初中數(shù)學教育中數(shù)學史的價值研究

蘇漢培+鄭成勇

【摘要】在新課改的背景下，研究數(shù)學史對數(shù)學知識與技能以外的價值與影響具有重要意義.本文在對初中數(shù)學教科書上的數(shù)學史材料進行分析、分類、總結(jié)的基礎(chǔ)上，研究數(shù)學史對于初中數(shù)學學科教學中數(shù)學思考、情感態(tài)度的價值與作用，并探討數(shù)學史在數(shù)學學科教學以外的教育影響（如德育影響等）.指明數(shù)學史不僅對于數(shù)學思考、情感態(tài)度的教育有實踐與應(yīng)用的價值，在學科教學以外，也能產(chǎn)生有價值的教育影響.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學史；初中數(shù)學

一、初中數(shù)學教材中數(shù)學史的現(xiàn)狀

本文以人教版為例，選取了人教版數(shù)學教材7年級上冊—9年級下冊，通過翻查，檢閱并一一記錄，發(fā)現(xiàn)人教版數(shù)學教材中在數(shù)學史的使用數(shù)量上有73處.內(nèi)容上多集中在幾何與代數(shù)上，如“勾股定理”“七橋問題”“斐波那契數(shù)列”等，數(shù)學名人名著上，本國數(shù)學名人名著的介紹要多于外國數(shù)學名人名著的介紹.史料來源上，多集中在古代，少有近代及現(xiàn)代的介紹.

在材料類型的分類上，選用華東師范大學數(shù)學系的汪曉勤教授所建立的分析框架.將材料類型分為點綴式、附加式、復制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式五類，每類的標準見下表[1].

材料類型標準

點綴式孤立的圖片，如數(shù)學家畫像、數(shù)學圖案、反映數(shù)學主題的繪畫或攝影作品等

附加式文字閱讀材料，包括數(shù)學家生平、數(shù)學概念和符號、思想的源泉、歷史上的數(shù)學問題、思想方法等

復制式正文各欄目中直接采用歷史上的數(shù)學問題、問題解法、定理證法等

順應(yīng)式正文各欄目中對歷史上數(shù)學問題進行改編，使之具有適合于今日課堂教學的情境或?qū)傩?/p>

重構(gòu)式正文各欄目中借鑒或重構(gòu)知識的發(fā)生、發(fā)展歷史，以發(fā)生法來呈現(xiàn)知識

圖1 初中數(shù)學教材的數(shù)學史運用情況

在上述數(shù)學史材料的分類標準下，本文發(fā)現(xiàn)，人教版數(shù)學教材7年級上冊—9年級下冊中，附加式的材料有35處，順應(yīng)式的材料有22處，復制式的材料有13處，重構(gòu)式和點綴式的材料分別有2處.建立餅狀圖如圖1所示.從圖1可以看出，數(shù)學史材料以附加式為最多，為47%，不利于將數(shù)學史融入實際教學當中；點綴史與重構(gòu)式所占比例很少，對直觀教學的幫助不大；順應(yīng)式占比為30%，在將數(shù)學史融入實際教學中的效果不突出.總體來說，教材中數(shù)學史教學受到足夠的重視，但是對數(shù)學史的處理方式過于簡單，同時也不利于將數(shù)學史融入實際教學當中.

二、數(shù)學史對數(shù)學思考的價值

數(shù)學思考，就是在面臨各種現(xiàn)實的問題情境，特別是非數(shù)學問題時，能夠從數(shù)學的角度去思考，自覺應(yīng)用數(shù)學的知識、方法、思想和觀念去發(fā)現(xiàn)其中所存在的數(shù)學現(xiàn)象和數(shù)學規(guī)律，并運用數(shù)學的知識和思想方法去解決問題[2].數(shù)學是人類文化的重要組成部分，數(shù)學素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng).我們的生活離不開數(shù)學，當然也就離不開數(shù)學思考.數(shù)學思考從哪里來，從數(shù)學教育中來.良好的數(shù)學教育不僅傳承和發(fā)展人類優(yōu)秀的文化，還要發(fā)展學生的思維能力和創(chuàng)造想象能力，提升學生的理性思維、審美智慧和創(chuàng)新精神，還要讓學生經(jīng)歷數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程，學會“數(shù)學地思考”問題.

數(shù)學思考包括的內(nèi)容[3]：

1.建立數(shù)感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力，發(fā)展形象思維和抽象思維.

2.體會統(tǒng)計方法的意義，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，感受隨機現(xiàn)象.

3.在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法.

4.學會獨立思考，體會數(shù)學的基本思想和思維方式.

我們可以發(fā)現(xiàn)，新課標提出的十大核心概念基本上是融合在數(shù)學思考內(nèi)容里的.從這里可以看出，培養(yǎng)學生的數(shù)學思考多么重要.知識技能、數(shù)學思考、問題解決、情感態(tài)度四個方面目標不是相互獨立和割裂的，而是一個密切聯(lián)系、相互交融的有機整體.數(shù)學思考、問題解決、情感態(tài)度的發(fā)展離不開知識技能的學習，知識技能的學習必須有利于其他三個目標的實現(xiàn).這些目標的整體實現(xiàn)，才能使學生受到良好的數(shù)學教育.

在數(shù)學史中，有丟番圖的墓志問題[4]：“他的生命的六分之一是幸福的童年.再活十二分之一，頰上長出細細須.又過了生命的七分之一才結(jié)婚.再過5年他感到很幸福，得了一個兒子.可是這孩子光輝燦爛的生命只有他父親的一半.兒子死后，老人在悲痛中活了4年，結(jié)束了塵世的生涯.”

這個問題很容易轉(zhuǎn)化為方程求解的問題，這個數(shù)學史的經(jīng)典例子來源于生活，具有直觀性，對于啟發(fā)學生將問題轉(zhuǎn)化為方程來求解無疑有極大幫助.

又如，如圖2所示的柯尼斯堡七橋問題[4]：“18世紀初普魯士的哥尼斯堡，有一條河穿過，河上有兩個小島，有七座橋把兩個島與河岸聯(lián)系起來（如圖2右所示）.有個人提出一個問題：一個步行者怎樣才能不重復、不遺漏地一次走完七座橋，最后回到出發(fā)點？”

圖2 柯尼斯堡七橋問題

通過一個直觀又看似簡單的問題進而延伸到一筆畫問題——拓撲問題等數(shù)學問題.不但加強學生的對數(shù)學本質(zhì)的理解，也啟發(fā)學生的數(shù)學思考.

三、數(shù)學史對情感態(tài)度的價值

情感態(tài)度的內(nèi)容包括：

1.能積極參與數(shù)學學習活動，對數(shù)學有好奇心與求知欲.

2.在數(shù)學學習活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心.

3.初步認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系及對人類歷史發(fā)展的作用，體驗數(shù)學活動充滿著探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學的嚴謹性以及數(shù)學結(jié)論的確定性[3].

4.形成實事求是的態(tài)度以及進行質(zhì)疑和獨立思考的習慣.

同時，《數(shù)學課程標準》強調(diào)，數(shù)學教學要使“學生獲得對數(shù)學理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展”.這就告訴我們：數(shù)學教學的過程，既是認知活動的過程，也是情意活動的過程.而直觀性、啟發(fā)性的原則對情感態(tài)度與價值觀塑造要求要以具體材料為依據(jù).數(shù)學本身是抽象的，在情感態(tài)度與價值觀塑造上不能起很大的作用，而數(shù)學史在直觀材料上起到很好的補充.endprint

以三次數(shù)學危機為例：

第一次數(shù)學危機是由希帕索斯發(fā)現(xiàn)數(shù)學史上第一個無理數(shù)2而導致的.小小2的出現(xiàn)，卻在當時的數(shù)學界掀起了一場巨大風暴.它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數(shù)學信仰（畢達哥拉斯學派認為所有數(shù)都能以整數(shù)或整數(shù)比的形式表達），使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌.實際上，這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊，對于當時所有古希臘人的觀念都是一個極大的沖擊.

第一次數(shù)學危機的例子在初中無理數(shù)教學中，讓第一次接觸無理數(shù)的學生直觀地感受到數(shù)學活動充滿著探索與創(chuàng)造，數(shù)學的嚴謹性以及數(shù)學對實事求是的態(tài)度.

第二次數(shù)學危機源于微積分工具的使用.伴隨著人們科學理論與實踐認識的提高，17世紀幾乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數(shù)學工具為牛頓、萊布尼茲共同發(fā)現(xiàn).這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力.許許多多疑難問題運用這一工具后變得易如反掌.但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分理論都是不嚴格的.兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的.經(jīng)過柯西用極限的方法定義了無窮小量，微積分理論才得以發(fā)展和完善.

這一例子展現(xiàn)了數(shù)學的嚴謹性、邏輯性.有助于學生形成嚴謹認真的思考方式，樹立起求真求是的價值觀.

第三次數(shù)學危機是由于“羅素悖論”使得康托爾的集合論出現(xiàn)矛盾，現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ)受到挑戰(zhàn).數(shù)學基礎(chǔ)問題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學家面前，而這個問題至今仍沒有完美解決.

“理發(fā)師悖論”是介紹第三次數(shù)學危機的一個淺顯易懂的解釋.這以例子一下子就極大地拉近了學生與最前沿數(shù)學的距離.不但能極大地激發(fā)學生對數(shù)學的好奇心與求知欲，也讓學生對數(shù)學本質(zhì)有了更深刻的了解.培養(yǎng)起學生對待科學問題上“學無止境”的態(tài)度.

四、數(shù)學史對德育的價值

（一）數(shù)學史有助于國際主義教育

最明顯的例子就是阿拉伯數(shù)字的起源，這種由印度人發(fā)明的數(shù)字，經(jīng)阿拉伯人傳向歐洲，之后再經(jīng)歐洲人將其現(xiàn)代化，才有了我們今天所熟知的阿拉伯數(shù)字.這表明數(shù)學的誕生與成長不僅是數(shù)學家們努力的成果，同時也是國際交流的成果.對于培養(yǎng)學生開放、包容的思想無疑有重大啟發(fā).

（二）數(shù)學史有助于愛國教育

我國古代著名數(shù)學家祖沖之算出圓周率（π）的真值在3.141 592 6和3.141 592 7之間，相當于精確到小數(shù)第7位，簡化成3.141 592 6，祖沖之因此入選世界紀錄協(xié)會世界第一位將圓周率值計算到小數(shù)第7位的科學家.祖沖之還給出圓周率（π）的兩個分數(shù)形式：227（約率）和355113（密率），其中密率精確到小數(shù)第7位[4].祖沖之對圓周率數(shù)值的精確推算值，對于中國乃至世界是一個重大貢獻.這一例子無疑大大提高學生的自信心，也對激勵學生勇于探索，為國家的數(shù)學發(fā)展做貢獻起到榜樣作用.

（三）數(shù)學史有助于建立辯證唯物主義的世界觀

數(shù)學史上的三次數(shù)學危機客觀上揭示了數(shù)學的矛盾運動過程，它表明數(shù)學不是完美無缺的，不是停滯不前的.數(shù)學的發(fā)展是其矛盾運動的結(jié)果.

（四）數(shù)學史展現(xiàn)了數(shù)學家為真理而獻身的高尚情操與偉大人格

希帕索斯因發(fā)現(xiàn)無理數(shù)而葬身大海，阿基米德因著迷于數(shù)學研究而死于羅馬士兵劍下，伽利略、哥白尼因堅持日心說而遭教會迫害.許多數(shù)學家因為堅持真理，追求真理而遭受貧苦、不公和迫害，但正是因為他們的堅持與努力，才有了現(xiàn)在數(shù)學大廈的輝煌，才有了現(xiàn)在人類文明的偉大.他們的高尚情操與偉大人格激勵著一代又一代學子追求真理，勇攀科學的高峰.

五、總 結(jié)

數(shù)學史無疑具有重要價值，是初中教育中不可或缺的一部分.在數(shù)學教育上，數(shù)學史有助于學生建立起數(shù)學思考的習慣，嚴謹認真的情感態(tài)度.在其他方面，如德育上，能讓學生領(lǐng)會到熱愛科學、堅持真理的道理.

【參考文獻】

[1]張小明.中學數(shù)學教學中融入數(shù)學史的行動研究[D].上海：華東師范大學，2006.

[2]宋乃慶，徐斌艷.數(shù)學課程導論[M].北京：北京師范大學出版社，2010.

[3]教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[4]中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.義務(wù)教育教科書·數(shù)學[M].北京：人民教育出版社，2013.

[5]王青建，陳洪鵬.《數(shù)學課程標準》中的數(shù)學史及數(shù)學文化[J].大連教育學院學報，2009（4）：40-42.endprint