教材重組開放教學，知識結構漸次生成*
——李庾南老師“乘法公式”課例賞析

☉江蘇省海安市城南實驗中學朱月鳳

得益于筆者所在學校是李庾南實驗學校，經常參加實驗學校一些教學觀摩活動，有機會近距離接觸專家教師李庾南老師，特別是觀摩學習李老師的課堂，非常享受“行云流水”般的教學節奏，李老師將“有規則的自由課堂”演繹得令我們嘆為觀止.本文整理近期觀摩學習李老師一節“乘法公式”隨堂課的心得體會，與同行分享交流.

一、課例片段概述

教學活動（一）重點研究公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab

教學片段1：從計算（x＋3）（x-4）開始.

生1：原式=x2＋3x-4x-12=x2-x-12.

師：（指著第二步）我能不能把這一步再簡化一下？

（生1有點茫然）

師：這兩項是什么項？

生1：同類項.

師：我們怎么合并同類項？

生1：系數相加.

師：它們的系數是多少呢？

生1：一個是3，一個是-4.

師：-12是怎么得來的呢？

生：3和-4的積.

師：好，現在可整理得（x+3）（x-4）=x2+［3+（-4）］x+［3×（-4）］=x2-x-12.

師：我們來看這個式子，是二項式乘二項式，而且這兩個二項式有共同點，你們覺得共同點在哪里？

生2：有相同字母.

師：對，都含相同的字母，（板書）而且這個相同字母的系數都是幾？

眾生：1.

師：這樣的一次二項式，既然是一次二項，那另一項肯定是常數吧，我們很快就能運用多項式的乘法法則來計算，二次項的系數、一次項的系數，還有常數項，分別是怎么得來的？

生3：二次項系數是1，一次項系數是兩個常數的和，常數項是兩個常數的積.

師：（x-1）（x-5），你們能不能很快說出來呢？

生3：x2-6x+5.

師：你能說說具體的過程嗎？

生3：-6是-1與-5的和，5是-1與-5的積.

師：和是什么？

生3：和是一次項的系數，積是常數項的積.

師：這種類型是什么樣的類型嗎？

生4：一次二項式，所含字母相同，而且一次項的系數為1.

師：這種多項式是不是特殊形式？特殊在哪兒呢？得到的結果又有什么特征？

生：結果是二次三項式，二次項的系數是1.

師：我們將這種特殊形式的乘法運算稱為乘法公式.我們以前用數a、b表示一個公式，那我們今天學習的這個能不能也用一個公式表示呢？

生4：感覺有困難.

生5：因為是一個一次二項式，所以第一項不是一個數，所以我們不能用a表示，這里我們可用字母x表示，但是第二項是一個數，所以我們用a表示.它的結果就是一個二次三項式：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab.

師：這個依據是什么？

生5：多項式的乘法法則.

教學片段2：對新得出的乘法公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab進行運用.

師：每個人舉一個例子，用這個公式進行運算.在這個公式中，x一定就是一個字母嗎？（安排學生獨立思考）

師：還可以表示什么？

生6：多項式，也可以表示一個復雜的單項式，還可以表示一個具體的數.

師：哪位同學能出一道可以利用這個公式解的題？

生6：（xy2-6）（xy2+2）.

師：好，你說說公式里的x是哪個，公式中的a是多少，b又是多少.

生6：x是xy2，a是-6，b是2.

師：你請一個同學回答這個問題.

生7：（xy2-6）（xy2+2）=x2y4-4xy2-12.

師：對不對？

生6：對！

師：你認為他是對的，你怎么解釋他是對的？

生6：運用今天學的方法，第一項是x2y4，第二項的系數是-6與2的和，第三項是-6與2的積.

師：他是懂的，但是沒有用今天學的方法講清楚，大家想一下，它的積是關于哪個二次三項式的？

眾生：xy2.

教學活動（二）變式研究，生成其他乘法公式

教學片段3：學生舉例生成其他乘法公式.

師：你再舉個例子.

生8：［（a+b）2-3］［（a+b）2+3］.

師：這個里面的x是哪一個？

生8：（a+b）2.

師：現在看來是二次二項式，但是我們將（a+b）2作為一個整體來看，不就是關于（a+b）2的一個一次二項式嗎？也請一個同學回答.

生9：a加b括號的四次方減9.

師：9怎么來的？這個9是一次項還是常數項？

生9：常數項.

師：你怎么少了一次項呢？

生9：-3加＋3等于0.

師：哦，也就是a加b等于0，所以一次項就變成0了，到了這里，現在好不好算？

（眾生茫然）

師：現在有一個四次方，怎么算呢？

（眾生有點兒茫然）

師：如果能先算出（a+b）2，然后進行平方就好了.要解決這個問題，現在要先學（a+b）2，能夠很快說出它的結果嗎？

生10：［（a+b）2］2=［a2+2ab+b2］2.

師：2ab從哪里來的？

生10：a乘b再乘2.

師：為什么？你怎么得到的？我們能不能用今天學的這個公式解決呢？

（小組討論，教師參與）

生10：（a+b）（a+b）=a2+（b+b）a+b2.（教師板書）

師：這是關于誰的一次二項式？

生10：關于a的一次二項式.

師：很好，這個等式可簡化為一個乘法公式（a+b）·（a+b）=a2+2ab+b2.這也是以后經常使用的完全平方公式.

說明：限于篇幅，只概述以上一些教學片段.事實上，在該課后續教學進程中，師生在對話互動中還得出了平方差公式.但是沒有進行例題、習題訓練，因為這是一節乘法公式單元教學的起始課，李老師的教學時間主要花在引導學生自主生成、構建幾種乘法公式的框架與關系上.

二、課例賞析

1.從“三個理解”的角度看乘法公式課例

中國教育學會中學數學教學專業委員會理事長章建躍博士提出的“三個理解”指理解數學、理解學生、理解教學，在全國有很大的影響，突出體現在數學課例的設計與研究上，我們見到《中學數學》（初中版）就刊發了大量踐行“三個理解”的課例.從“三個理解”的角度賞析李庾南老師的乘法公式課例，這節乘法公式課例是深刻理解數學的，因為重組了教學內容，并沒有拘泥于教材，而且把幾種乘法公式之間的邏輯聯系、一般與特殊的關系揭示得很充分；從理解教學來看，李老師駕馭課堂的功力是深厚的，收放自如，行云流水，恰到好處；從理解學情來看，李老師善于安排學生獨立自學，又恰時恰點開展議論與小組交流，對大組匯報展示能跟進追問，對學情的理解精準到位.所以，這也是一節體現了“三個理解”的示范課.

2.“學材再建構”單元教學值得深入學習

近年來，“自學·議論·引導”教學法提出“三學”（學材再建構、學法三結合、學程重生成），對課堂教學有很好的指導作用.像上面乘法公式這樣進行教學設計，就是典型的“學材再建構”課例，因為教材上并沒有這樣安排教學進程，教材上列出的乘法公式就“兩種”（平方差公式、完全平方公式），而像李老師這樣把兩個二項式相乘作為“第一個乘法公式”引入的做法是值得學習的，從數學知識的前后一致、邏輯連貫來看，完全平方公式與平方差公式確實與“第一個乘法公式”之間具有特殊與一般的關系.從上面我們整理的課堂實錄來看，李老師讓學生舉例理解，所舉例子就包含了完全平方公式、平方差公式.這樣自然而然引出新的公式，也應該是李老師課前的精心預設.從這個課例來看，我們對基于“學材再建構”的單元教學的理解還很初步，需要教師在課前充分預設，而不是簡單的教材內容先后順序的調整，還應該充分考慮學生可能的生成，以及如何捕捉學生的有效生成，以服務于后續教程與學程.

3.“學程重生成”對教師的課堂駕馭能力要求高

在上面我們摘引的教學片段中，除了開課階段由李老師引出的一個簡單的計算，本課后續教學進程中的問題都由學生自主生成，并不斷成果擴大，形成知識框架.這種課型看似“踩著西瓜皮，滑到哪里是哪里”，實質上卻是：學生的生成都在李老師“如來佛手掌”里 ，最后都被采集到黑板相應區域，漸次生成了“結構化板書”.筆者也嘗試過這種課型，具體實施時，需要教師在課前對板書設計中每一個區域的內容進行仔細規劃，想清它們如何擺放，什么時候填寫，通過哪些追問生成，都要在課前做到心中有數，這樣才可能在課堂中恰時恰點地推進教程和學程.