巧借空間向量，妙解平行問題

☉江蘇省華羅庚中學 席國金

我們知道，空間向量可以用來處理空間中有關線、面平行的關系（包括線線平行，線面平行，面面平行），其實質就是把空間中的點、線、面、角等問題利用空間坐標的代數形式表示出來，然后利用空間向量的線性關系或空間向量的數量積，通過代數運算來解決對應的平行問題.

一、線線平行問題

利用空間向量解決線線平行問題的常見方法：證明兩直線的方向向量共線.

例1 如圖1，ABEDFC為空間多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點O在線段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形.證明直線BC∥EF.

分析：通過建立相應的空間直角坐標系，找出相應點的坐標及對應的空間向量的坐標，利用兩空間向量平行的特點來證明相應的線線平行關系.

圖1

圖2

證明：過點F作FQ⊥AD，交AD于點Q，連QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q為坐標原點，Q—→E為x軸正向，Q—→D為y軸正向，Q—→F為z軸正向，建立如圖2所示空間直角坐標系Q—xyz，

點評：判定空間線線的平行問題，利用空間向量的代數運算形式，通過計算兩直線所在的方向向量互為共線的關系，確定兩對應的方向向量互相平行，進而判定線線的平行問題.這樣處理往往可以省去幾何證明中的嚴格的敘述，以代數運算的形式通過計算來達到證明的目的，這樣可以省去不必要的邏輯推理與分析，更為簡單.

二、線面平行問題

利用空間向量來解決線面的平行問題的常見方法：①證明該直線的方向向量與對應平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與對應平面內的某直線的方向向量平行.

例2 如圖3所示，在四棱錐P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四邊形ABCD中，∠CBA=∠BCD=90°，AB=4，CD=1，點M在PB上，PB=4PM，PB與平面ABCD成30°的角.求證：CM∥平面PAD.

分析：先根據題目條件，以C為坐標原點建立相應的空間直角坐標系，結合線面角的定義確定對應的邊長問題，進而確定對應頂點的坐標，通過平面PAD的一個法向量n的求解，結合n·C—→M=0的確定來判斷n⊥C—→M，進而結合線面平行的判定定理加以證明.

圖3

圖4

解析：以C為坐標原點，CB為x軸，CD為y軸，CP為z軸建立如圖4所示的空間直角坐標系C—xyz.

因為PC⊥平面ABCD，所以∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，所以∠PBC=30°.

設n=（x，y，z）為平面PAD的法向量，

又CM?平面PAD，所以CM∥平面PAD.

點評：判定空間線面的平行問題，往往直接利用直線的方向向量與對應平面的法向量的數量積為0，通過空間向量的代數形式的運算，及兩空間向量的垂直關系的轉化，解決有關線面平行的問題.

三、面面平行問題

利用空間向量解決面面平行問題的常見方法：①證明兩平面對應的法向量為共線向量；②轉化為線面平行、線線平行的問題來處理.

例3 已知平面α內的三點A（2，0，0），B（0，0，2），C（0，2，2），平面β的一個法向量為n=（2，0，2），則不重合的兩個平面α和β的位置關系是______.

分析：根據平面α內的三點的坐標來確定相應的向量坐標，進而求解平面α的一個法向量，結合平面β的一個法向量得到對應的共線關系，進而得以判定面面平行.

設m=（x，y，z）為平面α的法向量，

不妨設z=1，可得m=（1，0，1）.

又平面β的一個法向量為n=（2，0，2），

可得n=2m，即m∥n，故α∥β.則填答案：平行.

點評：判定空間面面的平行問題，如果利用兩平面的法向量的平行來證明，直接利用空間向量的代數形式的運算即可；而如果利用線線平行、面面平行的判定定理及空間向量來表示與轉化，還要說明相應判定定理的條件，千萬不能遺漏.

四、平行的探索問題

通過利用空間向量來探究與平行有關的存在性等問題，將幾何證明轉化為空間向量的計算問題，大大降低了對空間想象能力的要求.對于這類存在性問題，一般是先假設其存在，然后利用空間向量的運算，依據題中的條件求解、檢驗、判斷.

例4 （2016·北京理·17（3））如圖5，在四棱錐P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=.在棱PA上是否存在點M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，說明理由.

分析：取AD的中點O，證明PO，OC，AD兩兩互相垂直，進而建立對應的空間直角坐標系，利用空間向量的表示，先求解平面PCD的法向量，再假設點M在棱PA上，設出A—→M=λA—→P，根據參數的取值的存在性來分析與判斷對應點的存在性問題.

圖5

圖6

解析：如圖6，取AD的中點O，連接PO，CO.

因為PA=PD，所以PO⊥AD，

又因為PO?平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，

因為CO?平面ABCD，所以PO⊥CO，因為AC=CD，所以CO⊥AD，

如圖6建立空間直角坐標系O—xyz，

由題意得，A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，1），

點評：解決立體幾何中的此類問題時，通常利用空間向量的運算來逆推，目標明確，要注意推理過程是否可逆，不要把必要條件當作充分條件來處理.通常假設題中的數學對象存在（或結論成立），然后在這個前提下進行對應的邏輯推理，若能推導出與條件吻合的數據或事實，則說明假設成立，即存在，并可進一步證明與求解；若推導出與條件或實際情況相矛盾的結論，則說明對應的假設不成立，即不存在.

其實，利用空間向量解決立體幾何中的平行關系時，可以通過建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算或數量積得出平行關系.當遇到不適合建立空間直角坐標系的問題時，也可以根據題意在立體幾何圖形中選取一個基底，然后將所需的空間向量用此基底表示出來，再利用向量的運算或數量積進行求解或證明即可.J