高中數學圓錐曲線部分教學研究

☉安徽省臨泉第一中學 李曉燕

圓錐曲線部分是高中數學的重要組成部分，它在整個高中階段的數學教學中有著重要的地位，它是連接代數和幾何兩部分知識的重要橋梁.另外，圓錐曲線部分的知識貼近生活，并且包含許多重要的數學思想，學生通過該部分的學習，能夠有效提高自身的思維水平，提高自身的數學素養.從高考數學試題的角度來看，圓錐曲線部分的知識占據的分值較重，并且都是結合其他的知識點以綜合題的形式出現，該部分的題目成為了高校甄別考生的重要題目.因此，研究圓錐曲線教學，不僅有助于提高課堂教學效果，提高學生的數學素養，還有助于學生在高考中取得一個良好的成績.

一、圓錐曲線部分知識概述

圓錐曲線部分知識具有較強的綜合性，它能夠與高中數學中的多部分知識結合，進而考查學生對數學知識的綜合應用能力.從教材上來看，圓錐曲線部分的知識主要包括圓、橢圓、雙曲線、拋物線幾個部分，它們能夠和導數、三角函數、平面幾何等知識相結合，與我們的日常生活和生產有著密切的聯系.

二、高考試題中圓錐曲線部分考點分析

通過對近幾年高考數學圓錐曲線部分考題的統計來看，該部分知識所出題目的類型主要集中在選擇題和解答題上，填空題極少出現.在2015年的吉林省高考數學理科試題中，圓錐曲線部分的試題占了17分，其中第10題的選擇題是關于雙曲線的知識，第20題的解答題是關于橢圓的.同年的文科數學試題中，也是考查了雙曲線和橢圓兩個方面的知識，其中雙曲線部分的知識依然是以選擇題的形式出現，解答題依然是選取了橢圓部分的知識.在2016年的理科數學試卷中，圓錐曲線部分的知識依然是考查雙曲線和橢圓兩部分，雙曲線部分知識依然是以選擇題的形式來考查，解答題部分依然是選擇橢圓部分.在文科試卷中，對圓錐曲線部分知識的考查出現了變動，考查了拋物線和橢圓兩部分的內容，其中選擇題部分考查的是拋物線的相關知識，解答題部分依然是考查橢圓部分的知識.在2017年的理科數學試卷中，圓錐曲線部分的知識點考查的是雙曲線和橢圓部分的知識，題型的選擇和知識點的分布與前幾年一樣.由此可見，高考數學關于圓錐曲線部分的考題相對穩定，其中橢圓部分的知識成為了歷年高考數學解答題中的必考知識點.

在高考數學試題中，圓錐曲線部分的知識除了考查學生對書本知識的掌握情況以外，還考查學生數學思想的掌握.尤其是數形結合的思想和函數與方程思想，考查的頻率最高，而數形結合思想是圓錐曲線部分考查的重點，函數與方程思想主要通過直線與圓錐曲線相結合的題目來考查.

三、學生對圓錐曲線問題的掌握情況

從直觀水平上來看，通過高中階段的數學學習，多數學生已經具備了對圓錐曲線直觀認識的水平，當遇到點的軌跡滿足圓錐曲線的幾何特征時，就能夠知道要利用圓錐曲線的相關知識來解答，但是有些時候容易忽略其中細節，導致出現問題.例如，動圓N和定圓C1：x2+y2+6x=0外切，同時還內切于定圓x2+y2-6x=40，請求出動圓的圓心N的運動軌跡.在這一題目中，主要考查了學生對橢圓定義和橢圓的直觀認識，在解決這一問題的時候，學生可以通過數形結合和代數運算的方式來求圓心的運動軌跡，這種方法解題的前提是要求學生對橢圓的定義有深刻的認識.另一種方法就是通過題目中已知的等量關系，來求圓心的運動軌跡.相比較于第一種方法，這種方法計算量較大，但是也可以求出最終的結果.

從描述水平上來看，通過高中階段的數學學習，僅有一部分學生能夠達到圓錐曲線的描述水平，能夠借助性質和公式進行簡單的推理.例如，在2012年高考數學全國卷2中有這一問題：F1和F2是橢圓的兩個焦點，P是直線x=上的一點，如果△F1PF2為底角是30°的等腰三角形，那么E的離心率是（ ）.

該題就是考查學生對橢圓的相關性質的理解和作圖能力，在對學生進行測試的時候，多數學生能夠對方程的位置把握準確.只有半數多一點的學生能夠正確的對這一問題進行演算，由此可見，學生在對圓錐曲線的描述水平這一階段，對于簡單問題能夠準確解答，但是對于稍微復雜的問題就會出現問題.

從理論水平上來看，學生在演繹推理和證明幾何關系方面的能力參差不齊，通過對學生的測試可以發現，部分學生對題干中信息處理的能力有所欠缺，并且在圖形和數字的轉化上也不到位.例如，2014年高考數學全國卷2中的這一題目：F1和F2是橢圓

（2）如果直線MN在x軸上的截距是2，|MN|=5|F2N|，求a，b的值.

該題就是考查學生演繹推理、綜合應用和計算等能力，在解第一問的時候有兩種方法，可以通過橢圓的相關知識來求解，也可以借助直角三角形和橢圓的相關知識來求解.在第二問中，很多學生對題目中“在y軸截距”的信息理解不到位，并且對題目中的部分隱含條件也沒有正確的利用起來.這就說明學生對題目信息和所學知識鏈接整合能力存在欠缺.

總體上來看，學生對圓錐曲線部分的掌握存在以下問題：首先，他們對于圓錐曲線部分的知識理解不到位，尤其是概念方面的知識，理解不夠深刻，通過學生的解題我們就可以看出來，很多學生不能夠借助相關的定義概念來完成解題，并且，有些時候他們還會混淆這些概念之間的關系，導致自身解題錯誤.其次，學生在符號、圖形、文字等數字語言之間的轉化不夠靈活，對于高中圓錐曲線部分的知識，在解題中應用最多的就是數形結合的思想，學生需要將題目中的文字語言轉化為圖形語言，再將它們轉化為數字符號語言，經過多重轉化尋找問題的突破口.很多學生就是在這些語言之間的轉化上存在欠缺，導致中間環節出現問題，最終導致解題失敗.最后，學生對圓錐曲線部分綜合解題能力有欠缺，很多學生在單獨面對圓錐曲線部分的單個知識點的時候，能夠準確的回答，一旦涉及到綜合類的問題，就感覺無從下手，這些就是學生綜合解題能力不足的表現.的兩個焦點，M是C上的一點，其中MF2和x軸垂直，直線MF1與C相較于N.

四、高中數學圓錐曲線部分教學建議

（一）立足高考，放眼未來

圓錐曲線部分作為高考數學的重要考點，在教學中要給予足夠的重視，要密切研究高考數學圓錐曲線部分的出題動向，及時的調整我們的教學方式.另外，還要關注學生的長遠發展.圓錐曲線部分的知識在生活中被廣泛應用，例如全球衛星定位導航系統、音樂臺的拋物面墻等，在教學中通過引入這些實例，提高學生的學習興趣.而且，通過圓錐曲線部分的學習，還有助于學生思維能力、運算能力和推理能力的提高，因此，教師在教學中不僅要注重基本知識和解題技能的傳授，還要將培養學生的綜合能力放到同樣重要的位置上.

（二）選擇適當的方式，注重基本概念的理解

基本概念是學生學習該部分知識的基礎，教師要選擇合適的方式幫助學生理解相關的概念，讓學生能夠在今后的解題中靈活運用.例如，在橢圓部分的教學中，有些教師按照教材中的方式，直接將橢圓的概念呈現給學生，還有些教師借助幾何畫板進行直觀的展示.幾何畫板的應用雖然能夠輔助學生認識橢圓，但是用幾何畫板來展示橢圓的性質就需要引入以前學過的垂直平分線的性質，如果學生對該部分知識掌握不靈活，勢必會影響對橢圓概念的認識.另外，結合橢圓定義的特點，筆者認為根據人教版高中數學課本上的方式來引入更易讓學生接受.因此，選擇合適的方式，才能夠提高學生對基本概念的理解，才是圓錐曲線概念教學的根本.

（三）注重學生綜合能力的培養

圓錐曲線部分的知識不是單獨出現的，它往往與其他的知識相結合共同出現，并且對學生的綜合能力要求較高.首先，在該部分知識的教學中，教師要引導學生分析題干信息，提高學生數學語言的轉化能力，使學生能夠從題干中得到足夠的數學信息.其次，提高學生運用綜合知識的能力，尤其是橢圓、雙曲線和拋物線部分的知識，注意讓學生加以區分，尤其是其中a，b，c，d各參數的關系要明確.我們還可以借助一些題目的練習，來提高學生的綜合能力.需要注意的是，在題目選擇的過程中，盡量選擇與生活實踐相關的問題，這樣還有助于培養學生利用數學知識解決生活問題的能力.