定理的一個重要的前提條件，沒有它定理就不成立。雖然有的學生也知道實內積空間和復內積空間中內積的定義有區別，但對本文提出的這兩個充要條件他們還是不太容易一眼看出實質性的區別，原因就在于他們沒有注意到這兩個充要條件的成立是各自有其大前提條件的，只是在敘述中被省略了而已。所以，受以上分析的啟發，教師在平時教學時就應該向學生強調，數學定理的敘述，為了方便記憶避免累贅，在上下文比較清楚不致引起誤解的情況下，往往會省略一些文字，而這些文字往往蘊含著定理重要的大前提條件，沒有這些大前提條件，定理就不能成立，要能從中體會得到，要能自己把這些省略了的文字添加出來。忽略了這些大前提條件，就容易對定理產生疑惑。平時學習數學時，就要特別加以注意這些在敘述上省略了文字的定理，以防止學習時以及日后復習時對這些省略了文字或省略了大前提條件的定理產生困惑。同時，教師在課堂上教學時，如果遇到在敘述中省略了大前提條件容易引起學生困惑的定理，也要主動為學生特別強調出大前提條件并添加出被省略了的文字。

參考文獻：

[1] HORN R.A.and JOHNSON C.R.Matrix Analysis[M]. Second Edition. Cambridge： Cambridge University Press， 2013.

[2] 張禾瑞，郝鈵新.高等代數[M].第五版.北京：高等教育出版社，2007.

[3] 藍以中.高等代數簡明教程（下冊）[M].第二版.北京：北京大學出版社，2007.

作者簡介：

黃毅，四川省成都市，成都大學信息科學與工程學院，模式識別與智能信息處理四川省高校重點實驗室，成都大學大數據研究院。endprint