合并有風(fēng)險(xiǎn)，拆分須謹(jǐn)慎
——再探含有“且”與“或”的命題

☉陜西省榆林中學(xué) 高 非

在數(shù)學(xué)中，我們把“且”與“或”稱為邏輯聯(lián)結(jié)詞，含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫復(fù)合命題，不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫簡單命題.如果僅從字面上區(qū)分，難免會出現(xiàn)錯誤.我們知道，只有當(dāng)“且”與“或”聯(lián)結(jié)的是兩個(gè)命題時(shí)，它才是邏輯聯(lián)結(jié)詞，相應(yīng)的命題才是復(fù)合命題，而簡單命題是邏輯推理中最基本的單位，是不可再分割的整體.因此，在具體作出判斷時(shí)，必須要深刻理解命題的含義，抓住其本質(zhì)特征.事實(shí)上在常用邏輯用語的教學(xué)中，不少學(xué)生甚至教師經(jīng)常對含有“且”與“或”的命題困惑不已，尤其在一些教輔資料中經(jīng)常會出現(xiàn)此類錯誤，很容易誤導(dǎo)學(xué)生.為此，筆者不揣淺陋，對此類命題進(jìn)行了比較全面的梳理，并發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律性的結(jié)論.

一、規(guī)律總結(jié)

首先，看一組命題：

1.菱形對角線互相垂直且平分；

2.對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；

3.能被5整除的整數(shù)末位數(shù)字是0或5；

4.末位數(shù)字是0或5的整數(shù)能被5整除.

一般來說，含有“且”與“或”的命題，從陳述命題語句的結(jié)構(gòu)形式看，無非是上面四種類型，即：“S是M且N”“M且N是S”“S是M或N”“M或N是S”，以下逐一分析.

結(jié)論1 結(jié)構(gòu)形式為“S是M且N”的命題是復(fù)合命題

命題1“菱形對角線互相垂直且平分”，結(jié)構(gòu)形式為“S是M且N”，是復(fù)合命題，因?yàn)榭伞安鸱帧睘閮蓚€(gè)簡單命題，即命題p：菱形對角線互相垂直；命題q：菱形對角線互相平分.反過來由命題p、q構(gòu)成新命題p且q：菱形對角線互相垂直且菱形對角線互相平分.按照語言的表達(dá)習(xí)慣，可“合并”為：菱形對角線互相垂直且平分.類似復(fù)合命題如：

（1）三角形中位線平行于底邊且等于底邊的一半；

（2）若不等式x（x-1）2＞0成立，則有x＞0且x≠1；

（3）若可導(dǎo)函數(shù)f（x）在x0處有極值，則f′（x0）=0且f′（x）在x0處左右異號.

它們既可“拆分”為兩個(gè)簡單命題，同時(shí)這兩個(gè)簡單命題也可“合并”為如上形式的復(fù)合命題.

若將命題1改為：菱形對角線互相垂直且相等，還是復(fù)合命題嗎？答案是肯定的！雖然這是假命題，但它照樣可以拆分為命題p：菱形對角線互相垂直；命題q：菱形對角線相等.因?yàn)閜真，q假，所以p且q為假，與真值表相符.即使將命題1改為：菱形對角線平行且相等，還是復(fù)合命題.因?yàn)椤扒摇甭?lián)結(jié)的是兩個(gè)命題，要看實(shí)質(zhì).可是命題“不等式x（x-1）＜0的解是0＜x＜1”，其結(jié)構(gòu)形式看似“S是M且N”，但它不是復(fù)合命題，因?yàn)椴坏仁降慕庵傅氖墙饧皒＞0且x＜1”中的“且”聯(lián)結(jié)的是“必須同時(shí)滿足”的兩個(gè)“條件”，是不能拆分的.正如命題“對數(shù)函數(shù)y=logax的底數(shù)a＞0且a≠1”中“a＞0且a≠1”一樣.

結(jié)論2 結(jié)構(gòu)形式為“M且N是S”的命題是簡單命題

命題2“對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形”，其結(jié)構(gòu)形式為“M且N是S”，是命題1的逆命題，它是復(fù)合命題嗎？假設(shè)是復(fù)合命題，則可拆分為命題p：對角線互相垂直的四邊形是菱形；命題q：對角線互相平分的四邊形是菱形，因?yàn)閜假，q假，所以p且q為假，而命題2顯然是真命題，與真值表矛盾，說明該命題為簡單命題，是不可拆分的.因?yàn)樵撁}中的“且”聯(lián)結(jié)的是兩個(gè)“條件”，它不是邏輯聯(lián)結(jié)詞.若將上述兩個(gè)命題構(gòu)成新命題p且q，則只能“完全照搬”為：對角線互相垂直的四邊形是菱形且對角線互相平分的四邊形是菱形，是不可合并的.類似的簡單命題如：

（1）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

（2）模相等且方向相同的兩個(gè)向量相等；

（3）x=1且y=2是x+y=3的充分不必要條件.

若將命題2改為“對角線互相垂直且平行的四邊形是菱形”，雖然拆分為兩個(gè)命題，命題p：對角線互相垂直的四邊形是菱形；命題q：對角線互相平行的四邊形是菱形，因?yàn)閜假，q假，所以p且q為假，而原命題也是假命題，與真值表相符了，難道這個(gè)假命題變成復(fù)合命題了嗎？否！從本質(zhì)上看“且”聯(lián)結(jié)的仍是兩個(gè)條件.

結(jié)論3 結(jié)構(gòu)形式為“S是M或N”的命題是簡單命題

命題3“能被5整除的整數(shù)末位數(shù)字是0或5”，其結(jié)構(gòu)形式為“S是M或N”，這里的“或”聯(lián)結(jié)的是兩個(gè)結(jié)論，它是簡單命題.假設(shè)“能被5整除的整數(shù)末位數(shù)字是0或5”是復(fù)合命題，則可“拆分”為命題p：能被5整除的整數(shù)末位數(shù)字是0；命題q：能被5整除的整數(shù)末位數(shù)字是5，因?yàn)閜假，q假，所以p或q為假，而命題3顯然是真命題，與真值表矛盾，說明該命題為簡單命題，是不可拆分的.若將上述命題p、q構(gòu)成新命題p或q，也只能“完全照搬”為：能被5整除的整數(shù)末位數(shù)字是0或能被5整除的整數(shù)末位數(shù)字是5，是不可合并的.類似的簡單命題如：

（1）4的平方根是2或-2；

（2）平面內(nèi)不重合的兩條直線平行或相交；

（3）若向量a與b共線，則a與b的方向相同或相反.

需要特別說明一個(gè)命題：蘋果是長在樹上或長在地里.它看似屬于“S是M或N”的結(jié)構(gòu)形式，但“或”聯(lián)結(jié)的是“蘋果是長在樹上”和“蘋果是長在地里”兩個(gè)命題，它是復(fù)合命題.因此，二者僅是“形似”，實(shí)際上與此類命題有本質(zhì)的區(qū)別.

結(jié)論4 結(jié)構(gòu)形式為“M或N是S”的命題是復(fù)合命題

命題4“末位數(shù)字是0或5的整數(shù)能被5整除”，其結(jié)構(gòu)形式為“M或N是S”，它是復(fù)合命題.該命題是可以拆分為命題p：末位數(shù)字是0的整數(shù)能被5整除；命題q：末位數(shù)字是5的整數(shù)能被5整除.自然也可以合并為：末位數(shù)字是0或5的整數(shù)能被5整除.

類似的復(fù)合命題如：

（1）15或10是5的倍數(shù)；

（2）正數(shù)或0的平方根都是實(shí)數(shù)；

（3）一組對角互補(bǔ)或各邊中垂線交于一點(diǎn)的四邊形是圓內(nèi)接四邊形.

二、結(jié)論應(yīng)用

例1 指出下列命題哪個(gè)是簡單命題？哪個(gè)是復(fù)合命題？

（1）若ab=0，則a=0或b=0；

（2）若a=0或b=0，則ab=0；

（3）若a2+b2=0，則a=0且b=0；

（4）若a=0且b=0，則a2+b2=0.

解：（1）結(jié)構(gòu)形式為“S是M或N”，由結(jié)論3知，是簡單命題；

（2）結(jié)構(gòu)形式為“M或N是S”，由結(jié)論4知，是復(fù)合命題；

（3）結(jié)構(gòu)形式為“S是M且N”，由結(jié)論1知，是復(fù)合命題；

（4）結(jié)構(gòu)形式為“M且N是S”，由結(jié)論2知，是簡單命題.

例2 命題“方程x2=1的解是x=±1”，使用邏輯聯(lián)結(jié)詞的情況是（ ）.

（A）沒有使用邏輯聯(lián)結(jié)詞

（B）使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”

（C）使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”

（D）使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”

解：結(jié)構(gòu)形式為“S是M或N”，由結(jié)論3知是簡單命題，應(yīng)選A.

因?yàn)椤胺匠蘹2=1的解是x=±1”可以表述為“方程x2=1的解是x=1或x=-1”，但此處的“或”不是邏輯聯(lián)結(jié)詞，它聯(lián)結(jié)的是兩個(gè)“結(jié)論”.因此該命題是簡單命題.

注：這是教輔資料中常見的習(xí)題：所附答案為“B”.

例3 分別指出下列命題是復(fù)合命題還是簡單命題，若是復(fù)合命題，請指出其命題的形式及構(gòu)成它的簡單命題.

（1）3和4是12的約數(shù)；

（2）x2≥0；

（3）x2+1≥0；

（4）等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊；

（5）x=1或x=0是方程x2=1的解；

（6）大于0且小于1的數(shù)的對數(shù)小于0.

解：（1）這里的“和”應(yīng)理解為“或”，即“3或4是12的約數(shù)”，是“p或q”形式的復(fù)合命題，其中p：3是12的約數(shù)；q：4是12的約數(shù).

（2）是簡單命題，用文字可敘述為：實(shí)數(shù)的平方大于或等于0，其中“或”聯(lián)結(jié)的是兩個(gè)結(jié)論.

（3）是“p或q”形式的復(fù)合命題，其中p：x2+1＞0；q：x2+1=0.

（4）該命題隱含了“且”，即“等腰三角形頂角的平分線垂直且平分底邊”，是“p且q”的復(fù)合命題，其中p：等腰三角形頂角的平分線垂直底邊；q：等腰三角形頂角的平分線平分底邊.再如：有兩個(gè)角是45度的三角形是等腰直角三角形.

（5）是“p或q”形式的復(fù)合命題，其中p：x=1是方程x2=1的解；q：x=0是方程x2=1的解.因?yàn)閜真，q假，所以p或q為真.注意，容易認(rèn)為“x=1或x=0是方程x2=1的解”是假命題，如同“2≥2”為真命題是一個(gè)道理.

（6）由結(jié)論2知，是簡單命題.

總之，考查一個(gè)命題是不是“p且q”或“p或q”形式的命題，我們可以對照上述四個(gè)結(jié)論加以判斷.但由于數(shù)學(xué)命題語言表達(dá)的靈活性和多樣性，這四種情形不可能涵蓋所有含有“且”“或”的命題.因此在具體判斷此類命題時(shí)，既要觀察形式，又要分析本質(zhì)；既要看它是否含有“且”與“或”，又要看它是否隱含了“且”與“或”，還要看“且”與“或”是否為兩個(gè)命題之間的聯(lián)結(jié)詞，有時(shí)還要與它們對應(yīng)的真值表聯(lián)系起來判斷.只有深刻理解“且”與“或”的真正內(nèi)涵，才能擺脫形式上的困擾.H