一道解析幾何題的思考與推廣

☉安徽省固鎮縣第一中學 劉小樹

在學習解析幾何時，我們一些學生并沒有真正理解解析幾何研究問題的方法與思路，忽視對其本身屬性的分析，而是盲目地進行代數運算，認為只要算得準確、快速就一定能夠得分，甚至一些老師也片面地強調解析幾何運算的重要性.尤其涉及到直線與圓錐曲線的問題更為突出，導致運算量大，越做越茫然，偏離問題的本質.［1］本文中一位教師以一道質檢考試題為例，從橢圓的幾何性質出發進行剖析，如果能夠幫助學生進一步理解并感悟幾何的思維本質，走出處理解析幾何的誤區，引起一些思維上的觸動，筆者就很欣慰了.例題 已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），右頂點A且|AF|=1.

（1）求橢圓C的標準方程.

（2）若動直線l：y=kx+m橢圓C有且只有一個交點P，且與直線x=4交于點Q，問：是否存在一個定點M（t，0）使得 M→P· M→Q=0？若存在，求出點M坐標；若不存在，說明理由.

解析：（1）易求橢圓C的標準方程為+=1.

學生解法：一般學生會設P（x0，y0），Q（4，s），M（t，0），則+=1，（4-t，s）=0.③ 三個式子聯立起來我們的學生會認為只要運算好就能夠解好本題，其實本題里引入量很多，即使去聯立不知道往哪個方向去做，一頭霧水，于是就歸結為解析幾何算不出來.這是一種機械的學習思維方式，完全脫離了橢圓的基本幾何性質.

答案就在問題當中，細心的會發現題中x=4是橢圓的右準線，右焦點F（1，0），我們一方面在注意題中直線與橢圓相切及橢圓的準線，另一方面思考定點有沒有可能是橢圓的焦點？

筆者下課建議這位教師從以下幾個方面入手分析：

1.由特殊到一般.由于橢圓是確定的，而變化的是直線，直線相對橢圓位置又是確定的（相切），只不過直線由參數k，m確定，綜合考慮k，m可以轉化為一個變量.無論怎么變化，若滿足=0，則可能M（t，0）是確定的點，因此問題轉化為對于任意的k，m=0，就是恒成立問題，為了確定是否為一個定點，不妨取直線l：y=kx+m，為兩條特殊直線觀察是否為定點，如y=，x-2y+4=0（.根據橢圓的切線，若切點為（x，y），切線為

00=1）若為定點，再次證明結論.

2.橢圓的幾何性質決定了直線與橢圓的關系類似于直線與圓的位置關系，圓的重要幾何性質是圓心與半徑，而橢圓呢？除了長短軸類比于圓的半徑外，焦點類比于圓的圓心.很多的問題都和它們息息相關.那定點會不會是焦點呢？為了提高解題效率，使用相關的點法的思想，把=1，y=kx+m聯立Δ=0解得P點坐標為易得Q（4，4k+m），代入=0整理得到m（t2-4t+3）+4k（t-1）=0.由k，m的任意性知即t=1.從而得到定點M（1，0），恰好為橢圓的焦點.

3.這位教師的講解到此為止，筆者總感覺缺點什么或者說意猶未盡.如果對于本題淺嘗輒止，就錯失挖掘數學的內在價值和意義，那么就沒有抓住問題的實質.由思路2不難發現直線在變化過程中有不變量的就是0，而x=4為橢圓的右準線，定點恰好為焦點.這是個例嗎？提出對于一般的橢圓C：+=1（a＞b＞0），是否也有=0，定點恰好為焦點？先猜后證，證明如=0，整理得m（b2c-a2t+ct2）+k（a2b2-a4+a2ct）=0.

由k，m的任意性知們就得到這個問題的一般性結論.居高臨下，一窺這個命題的全貌.

這位教師又在另一個班級評講，效果很好.

圓錐曲線定性，定量性命題很多都有一般性的結論，對幾何對象的特征解析越透徹，代數運算越簡單，結論就越明朗.事實上，雙曲線、拋物線都有類似的結論，有興趣的讀者可以嘗試一下，從而更深刻認識到圓錐曲線的共性，對進一步研究解析幾何大有裨益.如果我們教師在教學過程中不僅善于對特殊命題能夠推導，而且要能夠看到一般性的結論，那么做到舉一反三，真正教會學生們學會思考，我們的高中數學教學就是有生命的.中國數學教育學會理事章建躍博士曾說過：“課堂教學中，如果我們的教學不能夠打動學生，學生對我們的講解無動于衷，那么他們就不可能有心領神會的心靈共鳴，我們講得再精彩也只能是無功而返.”［2］僅靠就題論題、就題講題，學生很難做到舉一反三.數學教學的最終目的，并不是讓學生記住多少知識，而重要的是能夠使他們領悟到學習數學的思想方法及人生哲理，如果數學教學始終以發現、解決、再發現、再解決，牽動學生的思維，使他們親歷問題探究過程，深刻領悟科學的研究方法，在掌握知識的同時質疑，批判、探究、反思、創新，從而獲得知識的力量，感受知識發展的迂回曲折，有利于批判性思維的培養，進一步激發學生的學習熱情.

面對高考全國卷，題型靈活多變，加上解析幾何本身所具有的研究難度，我們的教師如果不能在平時教學中全面地把握好研究圓錐曲線的特點，看透命題者的意圖，并不斷滲透在日常的教學中，而讓學生們高考中取得優異的成績，那么還將會有很長的路要走.筆者希望廣大教師直面教學中的問題，因為只有真研究才會發現問題的本質.

1.楊冬香.走出解析幾何學習的誤區［J］.中小學數學教學參考，2015（5上旬）.

2.章建躍.關注學生的感受最重要［J］.中小學數學（高中版），2009（5）.J