以“三角函數”為例談高中數學知識梳理課教學

☉山東省博興第一中學 韓繼芳

知識梳理課是某一章節內容教學結束之后幫助學生回歸教材、厘清教材脈絡體系并使各知識點產生有效關聯的課堂，這是有效提升學生數學綜合能力并進行知識系統建構的課型.當前的高中數學教學中因為教師對知識梳理課的重視力度不夠而出現諸多的問題.

一、梳理課的常見類型

筆者曾在“三角函數”這一內容的知識梳理課上聽過不同教師的課堂教學，根據幾位數學教師的教學情況將知識梳理課大致分為以下幾種類型.

類型1：為了節約課堂時間少上甚至不上知識梳理課，這部分教師往往將知識梳理的內容安排在課外讓學生自行完成.

類型2：在課堂上放任學生自行整理，學生在教師的甚少參與或點撥中因為各種原因逐漸梳理不下去了.

類型3：教師熟知教材中的各知識點并精心設計提問與學生進行互動，教師提問、板書，以及學生的精彩回答使得課堂容量更大、氛圍更好.

教師在日常教學中有必要對梳理課型進行認真的研究以促進該單元知識的精髓把握與脈絡梳理，同時在梳理過程中不斷推陳出新以促進學生在感受新意的同時不斷加深對知識的理解，使學生在知識梳理與鞏固復習中逐步對有關公式的使用更加自覺與靈活.

二、案例：三角函數的知識梳理

筆者結合課標、教材內容的反復研讀及教學經驗，在“三角函數”知識梳理課的教學中進行了設計，并在組內公開課中邀請了部分教師進行了聽課與評課.

1.教學簡錄

問題情境設計（動漫展示）：（1）將一段花兒盛開、蝴蝶翻飛的春天美景播放給學生看，春光明媚下的風車、秒針轉呀轉，一圈又一圈……（2）兒時的牛頓坐在蘋果樹下，看到一顆熟透的蘋果掉了下來隨即陷入沉思……

教師：高中數學課程標準要求我們了解、理解、掌握三角函數中的相關內容與公式，今天開始，我們就針對種類繁多、數量龐大、內容豐富的這塊內容進行復習.

教師：我們首先針對三角函數概念、終邊相同的角的表示、角度制與弧度制之間的互化、二倍角三角函數公式等內容進行一定的回顧，看看大家對這些公式的掌握是否比較熟練，接下來就請大家來講一講.

（很多學生能夠站起來對這些內容進行發言，課堂氛圍預熱目的達成）

教師：大家掌握的不錯，不過，老師接下來的幾個小問題能夠真正看出你們對這部分內容的掌握程度.

投影展示問題串：

①你們能列舉一些生活中的簡單事例來描述三角函數所刻畫的客觀現實規律嗎？

②你們如何理解弧度制這一概念引入教材的必要性？扇形面積公式可否通過一定的合情思維從圓的面積公式中得出呢？

③你們對角的概念延伸的意義有何想法？你們認為三角函數概念在平面直角坐標系下是如何進行延伸的呢？其中可存在科學性和嚴謹性的表現？

④單位圓中的三角函數線的作用你們是怎么理解的呢？能否結合教材內容進行舉例說明呢？

⑥你們能結合單位圓中的三角函數線將正弦函數y=sinx（x∈［0，2π］）圖像的作圖過程敘述出來嗎？你們覺得作圖時不采用列表、描點、連線方法的原因在哪里？你們從中感受到了幾何直觀的價值嗎？

⑦教材中對于公式cos（α-β）是怎樣推導的？cos（α+β）、sin（α±β）、tan（α±β）等公式也因此被一一推導出，那么公式cos（α-β）是其他公式的“根”這一說法正確嗎？

⑧反思：這一章節內容中總離不開圓，尤其是單位圓，為什么呢？你們如何看待單位圓和三角函數之間的關系呢？

⑨課堂開始動漫中的風車旋轉等和角概念的擴充之間可存在一些必然的內在聯系？

⑩函數y=sinx的圖像經過平移與伸縮變換得到函數y=sin（ 2x +π）的過程你們能夠敘述出來嗎？

學生在教師精心設計的問題串的引領與推動中閱讀教材、交流合作并積極回答（回答過程略）.

例題研討：設某時鐘的中心點為O，12時處為B，秒針端點為A，OA=5cm，當t=0時，A、B兩點重合，若將A、B兩點的距離d（cm）表示成（ts）函數，則d=________，其中t∈［0，60］.

教師：哪一函數模型能對這一問題情境進行刻畫呢？

學生：三角函數！

教師：為什么？

學生：三角函數對于周期函數的刻畫是最為合適的，該問題情境正好有這一特點.

教師：很好！怎么解決？

學生：OA繞端點O順時針旋轉，和OB形成的角為∠BOA，當時間為（ts）時，可得∠BOA=t=t，通過幾何直觀，分t=0，t∈（0，30），t=30，t∈（30，60），t=60這幾種情況進行分析.

教師：好極了！解答過程一并講一講.

教師：說得對極了！

2.組內聽評課簡錄

（1）教師放手讓學生根據問題串的引導對知識進行揭示很有意義.教師所設計的問題來源于教材又緊扣知識點，教師設計問題時很用心.從問題的解決中可以看出學生對教材內容比較熟悉但理解未達一定深度，但教師圍繞三角函數本質的一系列問題設計使得學生在“低臺階、緩爬坡”的探究中發揮了很好的引領作用，看得出來，學生在全面的知識探究中形成了認知與理解上的一定深度，知能并舉、身心雙健的教學目標順利達成.

（2）刻畫了三角函數本質的問題情境在動漫素材的播放中給人感覺很好.

（3）教材與課標在教學之前需要我們教師進行反復的研讀與學習，很多刻畫知識模塊的圖片我們也應該了解其存在的含義.本課情境中的風車令我們對弧度制、角的正負性、終邊相同的角等內容建立了認知與理解，這樣的設置使得概念的延伸更加自然流暢，教材內容雖有一定難度但在呈現時卻顯得相對淺顯.“風車轉呀轉”將三角函數的內容逐漸轉出來的情境令我們耳目一新，學生也在這樣的情境與課堂導入中顯得興致盎然，學生對教材價值也產生了新的認識，觀察、分析、解決問題的良好習慣也因此得到更好的培養.教師設計的問題使得有效課堂教學的各個環節得到了有力的調動，數學的教育功能也因此得到了很好的落實.

（4）例題設計很有意義.學生在很多的解題中會表現得無從下手，究其原因，這種現象還是因為學生對三角函數模型刻畫的周期性的領悟不夠深入而導致的，“風車轉動”的直觀情境、例題設計與教材內容所要體現的本質都特別吻合.

（5）教師上課設置的問題情境與例題的設計與呈現都比較巧妙，教師對教材內容與學生學情的鉆研使得課的設計與實施過程自然順暢，學生在清晰的思維推動下表現出了尤為踴躍的參與態度，教材內容的清晰呈現與梳理得益于教師環環相扣的設計與安排，值得借鑒.

學生對公式的掌握程度不一或者回答問題時候的表現不同是課堂教學中常見且真實的，本課教學中的問題串是回歸教材、深度把握教材的最有力體現，這樣設計的目的在于三角函數描述周期變化這一數學本質的最深刻體現與探索.F