“簡單的排列問題”教學實錄與評析

授課：王立香

點評：劉永昌

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：B 文章編號：1009-010X（ 2018 ）04-0055-05

編者按：為全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務，充分發揮教育研究與評價在基礎教育課程改革中的重要作用，經河北省教育廳批準，河北省教育科學研究所在2017年以聚焦提高教育質量的主題，立足全省實際，結合當前課程實施中的難點、重點問題。組織開展了全省各學科現場優質課評選和研討活動。從本期開始，我們陸續刊出一批獲獎的優秀課例和專家點評，以供廣大教師借鑒。

教學內容：冀教版“義務教育教科書·數學”二年級下冊第89～90頁。

教學目標：

1.結合學生熟悉的事例，經歷探索、發現簡單事物排列規律的過程。

2.能列舉出3個事物的所有排列結果，初步體驗有序排列的思想方法。

3.積極參加探索活動，激發學生對身邊事物的好奇心，發展初步的推理能力。

教學重點：能不重復不遺漏列舉出3個事物的所有排列結果。

教學難點：發現簡單事物排列的規律。

教學準備：PPT課件、手機、記錄單、便利貼、記號筆。

教學過程：

一、師生談話，創設情境

師：同學們，今天是王老師第一次給大家上課，你們知道我姓什么嗎？

生：老師，您姓王，您自己都說出來了！

師：真好，別人發言的時候你聽得很仔細呀！可是我還不知道你們的名字呀，誰愿意到前面來介紹一下你自己？

（請出三位同學到前面進行自我介紹，教師隨機貼上姓名貼。）

師：這三位同學多才多藝，又大方又自信！我想給你們照張相行嗎？請三位同學排成一排。

【評析：師生之間進行自我介紹，拉近了彼此之間的距離，消除陌生感。通過給學生照相吸引了學生的注意力，也使學生不知不覺地進入到老師創設的問題情境巾。】

二、三人照相，探究規律

1.師生拍照，體驗無序排列

（老師用手機給三位同學拍照，學生自由變換位置。）

師：你們換換位置！老師想多拍幾張不同的照片，你們幫我拍全了，別漏了啊！

師：再換個位置！這張照片和剛才的重復了吧，我記得這位同學剛才排過第一呀？

生1：嗯，重復了！

生2：我覺得沒重復，雖然第一個同學的位置沒變，但是后面兩個同學的位置和剛才不一樣。

師：你觀察的真仔細！看來想給三人照出不同的照片還真不是一件容易的事兒，今天我們就一起來研究這個問題。

（板書：三人照相）

【評析：老師給三個同學照相，讓學生任意排隊，并不斷交換位置拍照，使學生體會到：在無序思考的狀態下拍出的照片容易遺漏、容易重復。在真實情境中，學生通過觀察、體驗理解了“重復”“遺漏”的含義，并且感受到有序思考的重要性，激發了學習的積極性和主動性。】

2.符號表示，嘗試有序排列

師：同學們想一想，三人照相，最多能照出幾張不同的照片呢？

生1：4張。

生2：6張。

生3：9張。

師：大家猜的不一樣，你覺得可以拍出幾張就把三人的位置寫在練習紙上。

生：老師，我不會寫這三人的名字怎么辦呀？

師：哦，那同學們幫忙想想辦法吧。

生1：三位同學的姓不一樣，可以只寫他們的姓。

生2：可以用圖形來表示。

生3：可以用1、2、3表示。

生4：我覺得也可以用字母ABC來表示。

師：同學們想到了這么多好方法！用這些符號來表示這三位同學，寫起來就方便多了！那就請你選一種你喜歡的方式作記錄吧。

【評析：符號的使用是幫助學生進行數學思考的重要形式。引導學生用符號表示拍照結果，不僅為探究排列規律提供了簡潔方便的學習方法，又有利于發展學生的思維，增強符號意識。】

3.全班交流，探究發現規律

師：剛才老師收集了一些同學的記錄單，請這幾位同學到前面來給大家說說你們的想法。

①生：我用ABC表示這三位同學，我拍了4張照片。

師：請大家仔細觀察他的記錄單，你們有什么要對他說的嗎？

生：他拍的照片太少了，有遺漏的照片。

師：誰能幫他補充？

生：你漏掉了ACB、CBA這兩張照片。

②生：我是用圖形表示的，我拍了9張照片，可能是拍多了。（不好意思地笑了）

師：那你知道問題出在哪兒了嗎？

生：有的照片拍重復了。

師：那我們一起來把重復的照片劃掉。劃掉以后還剩幾張？

生：6張。

③生：我是用數字來表示的，我拍了6張照片。

師：誰來評價一下他拍的這六張照片？

生：他拍的這6張照片既不重復也不遺漏。

生：他拍的照片是有規律的。

師：是什么規律呢？我們請這位同學自己來說一說。

生：第一張是123，第二張是132……

師：這兩張照片巾誰的位置沒有變？誰的變了呢？怎么變的？

生：這兩張照片1的位置沒變，2和3交換了位置。

師：你們聽他表達的多清楚！請繼續！

生：這兩張照片2的位置沒變，1和3交換了位置;這兩張照片3的位置沒變，1和2交換了位置。

師：說得很有條理！有規律的排列可以給三人不重復不遺漏地拍出6張照片。

【評析：學生是數學學習的主體，教師以平等、尊重的態度鼓勵學生積極參與教學活動。師生共同分享發現和成果，圍繞為何要有序、如何才能做到有序來展開交流，突出要“有序思考”的教學重點。這樣既有利于學生體會解決問題的基本策略，又有利于發展學生的有序思維。】

4.再次拍照，體驗有序排列

師：現在我們就用這個規律再來一次拍照。請上剛才那三位同學，為了研究方便，我們用ABC來代替你們的姓名好嗎？請同學們當攝影師，用這個姿勢來拍照，你們指揮，我記錄。

（三位同學有序排列照相，同學們做手勢拍照。）

師板書：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA

師：你們覺得這兩次拍照有什么不同？

生1：剛才那次拍照有點亂，這次一點也不亂。

生2：這次拍照既不重復也不遺漏。

生3：這次拍照有規律，每次都是一個人的位置不變，另外兩個人交換位置。

師：一個不變，兩個交換！總結的真好！按照這個規律有序排列就能把6張照片不重不漏都拍全。謝謝十三位同學為我們表演了有序排列！

（板書：有序排列）

【評析：學生再次進行有序拍照，與教學之初的無序拍照形成了鮮明的對比，不僅鞏固了排列的方法，同時也感受到有序思考的意義。】

三、乒乓比賽，建立模型

師：你們瞧，這里正在進行乒乓球比賽，參加比賽的三個小朋友分別叫聰聰、小強、亮亮。你覺得誰有可能得第一？

生1：我覺得聰聰可能得第一。

生2：我覺得亮亮可能得第一。

生3：我覺得小強可能得第一。

師：也就是三個小朋友都有可能得第一。那比賽的結果有幾種可能呢？先和你的同桌說一說，你是怎樣想的？

學生同桌交流。

師：誰來說說你是怎么想的？

生1：聰聰第一、亮亮第二、小強第三;聰聰第一、小強第二、亮亮第三;亮亮第一、聰聰第二、小強第三;亮亮第一、小強第二、聰聰第三;小強第一、聰聰第二、亮亮第三;小強第一、亮亮第二、聰聰第三。

生2：假如聰聰得第一，亮亮和小強交換有兩種可能。

假如亮亮得第一，聰聰和小強交換有兩種可能。

假如小強得第一，亮亮和聰聰交換有兩種可能。

師：你們聽，他用了一個詞“假如”，說明他不用看小朋友表演就能把結果都想出來！

生：我覺得這和照相一樣，每個小朋友得第一都有2種可能，3個小朋友就有6種可能。

師：用算式表示就是2×3=6（張）

師：同學們真了不起，看來有序排列的方法已經跑到你們的腦子里去啦！

【評析：學生在學會列舉具體結果的基礎上用數學語言清楚地表達自己的思維過程和結果，歸納得出3×2=6，從而抽象出數學模式，形成此類問題的解決策略。】

四、歸納總結，拓展升華

師：照這個方法排列，三個玩具左右排列，有幾種擺法？

生1：6種。

師：三個筆記本上下排列，有幾種擺法？

生2：6種。

師：那擺玩具、擺筆記本、排名次這些事和三人拍照有相同的地方嗎？

生3：都是3個事物排列。

生：都有6種結果。

生4：都可以按照一個不變，兩個交換的方法進行排列。

師：對，我們在解決這類問題的時候都可以采用“一個不變，兩個交換”的方法進行有序排列，這樣就可以把6種結果不重不漏地都想全。

五、快樂游戲，激發興趣

師：王老師經常買筆記本送給我們班的同學鼓勵他們寫數學日記，今天我也帶了3個筆記本，想送給大家！想得到它可不太容易，你們瞧，筆記本上掛著的是什么？

生：密碼鎖

師：只有猜對了密碼才能得到它。敢不敢挑戰！

（一）出示第一個筆記本（三個數字全排列）

師：這個本上掛著的是一個三碼鎖，“密碼是由2、5、7三個數字組成的”，這三個數字編出的密碼可能有幾種呢？大家趕快寫一寫吧。

請一位學生上臺拼密碼。

師：究竟密碼是其巾哪一個呢？請看下一條提示“密碼既不是其中最大的數，也不是最小的數。”

生：說明密碼肯定不是752和257。

師：提示3：“密碼的中間不是2”。

生：密碼中間不是2的有兩個，去掉725和5270

師：提示4：“密碼的個位上是2”。

生：572 1

師：確定嗎？請大聲讀出解鎖密碼，筆記本是你的啦！

（二）出示第2個筆記本（從三個數字中選擇二個數字排列）

師：第二個筆記本上掛的是二碼鎖，這兩個數字也是在2、5、7中選出來的，那排出的密碼會有幾種呢？請把他們按照從大到小的順序排一排，密碼排在第五位。

生：排在第五位的是27 1

（三）出示第3個筆記本

師：第三個密碼本是一個四碼鎖，四個數排出的密碼可多啦，一時半會兒先寫不完，這樣，下課以后誰能最先把這些四位數有規律地排列出來，就可以來領取獎品啦！想不想挑戰？那就下課后趕緊行動吧！

【評析：三個數字的排列滲透了全排列與選擇排列的知識，提高了學生解決問題的靈活性。學生猜密碼的游戲具有趣味性和挑戰性，激發了學生的學習興趣，調動起學生學習的積極性，同時使學生感受到數學的價值。“四碼鎖”比較難，由于課上時間不足，故留作課下作業，使得學習活動從課上延伸到課下，課雖結束，學生的探索熱情仍未停步。】

【總評】

“簡單的排列問題”是冀教版《義務教育教科書·數學》二年級下冊“探索樂園”中的內容。本節課教學以探索簡單排列規律為明線，以滲透數學思想方法為暗線，通過創設真實的拍照情境，學生經歷了從無序到有序的思考過程，在教師的引導下積極探索發現簡單事物排列的規律，初步掌握了排列問題的解決策略。教師提供了豐富的、合適的生活素材，讓學生在熟悉的數學情境中發現、提出、分析、解決問題，整節課充滿了濃厚的數學趣味和積極的數學思考，學生的數學學習活動是生動活潑的。縱觀這節課，有以下幾個突出的特點：

1.創設真實有效的數學情境，探索有序排列的規律

數學教學要求緊密聯系學生的生活實際，從學生的生活經驗和已有知識出發，創設各種情境，為學生提供從事數學活動的機會，激發學生對數學的興趣以及學好數學的愿望。這節課將教材提供的照相情境進行了再加工，創設了教師現場為三位同學照相的真實情境，自然貼切，新穎別致，緊扣主題，一下子吸引了學生的注意力。最初的照相活動未能成功，恰恰暴露出學生缺乏有序思考的原始狀態，認識到學習簡單排列規律的必要性，從而產生學習新知識的欲望和動力。學生探究得出有序排列的方法后，再次進行拍照，無序拍照和有序拍照形成了鮮明的對比，學生感受有序排列的重要性，同時獲得了積極成功的情感體驗。這樣的情境設計讓數學與生活合理合適地相遇，學生身臨其境，投入其中。

2.組織生動活潑的探索活動，關注核心素養的培養

學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。在這個過程中，學生的學習不應該是浮于淺表的、機械模仿的，而是真正能落到實處，觸及到數學知識的本質。這節課上，教師鼓勵學生自主嘗試用自己喜歡的符號表示拍照結果，個性化的表達使學生敢表達、能表達，大膽嘗試后學生們的思路如泉涌，呈現出了字母、數字、圖形等豐富并極具個性的多元表征，有效培養了學生的符號意識。然而只有自主表達沒有對話交流，又怎能讓學生獲得進一步發展呢？教師把握契機及時引導，怎樣使排列結果不重復不遺漏？學生們在師生對話、生生對話巾，不斷反思調整、完善自己的認識，每個學生在發現規律、探索規律的數學學習巾獲得不同程度的進步與發展，學生也因此收獲了寶貴的數學活動經驗。

3.設計富有挑戰性的游戲活動，激發學生的學習熱情

教學中，把數學游戲有機的融入課堂，可以增強課堂的趣味性和活潑性。這節課教師精心設計“猜密碼”的數學游戲極具挑戰性，激起了學生的探索熱情。三個密碼鎖的設計獨具匠心，分別涉及到三個數字全排列和選擇排列的知識，不僅鞏固了簡單排列的方法，還培養了學生靈活解決問題的能力。尤其是最后一個四位數密碼鎖的拓展性練習，將課堂內的探索熱情延伸至課堂外。課上的學習雖然結束了，但學生探索的熱情和欲望猶然存在，從而更長久地激活學生學習數學的興趣，增強學好數學的信心。