一道教材引例的教學價值

張雨晴

在復習課中，有些教師廣泛查閱課外資料，以選擇大量所謂好的例題在課堂中講解.事實上，教材中就有大量樸實無華、輻射性強的問題或例題，等待我們去總結和挖掘.

高中數學（人教A版）必修5第三章數列中，在描述遞推法與遞推公式時，給出了如下的引例：如果一個數列{an}的首項a1=1，從第二項起每一項等于它的前一項的2倍加1，即an=2an-1+1（n>1），那么a2=2a1+1=3，a3=2a2+1=7，….

我們知道，這是典型的一階線性遞推數列，它的一般形式為a1=a，an+1=pan+q， （其中p≠0，1，p，q均為常數）.教材中僅用此例說明什么是遞推法與遞推公式，而沒有求其通項公式，更沒有做進一步的研究與探討.我們認為，該例題是進行單元復習或高考復習的極佳素材，是已知遞推公式求通項公式的典型例題，它的通項公式的各種求法可遷移到某些一階非線性遞推數列及二階線性遞推數列的通項公式的求法.下面對該題的解法做一深入探究.

題目 已知a1=1，an=2an-1+1（n>1），求數列{an}的通項公式.

解法1 （用待定系數法構造等比數列）

設an=2an-1+1可化為an+λ=2（an-1+λ），即an=2an-1+λ，所以λ=1.從而an+1=2（an-1+1），即an+1an-1+1=2，所以{an+1}是以2為公比的等比數列，又它的首項為a1+1=2，故an+1=2·2n-1=2n，故an=2n-1.

解法2 （通過作差構造等比數列）

因為an=2an-1+1，所以an+1=2an+1，兩式相減得an+1-an=2（an-an-1），即an+1-anan-an-1=2，所以{an+1-an}是以a2-a1=2為首項、以2為公比的等比數列，故an+1-an=2·2n-1=2n，所以an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+2+22+…+2n-1=2n-1.

解法3 （利用方程的思想）

由解法2，有an+1-an=2·2n-1=2n.（1）

又因為an=2an-1+1，所以an+1=2an+1.（2）

（2）代入（1）得an=2n-1.

解法4 （構造差式再利用累加法）

因為an=2an-1+1，所以an-2an-1=1，

上式兩邊同除以2n，得an2n-an-12n-1=12n，

利用累加法，得

an2n=a12+a222-a12+a323-a222+…+an2n-an-12n-1

=12+122+123+…+12n=1-12n，

故an=2n-1.

解法5 （累加法）

由已知得an-2an-1=1，

則a2-2a1=1，（1）

a3-2a2=1，（2）

a4-2a3=1，（3）

…

an-2an-1=1.（n-1）

由（1）式+12×（2）式+122×（3）式+…+12n-2×（n-1）式，得

12n-2an-2a1=1+12+122+…+12n-2=2-12n-2，

故an=2n-1.

解法6 （迭代法）

因為an=2an-1+1，a1=1，則

an=2an-1+1=2（2an-2+1）+1=22an-2+2+1

=22（2an-3+1）+2+1=23an-3+22+2+1=…

=2n-1a1+2n-2+2n-3+…+2+1

=2n-1+2n-2+2n-3+…+2+1=2n-1.

解法7 （歸納—猜想—證明）

∵an=2an-1+1，a1=1，

∴a2=3=22-1，a3=7=23-1，a4=15=24-1，

故猜想an=2n-1.下面用數學歸納法證明.

（1）當n=1時，a1=21-1=1，結論顯然成立.

（2）假設當n=k時，結論成立，即ak=2k-1，

那么當n=k+1時，

ak+1=2ak+1=2（2k-1）+1=2k+1-1，

所以n=k+1時，結論也成立.

綜合（1）（2）可知，an=2n-1對一切n∈N+都成立.

以上七種解法為解決許多數列問題提供了思路，其中解法1是通解通法，運用它可以求解以下三類一階非線性遞推數列的通項公式：（1）a1=a，an=pan-1+kn+b（n>1）；（2）a1=a，an=pan-1+kn2+bn+c（n>1）；（3）a1=a，an=pan-1+kqn+b（n>1）.其中a，p，k，b，c均為常數，且p≠0，1，k≠0.也可以求解二階線性遞推數列：F1=F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n≥3）的通項公式.在實際教學中，教師可以采用講授法，也可以讓學生先在課下分組探究，再在課堂上匯報不同的解法，教師點評與補充.

作為例1的練習，我們可把教材中習題2.1A組第4題第一小題由寫前五項改為求通項公式：已知a1=12，an=4an-1+1（n>1），求數列{an}的通項公式.endprint