略論如何讓孩子在游戲中培養數學思維

◆劉 源

(山東省寧陽縣鄉飲中心學校)

數學作為一門基礎學科，對于學生成績的高低起到了關鍵性的作用。根據一項調查數據顯示，作為一門思維性較強的學科，數學學習思維應該在兒童時期就開始培養，通過數學游戲更容易形成良好的數學思維。針對這一項調查報告，給大家設計一款數學游戲，讓孩子在游戲中訓練數學思維，感受數學文化的浸潤，領會符號意識、化歸方法、一般到特殊的思路、分類思想、規則靈活運用等數學問題的處理手段。在娛樂中寓教于樂，善莫大焉。

1游戲設計

1.1名稱：抓三堆游戲。

1.2道具：小石子或花生米等若干。

1.3游戲方法：

1.3.1將小石子按三堆放，數量可以相同，也可以不同。為了降低難度，可以先放每堆不超過10粒的三堆，主要是感受方法，找規律。待熟練后可以增加。

1.3.2甲乙兩人依次輪流抓取石子，每人每次只能從一堆中抓取，每次抓取哪一堆沒有限制，每次不能抓空，至少抓一粒，多者不限，最多可以把一堆一次抓盡。

1.3.3為了便于說明，我們引入符號，把三堆記為(a、b、c)(其中a、b、c代表三堆石子的數量，均為自然數)，規定誰最后抓盡，即抓的結果變成(0、0、0)視為勝利。

1.3.4取勝秘籍：記住下面的規律

(1)出現(a、a、0)的情況時，后抓的人必勝。

(2)出現(1、2n、2n+1)的情況時，后抓的人必勝。

具體的原因為什么是這樣？

1.3.5游戲的目的就是讓孩子掌握上述規律的基礎上，靈活應用，把給出的三堆數變成上面的其中一種形式，逼迫對方先抓，自己是后手，就能獲勝。舉例：三堆數為(4、5、6)，甲乙二人，其中甲先抓，如何保證自己獲勝呢？可以先抓6變成1，這樣留給乙的是(2乘2、2乘2加1、1)，符合規律的第二種形式(三堆數4、5、1排列與1、4、5排列是一回事)。于是輪到乙抓了，無論怎樣抓，甲都會取勝(原因在后面解釋)。否則，甲若抓乘其他的情況，如甲抓4變成0，留給乙(0、5、6)，此時乙把6變成5，留給甲(0、5、5)，此時甲敗了。這是簡單的例子，稍復雜的如(4、6、8)自己試驗一下，因為這里面變化情況太復雜了，對思維能形成有效的訓練。大家想一想，數學平時的解題就是利用公式或者定理來解題，和這個提供的場景是一樣的，都是靈活運用為根本，這種訓練就是數學方法的訓練。當然，比做數學題有趣多了。

2原因探析

2.1特殊問題一般化，如三堆是(4、5、6)，此時我們變為(a、b、c)處理。

2.2一般問題特殊化，從最簡單的開始想起。(甲乙二人，不妨規定甲先抓，乙后抓。)

2.2.1若只有一堆時，即(a、0、0)的情況，此時甲勝。

2.2.2若有兩堆時，又分為兩種情況：

2.2.2.1這兩堆數量相同，為(a、a、0)，此時乙勝。

2.2.2.2若兩堆不同，不妨設a

2.2.3若三堆都有，又要分情況。

2.2.3.1其中有兩堆相同，為(a、a、c)情況，甲先抓c變成0，留給乙(a、a、0)，有上面可知，甲必勝。

2.2.3.2三堆中其中任意兩堆都不相同，為(a、b、c)(不妨設a

我們還是采取從最簡單、最特殊的考慮。總體的思路是先研究(1、b、c)，依次(2、b、c)，(3、b、c)，(4、b、c)等。因此，可以發現最先要從(1、b、c)開始研究，這種情況，再從最簡單的想起，因此(1、2、3)是最先需要研究的。下面分別敘述。

2.2.3.2.1當a=1，b=2，c=3時為(1、2、3)時，甲先抓共有六種情況。第一，甲先抓1，留給乙(0、2、3)，乙抓3變2為(0、2、2)，有前面可知乙必勝。第二，甲先抓2得1或得0，若留給乙(1、1、3)，乙抓3為0得(1、1、0)留給甲，乙勝。若留給乙(1、0、3)，此時乙抓3變1為(1、0、1)留給甲，乙勝。第三，甲先抓3得到1、2、0三種情況，若留給乙(1、2、1)，乙抓2變0為(1、0、1)，乙勝。若留給乙(1、2、2)，乙抓1變0為(0、2、2)，乙勝。若留給乙(1、2、0)，乙抓2變1為(1、1、0)，乙勝。由此可以得到結論，若(1、2、3)留給對方先抓，自己后抓，必然獲勝。

2.2.3.2.2當a=1，b=2，c>3時為(1、2、c)(c>3的自然數)，甲先抓c變為3得到(1、2、3)留給乙，通過化歸的方法轉化為上面情況，可以得到甲獲勝。

2.2.3.2.3當a=1，b=3，c=4時為(1、3、4)，此時，甲先抓把4變成2就得(1、3、2)留給乙，可得甲獲勝。

2.2.3.2.4當a=1，b=3，c>4時為(1、3、c)，此時，甲先抓c變為2得(1、3、2)留給乙，甲獲勝。

2.2.3.2.5當a=1，b=4，c=5時，此時甲先抓有10中情況，先抓1得0是一種情況，先抓4可得3、2、1、0四種情況，先抓5可得4、3、2、1、0五種情況，共計10種情況分別討論。這里不再展開論述，可以得到乙必然獲勝。由此得到，當出現(1、4、5)時，留給對方先抓，自己必然獲勝。

2.2.3.2.6當a=1，b=4，c>5時，甲先抓c變成5，得到上面的情況，此時甲必然獲勝。

2.2.3.2.7當a=1，b=5，c大于或等于6是，甲先把c變成4得到(1、5、4)，甲獲勝。

2.2.3.2.8依次可以發現(1、6、7)，(1、8、9)，(1、10、11)都是甲先抓必敗，后抓的為勝。所以上述結論表明想法設法留給對手上面的局面，自己獲勝。

2.2.3.2.9由此，可以在上述例子的基礎上，猜出一般的結論，即為符合(1、2n、2n+1)(n為自然數)的三堆數，后抓的獲勝。

3變式拓展

利用上面的數學分析方法，練習兩個簡單的題目。

3.1有一堆石子100粒，甲乙兩個人依次抓取，每人每次至少抓1粒，最多抓5粒，即抓取的范圍是大于等于1而小于等于5，若甲先抓，問甲第一次抓幾粒能確保自己能勝？

3.2有按照1、2、3、4等順序依次連續編號的80個小球，甲乙二人依次抓小球，每人每次最少抓一個或者最多抓兩個相鄰編號的小球，若甲先抓，問怎樣抓才能確保獲勝？

4思維訓練點

4.1符號意識很重要。讓學生體會符號的使用使表述方便，便于理解。表達的關系深刻、簡明。會用符號是會學數學的標志，數學符號是全世界最通用的語言，也是最好的表述方式。數學課程標準提出，要培養學生的符號意識，無論是數學的學習還是社會需要，符號表述我們離不開。

4.2一般特殊會轉換。解決自然數問題一般有四步，一般化，特殊化，猜想結論，證明結論。這里面要學會化歸，把未知的化為已知的。數學家去一個城市迷路了，解決問題的方式很簡單，就是回到起點(剛到城市的地方如火車站等)，這就是化歸思想的形象表述。

4.3應用分類要全面。分類思想是中學數學的重點、難點、考點。分類原則很簡單，標準要統一，沒有重復沒有遺漏。但是，在具體的應用場景中，學會利用分類進行巧妙的解題是復雜的，本例子提供了很好的分類解題的示范。

4.4活用規則是關鍵。這種游戲，和數學解題是一樣的，數學解題過程不過就是根據公式、定理、法則等，結合解題條件進行靈活使用，數學教師都知道，學生不會規則不會解題，記住規則是前提條件，但是僅僅會背規則可能一個題也不會解，必須活學活用。通過游戲，孩子能體驗到這一點，這種體驗對于學習數學是大有幫助的。