一道平幾題的多解剖析

☉江蘇省高郵市第一中學 沈紅梅

【例題】（石家莊市2018屆高中畢業班教學質量檢測（一）·16）如圖1所示，平面四邊形ABCD的對角線交點位于四邊形的內部，AB=1，BC=2 ，AC=CD，AC⊥CD，當∠ABC變化時，對角線BD的最大值為______.

圖1

解題思路：（1）建立不同三角形內的邊角關系，得到相應的解析式來求解最值；（2）將整個平面圖形放在平面直角坐標系中，通過坐標建立關系式；（3）將所要求解的邊長轉化為邊AC的函數關系，結合函數思想來確定相應的最值問題；（4）通過垂直作輔助線，利用三角形相似建立關系式來處理；（5）以靜制動，將不在一起的條件創新性地放在一起來處理；（6）將四邊形的對角線與四條邊通過托勒密不等式建立關系來處理.下面我們具體討論這六種解法.

思路方向1：解三角形思維是此類問題中最常見的解題方法，也是考慮問題中最易想到的基本方法.設出相應的角，通過三角形的轉化，利用不同三角形間的邊角關系，再利用正弦定理和余弦定理來轉化與處理，結合三角恒等變換，通過三角函數的圖像與性質來確定相應的最值問題.本解法的關鍵是轉化與化歸，運算時要有耐心，認真細致.

解法1（解三角形法）：設∠ABC=α，∠ACB=β，

則當α=135°時，BD2有最大值9，BD取得最大值為3.故填3.

思路方向2：涉及平面幾何比較難處理時，經常可以考查建系，通過平面直角坐標系的建立，結合解析幾何來轉化，也是解決此類問題中比較常見的方法之一.巧妙建立平面直角坐標系，把點A放在單位圓上，引入三角參數，結合平面向量的坐標運算以及模的運算，結合三角恒等變換，通過三角函數的圖像與性質來確定相應的最值問題.本解法巧在建系，以運算代說明.

解法2（建系法）：以B為坐標原點，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系xBy，則C（，0），設∠ABC=α，則A（cosα，sinα），

思路方向3：涉及平面幾何比較難處理時，經常可以轉化為函數，利用函數與方程的關系來處理，這也是解決此類問題中比較常見的方法之一.設AC=CD=x，結合余弦定理求解cos∠ACB的值，通過同角三角函數基本關系式可得sin∠ACB的值，把BD2表示成參數x的關系式，結合函數與方程的思維，利用判別式確定對應的取值范圍，進而確定BD的取值范圍即可.本解法在得到BD2=2+后，由于判斷函數的最值問題的處理方法多樣，所以可以利用函數與方程法處理，也可以結合導數法來處理，還可以通過三角換元思維來處理等.

綜上所述:中西醫結合對甲狀腺功能亢進癥患者進行治療能夠明顯改善甲狀腺功能,且臨床療效良好,安全性高,不良反應發生率低,值得廣泛推廣。

在△ABC中，由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·

則當α=135°時，|B—→D|2有最大值9，BD取得最大值為3.故填3.BC·cos∠ACB，即1=x2+2-2xcos∠ACB，解得cos∠ACB=，結合同角三角函數基本關系式可得sin∠ACB=

在△BCD中，由余弦定理可得

思路方向4：通過過點A、D作BC邊上的垂線，把斜三角形問題轉化為直角三角形問題，利用直角三角形中的邊角關系以及勾股定理來轉化，結合三角恒等變換，通過三角函數的圖像與性質來確定相應的最值問題.輔助線法在實戰中應用廣泛，往往可以起到出其不意的效果.

解法4（輔助線法）：設∠ABC=α，如圖2，作AE⊥BC，DF⊥BC，

圖2

由AC=CD，AC⊥CD，可得Rt△ACE≌Rt△CDF，

所以DF=CE=EB+BC

CF=AE=sin（180°-α）=sinα，

則BD2=BF2+DF2

=5+4sin（α-45°），

因此當α=135°時，BD2有最大值9，BD取得最大值為3，故填3.

思路方向5：通過將△ABC繞點C順時針旋轉90°，先結合旋轉后對應的邊角關系，再利用平面幾何的相關知識求解對應的邊長問題，最后結合圖形，以動制靜來處理相應的最值問題.本解法思維巧妙，借助初中平面幾何的相關知識來解決高中問題，回歸本源.有時采用初中平面幾何的知識來解決一些高中的相應數學問題，可以使得問題解決起來更流暢、快捷.

解法5（平幾法）：如圖3，將△ABC繞點C順時針旋轉90°，

圖3

因為AC=CD，AC⊥CD，則旋轉過后點A與點D重合，記點B旋轉至點B′，

則B′D=1，即點D在以點B′為圓心，半徑為1的圓周上，

結合圖形可得BD≤BB′+B′D=2+1=3，當且僅當B，B′，D三點共線且點B′在線段BD上時等號成立，故填3.

思路方向6：（托勒密不等式法）本解法涉及凸四邊形的對邊、對角線等的關系問題，考慮利用特殊的幾何定理：托勒密不等式（凸四邊形的兩組對邊乘積和不小于其對角線的乘積，當且僅當四點共圓或共線時等號成立）來處理.處理巧妙，過程簡單快捷.本解法涉及的托勒密不等式不屬于課本知識，所以學生不易掌握，只是作為一個課外的拓展解法來處理.

解法6：設AC=CD=a，

由托勒密不等式（凸四邊形的兩組對邊乘積和不小于其對角線的乘積，當且僅當四點共圓或共線時等號成立）可得AD·BC+AB·CD≥AC·BD，

通過從多個不同角度來處理，巧妙地把該題的底蘊充分挖掘出來，多角度出發，多方面求解，真正實現對數學知識的融會貫通，充分展現知識的交匯與綜合，達到提升能力、拓展應用的目的，進而真正達到在學中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能的目的.正如我國著名數學家蘇步青先生說過：“學習數學要多做習題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”J