材料分析：培養學生的數學閱讀理解力

嚴育洪

（無錫市錫山教師進修學校，江蘇 無錫 214101）

閱讀是人們汲取知識的主要手段和認識世界的重要途徑，許多人認為，閱讀理解能力是語文學習的事情，而對數學的理解能力許多人僅僅理解為對算理、算法的理解。其實，在數學學習中，學生的閱讀理解力也是一項很重要的素質。[1]可以說，大千世界中許多材料都隱含著數學知識或數學的應用，而要在這些隱性材料中讀出數學，不僅需要學生的數學閱讀能力，更需要學生具有數學解讀能力。

一、提供內含數學的材料，引導學生進行“數學閱讀”

作家石康說：“高質量的閱讀與隨便看看完全是兩回事，盡管外表看來那么相像——集中注意力是天下最難的事情，因它幾乎涉及世上所有最難的事情。”同樣，“數學閱讀”也必須是“高質量的閱讀”，所以，數學教師需要指導學生學會如何進行數學的深度閱讀。

1.讀好數學課內讀物

首先，我們應該指導學生讀好數學教科書。我們都知道，閱讀能力不強的學生，很難學好數學，學生需要在數學學習中通過閱讀來理解題意，實現文本語言與數學語言之間的相互“翻譯”。所以，以往教師經常做的讓學生在閱讀中找關鍵點和突破口，依然是很重要的。

然而，數學閱讀不能止于此，我們應該努力讓學生喜歡閱讀數學。不可否認的是，相對于文學作品，數學教科書缺少“故事”，學生缺乏自主閱讀的興致，對此，我們可以在數學教科書中增加一些“故事”。例如在“奇數和偶數”部分補充一個關于畢達哥拉斯的故事閱讀——

從古希臘起，奇數就比偶數更招人喜愛。公元前6世紀的希臘哲學家畢達哥拉斯說，奇數陽剛（代表男性），偶數陰柔（代表女性）。他說，奇數拒絕被一分為二，說明它強大；偶數能被平分，說明它很脆弱。他進一步論證說，奇數是偶數的主人，因為當你給偶數加上一個奇數時，結果還是一個奇數。畢達哥拉斯關于奇數的思想一直延續至今。

《數學課程標準》明確指出：“教師必須注意指導學生認真閱讀課文。”如果學生也能夠在上課之前主動閱讀數學教科書，那我們的教學就能省事很多，同時還能很好地培養學生的自學能力。對此，我們可以通過提供有吸引力的、內含數學的材料，來吸引學生主動閱讀數學教科書。

我們可以提供游戲材料，引導學生進行“數學閱讀”。西奧妮?帕帕斯(Throne Pappas)說：“數學三劍客為——邏輯、娛樂和游戲。”柏拉圖也認為：“孩子的學習本性可以由游戲引出，因此主要以游戲方法教育下一代。”例如在教學《因數和倍數》單元之前，教師可以與學生玩“搶三十”游戲，然后告訴學生此游戲的制勝奧秘在此單元知識中，此時學生就可能會迫不及待地預習教科書，以期早日找到答案。

我們也可以提供學具材料，引導學生進行“數學閱讀”。數學器具是工具，但更應該是學具，高明的教師善于把工具變成學具——變成發動學生自學的工具。例如教師讓學生早早購買量角器，面對放在文具盒中的量角器，學生會自發琢磨它是干什么用的，當然可以從名稱上猜到它是量角用的，但如何量角是困惑學生的難題，于是一些學生就會自己去預習教科書中的相關內容。

我們還可以提供創新材料，引導學生進行“數學閱讀”。對一些連續性數學教材，我們可以抓住“連續”來激發懸念，引導學生去先睹為快“下一回分解”。例如學生學習了“小數除以整數”，就可能會聯想到下一節課是不是“整數除以小數”“小數除以小數”，那它們該怎么計算呢，好奇心就會驅使學生去一看究竟。

其次，我們應該指導學生讀好數學歷史書。近年，數學史與數學教學（History and Pedagogy of Mathematics）受到了較多關注，數學史被越來越多地運用于課堂教學實踐，我們可以讓學生追溯數學內容、思想和方法的演變、發展過程。數學史的閱讀有助于打開學生的數學視野，不僅看到數學的發展過程，還能看到歷史學、哲學、文化學、宗教等社會科學與人文科學內容，是一門交叉性學科。另外，我們還可以讓學生閱讀一些數學家的事跡材料，激發其熱愛數學的情感。

最后，我們還應該指導學生讀好數學故事書。其實，數學可以編成故事，這樣的數學故事書很多，我們也可以配合教學進度讓學生去讀一讀。

實際上，我們還可以用閱讀引導閱讀，這里所說的意思是用故事閱讀來引導學生課本閱讀。例如下面這個故事可以引導學生閱讀“3的乘法口訣”的教材內容——

19世紀末，日本首相伊藤博文訪華，點名要見國學大師辜鴻銘。會晤中，伊藤博文對孔孟學說很是不屑，對辜鴻銘譏誚道：“先生曾留學歐美，精通西學，難道就不明白孔孟之教能行于數千年前，但是不能行于當今嗎？”

辜鴻銘淡然一笑，隨即正色道：“孔孟的思想好比數學里面的加減乘除，幾千年前是三三得九，幾千年后仍然是三三得九，難道還會變成三三得八？貴國如果沒有孔孟之教，哪里會有今天？”

伊藤博文張口結舌，不知該怎樣應對。辜鴻銘接著道：“不過到了今天，形勢確有變化之處，我們中國人向洋人借款，三三得九卻常常變成了三三得七，到了還錢時，中國人連本帶利還了三三得十一，此種算法，讓我倒是感覺有些落伍了呢。”

上述文字材料中，用故事包裹的知識不再是死的知識，學生不僅看到了“三三得九”等數學知識，還有錯例“三三得八”“三三得七”“三三得十一”等，而且看到了辜鴻銘用“三三得九”等數學知識來數落伊藤博文的語言技巧，不僅將西方列強欺負中國的事實巧妙講了出來，也駁斥了伊藤博文污蔑孔孟學說的企圖，使之張口結舌。學生讀完材料，不僅長了知識，還長了志氣。

如此“數學閱讀”任務，有助于我們重新認識“知識”的含義：“‘知識’一詞拆解開來，一部分是‘知’，就是信息、數據、常識，它可以儲存傳遞；另一部分是‘識’，就是在信息基礎上形成的一種識見、一種智慧、一種覺悟。”我們經常說“知識覺悟”，筆者認為，能讓人有覺悟的知識才是真正的知識。“真正的知識不僅有工具性價值，還應該有真理性的價值。知識如果不能進入周轉、帶來思考、給人啟迪、提高人的認知能力，它就是死的。”[2]

2.讀好數學課外讀物

“數學課外”，一是指“數學”課外——數學之外的其他學科，也就是數學閱讀應該融合其他學科；二是指“數學課”外——數學課堂之外的學生生活，也就是數學閱讀應該融入學生生活。如此有著其他學科氣息和生活氣息的材料，學生更喜歡閱讀。在小學數學教學中，我們的學生不能只會閱讀教科書和只會解讀“題”材，而應該走出課本，能夠自在地閱讀現實世界這本書，并能夠自信地解讀現實世界中各種題材的材料，也就是史寧中教授所說的“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”[3]。

例如下面這種“文學+數學”的閱讀材料，它出自人民文學出版社出版的《如果你想過1%的生活》書中的一段文字——

社會是一個圓錐，每個人都在圓錐的高上面爬。你和同等水平不同領域的人的距離就是你所處平面圓的半徑。只要你的水平更高，你接觸別的領域的人的距離就會更短。如果你所處的位置太低了，你就會跟別的領域的人的接觸距離很大。如果你想接觸到更多的領域的更多牛人，你需要向上爬，因為這一方面會保證你希望接觸到的牛人的質量足夠高，同時能夠讓你在接觸牛人的過程中耗費的精力相對小——你的水平高了，你接觸同等水平的牛人的難度也就低了。

集中精力在圓錐的高上追求高度，比匍匐在一個低層次追求接觸面的廣度有效果且有效率得多。

此篇文章有著數字“1%”，有著圖形“圓錐”“圓”以及與之相關的“高”“半徑”，學生要能夠看懂這段文字，除了需要語文的理解力比較好之外，數學的理解力也必須強。

又如下面這種“科學+數學”的閱讀材料，它出自佘時佑寫的《壽命直角三角形》文章——

假設用直角三角形面積的大小表示壽命長短，三條邊則分別代表影響人類壽命的三大因素：即斜邊代表基因遺傳，一條直角邊代表身心健康、另一條直角邊代表生活質量。

在壽命直角三角形中，缺少任何一條邊，即缺少一項生命因素，就將直接影響人體的壽命。而三條邊越長，三角形的面積會越大，壽命自然就會延長。

那么，這三條邊的長短與壽命之間有沒有量的關系呢？回答是肯定的。對此我們可以用勾股定理描述：“勾三股四弦五”，即一個人壽命的長短其基因遺傳要占5份，身心健康因素占4份，生活質量因素占3份。

又如還有這樣的新聞報道：“為了實現‘兩個一百年’奮斗目標，網上網下要形成同心圓。在2016年4月19日網絡安全和信息化工作座談會上，習近平總書記用一個圓圈凝聚網絡空間的發展共識。每一個圓都有一個圓心，網絡空間這個‘同心圓’的圓心是人民的利益，良好的環境是同心圓的內圈，正確的輿論是同心圓的外圈。”

數學知識與其他知識聯姻，可以達到“知識的島嶼越大，好奇的海岸線就越長”的學習效果，人也最終變得多才多藝，數學閱讀能力和數學理解能力也就會與時俱進。

二、提供隱含數學的材料，引導學生進行“數學解讀”

在數學教學中，我們應該培養學生的敏感心，能夠用數學的眼光觀察和分析“周遭發生的一切”，哪怕是一段看不到數學的材料，也能夠琢磨出數學來，會用數學的知識解釋其他學科的話題或生活的話題，會用數學的方式解剖其他學科的問題或生活的問題。

1.用數學解釋話題

生活中，有著許多格言。有時候，在數學敏感度高的人眼里，從一句格言中我們也可以讀出數學的意思、意義和意蘊來。從一句非數學的日常話語中解讀出數學來，或許可以看作史寧中教授所說的“會用數學的語言表達現實世界”的另一種行動方式。

例如作家馮驥才說過一句話：“運動中的賽跑，是在有限的路程內看你跑了多少時間；人生中的賽跑，是在有限的時間內看你跑了多少路程。”同樣，我們可以拿來讓學生用數學知識來解讀其中的生活哲理，前一句涉及反比例知識“路程一定，時間和速度成反比例”，后一句涉及正比例知識“時間一定，路程和速度成正比例”，如此的“翻譯”練習可謂別具一格。

又如有一句格言：“當你看到一個出口時，不要忘了，從另一個方向看，它其實是一個入口。”它原本說的是一種人生智慧，但如果從數學角度來解讀，我們也可以由此想到“善于逆向思考的人更聰明”，許多數學問題既可以從條件想起也可以從問題想起，在這里，它又成了一種數學解決問題策略。

當學生會用各種語言進行“翻譯”之后，也就掌握了一種語言技巧。例如在一節大學心理課上，白發蒼蒼的老教授問：“哪位同學能解釋什么是良心？”有一位學生如此回答：“良心是我心里一個三角形的東西。我沒有做壞事，它便靜靜不動；如果我干了壞事，它便轉動起來，每個角都把我刺痛；如果我一直干壞事，每一個角都磨平了，也就不覺得痛了。”如此用數學語言進行解釋，既形象又生動，不僅增加了知識底蘊，而且發展了中國學生核心素養之“人文底蘊”。

其實，我們還可以根據一份隱含數學的材料來設計數學活動。例如我們可以讓學生閱讀《田忌賽馬》語文課文來設計“解決問題的策略”的數學教學活動。又如有一位教師在“約分”教學之后利用網絡流傳的“A4紙的人生”說法設計了一道數學練習題：“有人說，人生就是一張A4紙，如果一個人的平均壽命是75歲，我們大約都是10歲左右，已經過了人生的你們的爸爸媽媽大約是35歲左右，已經過了人生的你們的爺爺奶奶大約是60歲左右，已經過了人生的，如果讓你涂色表示你們的人生，你會怎么涂？”

再如我們可以讓學生分析詞語“‘一剎那’與‘一瞬間’，哪個時間長一點？”來組織數學研究活動：在古代印度《僧只律》（又有資料是《倡只律》）中一剎那為一念，二十念為一瞬；二十瞬為一彈指，二十彈指為一羅預；二十羅預為一須臾，一晝一夜為三十須臾。照此計算，一須臾為48分鐘，一羅預為114秒，一彈指為7.2秒，一瞬為0.36秒，一剎那為0.018秒。所以，一剎那最短。

“當你看到一個出口時，不要忘了，從另一個方向看，它其實是一個入口”這句話，除了對數學思考的啟示，對教學思考同樣有著啟示作用，前面我們談了根據一些隱含數學的材料來讀出數學知識，其實我們還可以反過來開展讓學生根據數學知識編寫一些隱含數學金句的活動，例如對人生的思考：“任何數和零相加，仍得原數；光說不做，只能在原地不動。”“丟掉了小數點數值會增大，不拘小節會犯大錯誤。”“從各個方面看都是同一個圖形，有其完美的對稱性，使人產生完美無缺的美感和向往。難怪有圓滿、圓潤、圓通、圓場之說和‘花好月圓’的成語。但是‘圓滑’一詞，卻為人們所不愛。”

數學達人游斯彬稱：“數學是人與宇宙唯一共通的語言！”所以，數學無處不在，世上沒有什么不隱含著數學。例如達·芬奇的畫作《蒙娜麗莎》背后蘊含了黃金分割的數學原理，另一幅畫作《最后的晚餐》巧妙地結合了幾何學與透視學。達·芬奇曾經說過這樣一句話：“這世上凡是欣賞我作品之人，無一例外的不是數學家。”

2.用數學解剖問題

如今，許多學校都在講“審辯思考”的培養。例如美國的所有高校都在強調“信息閱讀力”，后真相時代，教育學生不做信息文盲。新文盲的標志之一，是缺乏思辨能力，盲目接受外來信息。在教學中，我們應該培養學生辨別各種論斷的意識和能力。其中，有時候用數學的知識或者用數學的方式來分析一些我們已經熟悉并已認可的現象或信息，或許能夠發現一些深藏不露的問題。

例如我們熟悉的成語“腰纏萬貫”，有一位教師別出心裁地讓學生用數學知識來解讀：“一個人腰纏萬貫，這靠譜嗎？”于是，學生進行了一番調查、實驗、運算和分析，獲得了以下研究結論：（1）古代人不可能。因為貫是指舊時用繩索穿錢，每一千文為一貫。萬貫也就是10000×1000=1000萬文，即1000萬個銅錢。通過天平稱和計算，發現萬貫重40噸左右。（2）現代人可能。因為查資料知道一貫（1000文）相當于200元人民幣。1萬貫=10000000文錢=200萬元，1萬元重量=115克，200萬元重量=23千克。

在現在的一些娛樂節目中，存在數學錯誤的信息屢見不鮮，它們都可以拿來作為學生學習知識或練習知識的反面材料。簡單來說，它們可以用作判斷題或改錯題，例如歌曲《穿越一光年》“愛過多久時間，穿越過幾萬光年，我們之間不是說好了，一切不改變……”就有著數學錯誤，光年是長度單位而非時間單位。

又如蔡國慶演唱的《365個祝福》的歌詞：“一年有三百六十五個日出，我送你三百六十五個祝福，時鐘每天轉了一千四百四十圈，我的心每天都藏著，一千四百四十多個思念……”東湖塘中心小學胡繼梅老師的班級中，有學生如此進行材料分析：時鐘有時針、分針和秒針。時針12小時轉1圈，一天24小時，應該是2圈；分針1小時轉1圈，一天24小時，應該是24圈；秒針1分鐘轉1圈，一天24×60=1440分鐘，應該是1440圈。所以，我認為，時鐘一天應該一共轉了2+24+1440=1466圈。如此個性化的分析，也不無道理。

我們還可以把這樣有著錯誤的材料開發成一個數學研究活動，例如我們經常看見的電視鏡頭“有人扔出一個手提保險箱，打開說‘1000萬，點點吧’”，如果也放到數學“顯微鏡”下去分析，或許我們也能發現它的不科學，這同樣是一個可以讓學生運用數學知識進行分析的材料：一是從體積上判斷。如果都是百元紙鈔，每張百元人民幣長約15.5厘米、寬約7.7厘米，100張百元鈔票（1萬元）厚約1厘米，而一般手提保險箱長約50厘米、寬約30厘米、高約15厘米，由此算出一個手提保險箱只夠放150萬元人民幣。二是從質量上判斷。1000萬百元人民幣體積為0.15立方米，1立方米紙重約1000千克，所以1000萬百元人民幣約150千克，也就是0.15噸，普通人是絕對無法扛著在路上走的。

當然，娛樂節目的制作者并不都傻，相反許多導演還會利用人們常犯的一些知識錯誤創編節目來娛樂，對此，我們同樣可以拿來作為練習材料，讓學生找出錯誤、分析錯誤和改正錯誤。例如2014年中央電視臺春節聯歡晚會上的小品《我就這么個人》中有一段馮鞏與飾演搬運工人的曹隨風的對話，就借用了數學錯誤——

馮鞏：就這個門，501。

曹隨風：電梯呢？

馮鞏：沒電梯，享受低碳生活。

曹隨風：那你得給錢。

馮鞏：給什么錢？

曹隨風：爬樓錢。

馮鞏：爬樓還要錢？

曹隨風：一層20。

馮鞏：瞎說，去年還15呢。

曹隨風：漲價了，跟出租車一塊漲的，你這是地上五層，你得給俺100。

在數學教學中，要讓學生的學習不總是處于1元的狀態下，我們就要努力讓數學知識不斷轉彎，發現數學知識的多元的樣貌。也就是說，數學不能只是理解成“數的學習”，我們不妨理解成“數的學問”，而“數的學問”的學問可就大了，它可以體現在能看出數學的材料中，也可以體現在看不出數學的材料中。對后一種材料，只要我們有一雙數學的眼睛，就一定也能夠看出數學來，這同樣也是數學學習的學問，而學生，更喜歡這樣一種數學學習。

“數的學問”在生活中的學問，不僅只是數學，還可能大到心理學。例如超市中的牛奶，商家大多會標明“95%脫脂”，而不是“含脂肪5%”，雖然意思一樣，但表述不同，會使得消費者對同一盒牛奶產生不同的心理期許。這種由于描述方式的改變而導致個體選擇偏好發生改變的現象，被稱為框架效應。

“數的學問”在生活中的學問，不僅可以大到心理學，還可以大到經濟學。下面這個故事中，解剖問題時不同的思考方式和思維角度，就有了不同的結果——

1992年，沈南鵬獲得耶魯大學的MBA學位，也等來了花旗銀行的面試通知，當天面試的還有一個美國人和一個日本人。面試題是“一個人在菜市場上做生意”。第一次，8美元買了一只雞，9美元賣掉了；第二次，10美元買了同樣的一只雞，11美元賣掉了。他到底虧了還是賺了？如果虧了，虧多少？如果賺了，又賺了多少？

美國人認為是賺了2美元。理由是：第一次買一只雞，第二次買一只雞。第一輪交易：9-8=1，賺了1美元。第二輪交易：11-10=1，賺了1美元。兩次交易相加，所以賺了2美元。

日本人認為是虧了2美元。理由是：那人一口氣買了兩只。第一次交易：9-8=1，賺了1美元。第二次交易：11美元賣掉，11-8=3，賺了3美元。兩次交易相加：1+3=4，本來要賺4美元，但他只賺了2美元。（9-8）+（11-10）=2，實質上虧了2美元。

沈南鵬則認為是虧了4美元。理由是：同樣一只雞，那人一口氣買了兩只。他進行的是一次性交易：8美元買下，11美元賣掉，（11-8）×2=6，可以賺到6美元。但他只賺了2美元。（9-8）+（11-10）=2。所以，虧了4美元。

沈南鵬的解題思路讓面試官大感興趣。于是，沈南鵬獲得了花旗銀行的一次工作機會。▲