多角度思考，發(fā)散性思維
——對(duì)一道高考概率題的探究

☉江蘇省錫山高級(jí)中學(xué) 葛長(zhǎng)松

多角度思考、發(fā)散性思維是對(duì)已知信息進(jìn)行多方向，多角度的思考，不局限于既定的理解，從而提出新問題，探索新知識(shí)或發(fā)現(xiàn)多種解答和多種結(jié)果的思維形式.它起點(diǎn)靈活、過程靈活，概括遷移性強(qiáng)，是思維靈活性的表現(xiàn)，而一題多解是它的重要表現(xiàn)形式.每年高考，都會(huì)出現(xiàn)一些考查學(xué)生發(fā)散性思維的題目，特別是計(jì)數(shù)問題，不僅可以用來解決計(jì)數(shù)的多少問題，也可以用來考查等可能事件概率的求解，它是培養(yǎng)和發(fā)展抽象思維能力、發(fā)散性思維和邏輯思維能力的好教材.

一、原題展示

【例題】（2012年高考重慶卷，15）某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課各1節(jié)，

（1）（文科）則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為______（用數(shù)字作答）.

（2）（理科）則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為______（用數(shù)字作答）.

二、思路分析

分析：本題主要通過排列與組合的應(yīng)用來解決等可能事件的概率問題，涉及分類討論思想、排列組合的常用技巧等.

思路：要滿足在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)藝術(shù)課或最多間隔1節(jié)藝術(shù)課，從正面入手，以相鄰文化課之間的藝術(shù)課的多少為分類標(biāo)準(zhǔn)，通過分類討論來確定滿足條件的排法種數(shù)，再結(jié)合等可能事件的概率問題求解.

①兩節(jié)相鄰文化課之間沒有藝術(shù)課間隔：可將三節(jié)文化課捆綁為一個(gè)元素，然后再與另三節(jié)藝術(shù)課進(jìn)行全排，其排法有＝144（種）；

②三節(jié)文化課間都有1節(jié)藝術(shù)課間隔：有“文藝文藝文藝”與“藝文藝文藝文”兩種形式，其排法有＝72（種）；

③三節(jié)文化課中有兩節(jié)之間有1節(jié)藝術(shù)課，而另一節(jié)文化課與前兩節(jié)文化課之間無間隔，可先對(duì)文化課進(jìn)行全排，然后從3節(jié)藝術(shù)課中選一節(jié)放入排好的3節(jié)文化課之間，再將此4節(jié)課看作一個(gè)元素與余下的2節(jié)藝術(shù)課進(jìn)行全排，其排法有＝216（種）；

④三節(jié)文化課中有兩節(jié)之間有2節(jié)藝術(shù)課，另兩節(jié)之間有1節(jié)藝術(shù)課，可先對(duì)文化課進(jìn)行全排，然后從3節(jié)藝術(shù)課中選2節(jié)放入排好的3節(jié)文化課之間，剩下1節(jié)藝術(shù)課直接排到另兩節(jié)文化課之間，其排法有＝72（種）；

⑤三節(jié)文化課中有兩節(jié)之間有2節(jié)藝術(shù)課，而另一節(jié)文化課與前兩節(jié)文化課之間無間隔，可先對(duì)文化課進(jìn)行全排，然后從3節(jié)藝術(shù)課中選2節(jié)放入排好的3節(jié)文化之間，再?gòu)氖孜参恢眠x一個(gè)排另一節(jié)藝術(shù)課，其排法有＝144（種）；

⑥三節(jié)文化課中有兩節(jié)之間有3節(jié)藝術(shù)課，可先對(duì)文化課進(jìn)行全排，再將三節(jié)藝術(shù)課捆綁為一個(gè)元素，插入到3節(jié)文化課之間的兩個(gè)位置中的一個(gè)，其排法有＝72（種）.

（1）在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)藝術(shù)課的情況包括以上分類中的②和④，可知相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)藝術(shù)課的排法有72+72=144（種），所以課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)

（2）在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的情況包括以上分類中的①、②和③，可知相鄰兩節(jié)文化課間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的排法有144＋72＋216＝432（種），

【其他解法】（1）在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)藝術(shù)課可以分為：先對(duì)3節(jié)藝術(shù)課進(jìn)行全排，然后從3節(jié)藝術(shù)課之間的4個(gè)空隙中插入3個(gè)空隙排3節(jié)文化課，其排法有144（種），

（2）對(duì)于④和⑤中的情況，可以合并起來考慮：三節(jié)文化課中有兩節(jié)之間有2節(jié)藝術(shù)課，可先對(duì)文化課進(jìn)行全排，然后從3節(jié)藝術(shù)課選2節(jié)放入排好的3節(jié)文化課之間，剩下1節(jié)藝術(shù)課排到另兩節(jié)文化課之間或首尾位置，其排法有A＝216（種），

課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的對(duì)立事件為以上的綜合情況與⑥的情況，

根據(jù)對(duì)立事件的概率公式，

點(diǎn)評(píng)：其實(shí)，以上2012年高考重慶卷中的真題解析，都是在正確分類討論的情況下計(jì)算對(duì)應(yīng)的排法再加以計(jì)算相應(yīng)的概率問題.此類問題進(jìn)一步一般化，通過多方變式，把問題中有關(guān)文化課與藝術(shù)課的情況簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化為男、女學(xué)生問題，這樣就可以作進(jìn)一步的變式與應(yīng)用，可以直接來求解相關(guān)的不同排法問題，也可以求解類似的概率問題.

三、拓展變式

【拓展】把高考真題中的情況一般化：3男3女排成一排，那么不同排法可分為以下六類：

③三節(jié)男生中有兩名之間有1名女生，而另一名男生與前兩名男生之間無間隔：其排法有＝216（種）；

④三名男生中有兩名之間有2名女生，另兩名之間有1名女生：其排法有＝72（種）；

⑤三名男生中有兩名之間有2名女生，而另一名男生與前兩男生之間無間隔：其排法有＝144（種）；

那么可以對(duì)以上拓展分析加以變式，得到以下相關(guān)的變式問題：

變式1：3男3女排成一排，那么

（1）男生互不相鄰的不同排法數(shù)為______種；男生互不相鄰的概率為______.

（2）相鄰兩名男生之間最多間隔1名女生的不同排法數(shù)為______種；相鄰兩名男生之間最多間隔1名女生的概率為______.

（3）同性互不相鄰的不同排法數(shù)為______種；同性互不相鄰的概率為______.

解析：與真題的分析一樣，

（1）“男生互不相鄰”等價(jià)于“相鄰兩名男生之間至少間隔1名女生”，與真題類似，可得答案

（3）同性互不相鄰即為：②三名男生間都有1名女生相隔：其排法有72（種），

變式2：3男3女排成一圈，那么

（1）3名女生相鄰的不同排法數(shù)為______種；3名女生相鄰的概率為______.

（2）同性互不相鄰的不同排法數(shù)為______種；同性互不相鄰的概率為______.

解析：6個(gè)人排成一圈，先確定其中某一個(gè)排好，接下來直接排剩下的5人即可，共有=120（種）排法.

（1）要使3名女生相鄰，先排3名女生后面直接接著排3名男生即可：其排法有＝36（種），

（2）要使同性互不相鄰，先直接排好某確定男生，該男生后面接著先排3名女生，后剩下的2名男生排在3名女生之間即可：其排法有＝12（種），

變式3：n男n女排成一排（n∈N*，n≥3），那么

（1）同性互不相鄰的不同排法數(shù)為______種；同性互不相鄰的概率為______.

（2）男生互不相鄰的不同排法數(shù)為______種；男生互不相鄰的概率為______.

（1）同性互不相鄰即為：n名男生間都有1名女生相隔：其排法有，

（2）“男生互不相鄰”等價(jià)于“相鄰兩名男生之間至少間隔1名女生”，其可以分為：先對(duì)n名女生進(jìn)行全排，然后從n名女生之間的n+1個(gè)空隙中插入n個(gè)空隙排n名男生即可，其排法有

變式4：n男n女排成一圈（n∈N*，n≥3），那么

（1）n名女生相鄰的不同排法數(shù)為______種；n名女生相鄰的概率為______.

（2）同性互不相鄰的不同排法數(shù)為______種；同性互不相鄰的概率為______.

解析：2n個(gè)人排成一圈，先確定其中某一個(gè)排好，接下來直接排剩下的2n-1人即可，共有

（1）要使n名女生相鄰，先排n名女生后面直接接著排n名男生即可：其排法有

（2）要使同性互不相鄰，先直接排好某確定男生，該男生后面接著先排n名女生，后剩下的n-1名男生排在n名女生之間即可：其排法有

總結(jié)：通過對(duì)一道高考概率真題的剖析，還原本質(zhì)，通過排列與組合中常用的計(jì)數(shù)技巧，結(jié)合分類討論來解決相應(yīng)的計(jì)數(shù)與概率問題，進(jìn)而加以變式與拓展，加強(qiáng)了一題多解，一題多變等的研究，很好地拓展了思維，促進(jìn)智力品質(zhì)靈活性的提高與發(fā)展.J