三角函數(shù)求值題的解題技巧

☉江蘇省南京市溧水區(qū)第二高級(jí)中學(xué) 陳源波

我們要學(xué)會(huì)運(yùn)用不同理論公式及三角函數(shù)公式來(lái)思考同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題.這就必須集中精力，開動(dòng)全腦思考，加入各種各樣的學(xué)習(xí)形式和方法，充分運(yùn)用數(shù)學(xué)三角函數(shù)理論知識(shí)，努力把許多復(fù)雜的三角函數(shù)問(wèn)題和數(shù)學(xué)理論轉(zhuǎn)化成做過(guò)的和理解的簡(jiǎn)單易懂的表達(dá)形式，全面提高解答三角函數(shù)例題的效率和質(zhì)量.

一、注重三角函數(shù)的概念和公式，加強(qiáng)例題的解答能力

首先，我們要注重三角函數(shù)的概念和公式以及三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)，加強(qiáng)例題的解答能力，培養(yǎng)自身的創(chuàng)造性和理解能力，發(fā)現(xiàn)適合自己有效的學(xué)習(xí)方法，在數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)中不斷反思，將日常習(xí)題中出現(xiàn)的問(wèn)題元素運(yùn)用到解答的過(guò)程中，不遺漏教師講過(guò)的每一個(gè)知識(shí)重點(diǎn)，自己準(zhǔn)備一個(gè)錯(cuò)題本，專門用來(lái)記錄數(shù)學(xué)錯(cuò)題，對(duì)于日常練習(xí)和考試時(shí)出現(xiàn)的重點(diǎn)例題和自己的缺陷問(wèn)題，都要做好記錄，甚至老師在課題中提及到的往年真題題型，都要認(rèn)真做好課堂筆記，經(jīng)常鞏固和復(fù)習(xí)，才能達(dá)到記錄筆記的良好效果，才能幫助我們自己不斷提高.數(shù)學(xué)的許多知識(shí)結(jié)構(gòu)框架，包含了一元函數(shù)之間的換元、三角函數(shù)之間的數(shù)形結(jié)合、圓錐曲線之間的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化、高中數(shù)學(xué)復(fù)雜三角函數(shù)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化和變形等，都需要我們循序漸進(jìn)的培養(yǎng)自身思維的開闊性，擴(kuò)展自身的實(shí)際能力.

其次，想要解答復(fù)雜的高等三角函數(shù)的例題，我們要學(xué)會(huì)把復(fù)雜的題型從一種復(fù)雜多變的形式向著另外一種適合解答、簡(jiǎn)單而便捷的形式轉(zhuǎn)變，如此才能幫助我們及時(shí)地尋找到公式概念，回想課堂重點(diǎn)，把平時(shí)的學(xué)習(xí)技巧和解答能力充分運(yùn)用到解答過(guò)程中，并且必須通過(guò)不斷的練習(xí)，反復(fù)鉆研和揣摩，選取合適的學(xué)習(xí)素材，找到解答三角函數(shù)例題的突破口，遇到不懂的問(wèn)題及時(shí)向老師和同學(xué)尋求幫助，全方面擴(kuò)展自己的思維能力.

二、豐富日常學(xué)習(xí)的模式和策略，完善三角函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)

三角函數(shù)的解題過(guò)程，實(shí)質(zhì)就是把三角函數(shù)題按定義的內(nèi)容進(jìn)行推理和證明的一系列過(guò)程.我們要豐富日常學(xué)習(xí)的模式和策略，完善三角函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)，不懂的問(wèn)題及時(shí)向老師尋求幫助，讓高中數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單具體，推出我們熟悉和理解的問(wèn)題模式，從而解答.此外，必要的時(shí)候也可以采用“結(jié)合法”，把“正弦函數(shù)”、“余弦函數(shù)”、“正切函數(shù)”等相關(guān)知識(shí)充分聯(lián)系起來(lái)做題，運(yùn)用公式的轉(zhuǎn)化和變形，即通過(guò)構(gòu)思和想象，促進(jìn)自身對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與運(yùn)用，真正透徹的理解各種三角函數(shù)公式變形、靈活的動(dòng)用各種數(shù)學(xué)公式和定理，聯(lián)系教材上的基本原理，把有關(guān)于三角函數(shù)的理論知識(shí)結(jié)合在一起解題，多方位思考，掌握一定的方法和技巧，有效分析，才能達(dá)到高效率的解題效果.

例如，當(dāng)我們?cè)谟龅椒质街泻小?”的情況時(shí)，可以在頭腦中迅速想到公式“sin2x+cos2x=1”把關(guān)于“1”的部分全部轉(zhuǎn)換為余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的結(jié)合體，積極的尋找與該題目相關(guān)聯(lián)的公式，利用和諧化和直觀化的原則，將一些抽象化的問(wèn)題不斷擴(kuò)展，不斷變形，轉(zhuǎn)化為更加直觀和具體的數(shù)學(xué)解答和證明過(guò)程.此外，數(shù)學(xué)中有效值等于1的三角函數(shù)變形公式還有“tanxcotx=1”、“secxcosx=1”等等，我們要對(duì)一些特殊值進(jìn)行理解和記憶，以加快我們的解題效率.還有一些誘導(dǎo)公式與和差化積公式，也能提高我們?nèi)粘＝忸}的效率.比如，sin（-x）=-sinx，cos（-x）=cosx，sin（x）=sin（x+2kπ），sin（a+b）=sinacosb+cosasinb等，其中一些重要的三角函數(shù)圖像，也要合理的掌握和運(yùn)用，例如，正弦函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)，余弦函數(shù)y=cosx是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱.涉及到三角函數(shù)的知識(shí)，許多證明題和應(yīng)用題比較復(fù)雜，這個(gè)時(shí)候，我們可以利用圖像和公式相結(jié)合的方法，提高解題效率，真正做到學(xué)以致用，把數(shù)學(xué)命題中的邏輯推理、公式和圖像圖形、理論概念、邏輯結(jié)構(gòu)層面等多種層面結(jié)合在一起思考，從本質(zhì)的角度看待問(wèn)題，擴(kuò)展自身的想象力，通過(guò)畫圖像的形式，轉(zhuǎn)化題目?jī)?nèi)容.

三、引入多元化的三角函數(shù)知識(shí)例題，提升自己的解題效率

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，我們要以身作則，不能放松自己，因?yàn)閿?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需要我們不斷積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，整理適合自己的學(xué)習(xí)計(jì)劃，制定長(zhǎng)期而有效的學(xué)習(xí)目標(biāo)，并向著目標(biāo)不斷努力奮進(jìn).最重要的是，高中三角函數(shù)的公式定理是復(fù)雜多變的，往往會(huì)涉及到許多我們沒有見過(guò)、沒有接觸過(guò)的題型和例題，這時(shí)我們一定要牢記公式定理，整理整道題的思路，認(rèn)真閱讀題目，可以根據(jù)“定義法”的步驟來(lái)進(jìn)行解答，也可以采用轉(zhuǎn)化思想，聯(lián)想其他的公式定理，活學(xué)活用，經(jīng)常理解記憶，引入多元化的三角函數(shù)知識(shí)例題，提升自己的解題效率，做學(xué)習(xí)的主人.在解答三角函數(shù)例題時(shí)，一定要“專題專用”，不能胡亂的“投機(jī)取巧”，而且要注意公式的遷移和運(yùn)用，不能只停留在單一的解題形式中.

比如，已知一個(gè)含有30度角的直角三角形，該角兩邊的長(zhǎng)度分別為12和6，其中12為斜邊，求解該角的正切值，在求值的過(guò)程中，我們可以活學(xué)活用，雖然不知道另一條直角邊的長(zhǎng)度，但可以通過(guò)三角函數(shù)的特殊值求解.因?yàn)檎液瘮?shù)等于該角所對(duì)的邊比上斜邊，而正切函數(shù)等于正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的比值，我們就可以很好的轉(zhuǎn)換求解過(guò)程.對(duì)于一些三角函數(shù)的特殊值，我們可以在筆記本中列出一個(gè)詳細(xì)的查詢表，方便日常的理解和記憶.

我們要注重日常的三角函數(shù)例題，這些例題不僅能加深我們自身對(duì)三角函數(shù)的理解和運(yùn)用，同時(shí)還能幫助我們復(fù)習(xí)其他相關(guān)的數(shù)學(xué)公式和定理，進(jìn)一步加深理解和記憶，所以我們一定要引入多元化的三角函數(shù)知識(shí)例題，提升自己的解題效率.反復(fù)總結(jié)，做好筆記，認(rèn)真思考，養(yǎng)成良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.尋求多種多樣的三角函數(shù)解題策略，從不同的角度進(jìn)行思考和討論，必要的時(shí)候利用幾何思維來(lái)進(jìn)行求解，這樣有助于提升我們的解題效率，借助圖像觀察函數(shù)的具體走向和關(guān)鍵點(diǎn)，并根據(jù)問(wèn)題的條件，合理利用多元化的思想，找到解題的突破口，從單一的思維模式中解放出來(lái)，養(yǎng)成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好習(xí)慣，強(qiáng)有力的訓(xùn)練自身的實(shí)際能力，發(fā)自內(nèi)心的體會(huì)數(shù)學(xué)各種理論形成的源頭，合理利用直覺猜想，學(xué)以致用，舉一反三，真正提高自己在三角函數(shù)方面的解題能力.

總而言之，高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)是一個(gè)復(fù)雜的學(xué)習(xí)內(nèi)容，需要我們動(dòng)腦思考，進(jìn)行不斷的訓(xùn)練和總結(jié)，提高自身的理解能力，通過(guò)日常的訓(xùn)練，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)方法的運(yùn)用，注重三角函數(shù)的概念和公式，加強(qiáng)例題的解答過(guò)程，并不斷豐富日常學(xué)習(xí)的模式和策略，完善三角函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)，綜合引入多元化的三角函數(shù)知識(shí)例題，提升自己的解題效率，全面提高和發(fā)展.J