基于課本例題的動感探究式教學

☉江蘇省泰興市第二高級中學 周余峰

數學教學中所遵循的教師主導、學生主體的基本原則在師生關系上應表現為教師主導下的學生主體作用的發揮，身為教學組織者、引導者、合作者的教師應在教學中突出學生這一主體.本文結合教材中的例題教學設計重點研究了教師主導和學生主體在具體教學中的落實.

一、問題

例1 某工廠加工一零件時往往會采用兩道工序，假設第一道、第二道工序分別會導致3%和5%的產品不合格，如果這兩道工序不會相互影響，那么，請大家計算一下不合格產品的概率會是多少呢？

二、教學片段

1.揭示規律

教師首先讓學生獨立思考并在稿紙上自主作答，巡視中發現很多學生采取了從反面考慮問題的辦法，正難則反的解題策略得到了很好的體現.

師：誰能將自己的成果展示一下？

學生立刻從對立事件的角度對解題過程進行了表述與展示，教師根據學生的回答及時與學生一起總結復雜事件的解決需要考慮其對立事件的規律等.

學生在自主交流時往往更關注如何求解，對于如此求解的原因常常會覺得有難度或者直接忽視，因此，教師在教學中應注重解題內在規律與本質的探究以促進學生探究高效的實現.

師：零件不合格跟兩道工序之間又會存在什么樣的關系呢？

生1：將第一道工序導致的不合格產品、第二道工序導致的不合格產品、最后鑒定為不合格的產品分別設為A1、A2、A，A其實是第一道工序導致的不合格產品、第二道工序導致的不合格產品、兩道工序都導致的不合格產品的總數之和，即A=A1+A2+A1A2，因此P（A）=P（A1+A2+A1A2）=P（A1）+P（A2）+P（A1A2）.

（有學生認為此分析有理，課堂上隨即安靜了一陣）

生2：第一道工序導致不合格產品出現其實已經包含在兩道工序同時導致的不合格產品中，第二道工序導致產品不合格也是這個道理.因此，概率公式在這三個事件不互斥時應用不當，實際上，A即為兩道工序中至少有一道工序導致的不合格產品數，即A=A1+A2，因此P（A）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）.

（學生之間出現了爭執）

師：由此看來我們需要首先探究一下事件A究竟包含了哪幾個事件.

（稍作停頓）

師：剛才兩位同學對于事件A的分析都存在一定的問題，生1在分類時犯了標準不一致的錯誤，生2對于事件A的分解是對的，不過A1、A2不互斥，概率公式應用不當.

師：事件A究竟應該如何分解呢？（教師隨即告訴了學生）

生3：事件A為以下三種情況之和：（1）兩道工序都出現的不合格產品，即A1A2；（2）第一道工序不合格但第二道工序合格了，即A1A2；（3）第一道工序合格但第二道工序不合格，即A1A2.這三個事件是相互獨立的，即A1、A2、A1、A2彼此獨立，因此有P（A）=P（A1A2+A1A2+A1A2）.

生4：事件A如此分解之后可得，事件（1）（2）能合并成事件A1，即A=A1+A1A2.

學生的思考、爭論及師生之間的交流探究使得學生對題中相關概念、事件之間的關系的認識更加明朗且深刻.

師：將所求事件分解成兩個或兩個以上的互斥事件之和、兩個或兩個以上獨立事件的乘積是解決概率問題通常所用的辦法.

與此同時，教師還應及時設計鞏固應用以促進學生對知識的掌握.

2.應用探究

問題：某車從甲地出發行駛100km之內發生故障的概率是0.4，行駛200km之內發生故障的概率是0.8，那么，如果該車行駛了100km的路程內并未發生故障，繼續行駛第二個100km時發生故障的概率會是多少呢？（故障排除后可繼續行駛）

教師巡視學生的解題發現大多學生都是在機械地套用公式，教師隨即投影了學生的一個錯誤解法.

生5：將行駛100km之內發生故障假設為事件A，該車行駛200km之內發生故障假設成事件B，因為P（A）=P（B）=0.8，所以答案是0.8.

師：大家覺得這一答案對嗎？

（給學生2～3分鐘時間獨立思考）

生6：從題中可知事件B和A不是相互獨立事件，因此P（BA ）≠P（B）P（A），因此該解法不對.

生7：題目所求與行駛了200km發生故障并不是同一事件，因此該解法不對.

師：很好，由此可知題中要求我們求的是行駛100km到200km之間發生的故障.

師：大家以為行駛100km之內、行駛200km之內發生故障這兩個事件會存在什么樣的關系呢？請大家聯系例1中的結論再次思考這一問題.

（有學生在思考之后上黑板進行了演示）

生8：將該車行駛200km之內發生故障這一事件設為A，將其行駛100km之內發生故障這一事件設為B，將行駛100km至200km之間發生故障這一事件設為C，B、C是獨

立的，P（A）=0.8，P（B）=0.4，A=B+BC，因此P（A）=P（B+BC）

師：很好，大家以為解決此題的關鍵是什么呢？

生9：關鍵在于將行駛200km之內發生故障的這一實踐應如何分解轉化.

師：其實這是模仿例1的解題方法，大家還有其他解法嗎？

生10：將行駛100km之內發生故障這一事件設為A，將車子行駛100km至200km之內發生故障這一事件設為B，由事件A、B，P（A）=0.6，行駛200km之內發生故障的對立事件是AB，則P（A B）=0.2，所以有P（B|A）=1-P（B|A）=

三、教學反思

1.課前準備環節體現教師的主導

優秀的課堂教學必然要建立在教師充分的課前準備上，教材內容的閱讀與領會、對教學要求的把握、教學方法的選擇、對學情的分析、確立教學目標、設計教學活動等內容都是課前準備環節不可缺少的.此外，教材中匯聚眾多專家心血與經驗的概念引入、例題呈現都隱藏著學生應該掌握的數學思想與方法，教師應對這些內容進行深入挖掘并將其進行精心的設計，使得這些內容能夠在新課程教學的要求下得到更好的理解、思考與處理.

2.在學生活動的指點與引導中體現教師的主導

教材中的例題是無法暴露解題的思維過程的，因此，教師應對解題思路的產生過程進行剖析并使學生明白這樣解法的道理、其他的解題解法等，學生的求知欲望往往會因為教師的啟發、追問等手段的落實而得到激發.

學生一旦形成思考問題的習慣，就會對所要研究的問題能夠很快厘清題中的條件、求解目標并獲得解題的思路，因此，教師在教學中應加強審題的教學示范并積極引導學生自主思考問題.面對一個新問題時，教師首先應該引導學生對題目進行仔細的閱讀并設計出解決問題的思路，當大多學生感覺此問題有難度時，教師應關注到學生的難處并與學生一起審題以此引導學生對題目形成正確的理解.比如本文所列舉的概率問題的求解，機械套用公式是根本無法解題的，這時候就需要將題中各個事件之間的關系一一理順才能明確各事件的概念屬于條件概率還是同時發生的概率，問題的本質、概念的理解也會在這些事件之間關系的理順過程中得以實現.

同時，教師在教學過程中一定要給學生獨立思考的時間并及時關注學生的思考與探究表現，使學生能夠在思考中對問題進行比較和研究并使概念內涵和外延得到深入的挖掘，學生主動建構知識往往需要建立在這一基礎之上.學生自主思考、探究問題的過程就是學生思維的過程，學生思維受阻的過程中往往會特別期待教師或同伴的點撥或提醒，思維被有效激活的同時解題也就更容易了.

3.教師導學的策略

教師在教學過程中應面向全體學生并認真傾聽學生發出的聲音，做到精心導學，學生的展示是學生思維活動的展現，因此，教師應積極參與學生的探究活動并幫助學生提煉出探究的核心內容，并進行一定的歸納與提升以此激發學生學習的主體性，使得學生在教師有意義的導學中不斷發展自己的水平與能力.

精心導學當然要注重導學時機的把握，比如，本文中學生對事件之間關系的理解發生錯誤之時就應該是教師提問引導學生的導學時機，學生探究出現停頓或者不得深入的時候正是學生需要幫助的時候，教師此時的導學對于學生來說就是一場及時雨.其次，教師的精心導學還應體現在恰當問題的設計中，面向全體學生并能使學生通過努力徹底解決的題目，或者可以一題多變的題目都是可以用來導學的好問題.另外，教師的精心導學還應體現在方法的選擇上，根據學生知識基礎與身心特點的方法往往能夠更好地促進學生投入動感的數學課堂中.F