淺談擬共形映射的極值問題

孫陽軒

【摘要】擬共形映射也被稱為擬保角映射，是一門涉及函數、極值、數集等多項數學內容的科學，最初被作為復分析的一種手段，隨著應用越發廣泛以及本身技術的進步，漸漸發展為一種獨立學科，尤其在橢圓形偏微分方程中，擬共形映射的地位十分重要，該理論同樣也適用于有理函數迭代、彈性、調和分析等領域，探討擬共形映射的極值問題，對其未來應用有一定的積極意義.

【關鍵詞】擬共形映射；極值

擬共形映射理論在黎曼曲面的研究中成果顯著，包括黎曼曲面的單值化問題、模問題等均在擬共形映射理論的指導下獲得迅速進展，泰希米勒空間、有理函數的迭代以及克萊因群等也可以應用該理論.簡言之，擬共形映射是在區域內將圓映成橢圓映射，只要橢圓的長軸與短軸之比小于或者等于K，K-既是此映射的擬共形映射，其極值則是該范圍內的最大值或者最小值.

一、擬共形映射的基本定義和引理

（一）擬共形映射的基本定義

擬共形映射原本作為復分析的組成部分，隨著科學發展，現被定為一個獨立的科學學科，其基本定義為：

在滿足K>0條件的情況下，設D，D′為固定區域內平面上的開子集，區域內的連續可微函數在此時保持定向，區域內每個點的導數f′將目標圓映為橢圓，該橢圓滿足離心率不大于K，此時f即為K-的擬共形映射，如果K使f為擬共形映射，f即為擬共形映射.

（二）擬共形映射的引理

在區域內選定目標圓，設f：D→D′是K-擬共形映射，B是D內的某雙連通率，則M（B）K≤M[f（b）]≤KM（B）.

同樣，依然在與域內選定目標圓，加入B與B1是兩個不同的雙連通域，B1小于B且在B內，則可知mod（B1）≤mod（B）.

該引理便于對S（K）族進行研究，了解不變性和單調性并進一步探討擬共形映射條件下目標范圍內點的隱蔽性以及相關極值的性質.

二、掩蓋定理

掩蓋定理是被廣泛研究的定理之一，無論目標圓的選取有何種不同，其原理是不變的，在S（z0，K）族內，可以對掩蓋定理進行進一步的探討.

假設w=f（z），G=f（D）為橢圓區域的突出部分，可知d（w0，G）≥（1-|z0|）1K2.并假設f（z0）=w0.

將W0平移至坐標原點，由于G=f（D）是橢圓的突出部分，通過改變G實現G與實軸正半軸焦點的變化，該改變在區間min[d（w0，G）]之間，當G點處于G′={w[Rew

在實際的操作中，將相關數據帶入上述計算式，可以進行快速的計算，由于目標圓的圓心是固定的，G點的變化重在映射區間內，因此，只需考慮z0的相關變化，并確定K的數值，這即是單葉函數S族的12-掩蓋定理.

三、極值定理

通過對S（K）族的掩蓋定理以及引理的相關討論，可以分析出極值定理，鑒于不同計算環境和目標的差異，本文將討論的核心放在S（z0，K）族極值定理的分析上.

首先設w=f（z）為S（z0，K）族，同時設f（z0）=w0，并選定目標范圍內的某個固定點C代入，加入f（z）-f（z0）（|z|<1），選取目標圓內某個固定點R，

并確定R≤|C|4|C|-（1-|z0|）1k（1-|z0|）1K（4|C|）+1）.

在該計算式下，設C大于0，對于所有數據和變量均需充分考慮，如果沒有計算必要，則不考慮C的正負，只以選定點為核心進行旋轉即可，根據前文中的引理，可以得出modBN≤K modf（BN）.

同時，由于R≤|C|4|C|-（1-|z0|）1k（1-|z0|）1K（4|C|）+1）計算時存在的一定的變化性，即R的選取可以是完全隨機的，而且在具體計算中也不可能一成不變，因此，得出計算式R≤|C|4|C|-14|C|+1，通過函數符合，得到單葉函數下，極值的最終區間為：

Ξ=|z|1K（|z|≤1）.

四、極值計算

在上述極限原理中，考慮的是目標點的選取以及不同情況下的變化，但在實際計算中，還需滿足一定條件才能進行計算工作.

比如，在基本的要素胚解f，也稱為K-擬共形映射，K值的確定就成為計算的重點，計算中，未知方程式往往有一個同胚解g，而且在通常情況下，F和g是相等的，考爾德倫-贊格蒙理論是最初滿足該條件的極值揭發.同時，如果選定區域內的某點p為目標函數，為確保其可測，也要應用擬共形映射原理，并確保у∈p是成立的.

假設f依然是區域內的正向映射，K-是其擬共形映射，f（z）是把|z|<1映成|w|<1（（0）=0）的K-擬共形映射，按照黎曼方程的算法，f（z）可以在范圍內進行規律夸張，只要始終保持|z|≤1為|w|≤1的同胚映射，極值的大小就是規律變化、容易捕捉的.

在部分計算條件下，擬共形映射的極值計算還存在著一定的近似性，這種情況不需要公式和數據的極度精確，計算難度也小得多，不過所用的原理和規律是相同的，比如，拓撲條件下的映射族，無論f怎樣變化，極值是必然存在的，將橢圓的突出部分近似為黎曼曲面，只要所選的函數不變，極值的映射就可以在近似理想的環境中求得.這種方式在現代擬共形映射應用和極值求取中十分常見，尤其是一些難以進行緊密計算的領域或者部分對數值精確度要求不高的情況.由于極值通常在一個區間內，因此，近似極限結果通常能夠滿足所用，比如，安置于高處的太陽能接收設備，假如設備外觀為圓形，隨著太陽角度的改變，設備的影像會呈現橢圓形，即可以看作是擬共形映射的近似情況進行計算.

五、總 結

擬共形映射作為一個獨立的科學學科，在有理函數迭代、彈性、調和分析等領域得到廣泛應用，其突出特色是只要映射條件不變，任意目標點函數的計算都可以遵循固定的原理進行.在實際生活中，也會運用到近似的極值算法進行一些計算工作，探討其具體內容，有助于相關工作的開展.

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