談談構造法的應用

☉江蘇省江陰市要塞中學 陳 舟

數(shù)學學科是我們高中生必須要重點學習的科目之一，并且在高考中具有十分重要的地位，對我們最終的高考成績有著舉足輕重的作用.解決數(shù)學問題需要同學們具有足夠的分析能力、想象能力、思考能力和計算能力，在這個基礎上，如果我們還能夠掌握一定的解題方法，如“構造法”，就能夠更加快速地解決一些較為棘手的數(shù)學問題.

一、構造法在高中數(shù)學學習中的價值

學習高中數(shù)學對于很多同學來說都是很困難的.故而為了有效提高我們在考試中的解題速度和準確程度，大家一定要掌握一定的解題技巧和方法，這有助于我們在考試中有好的發(fā)揮.構造法在高中階段的數(shù)學問題中具有十分重要的作用和價值.構造法在高中階段的解題過程中，最重要的作用就是能夠?qū)⒕哂袑嶋H作用的“未知條件”轉(zhuǎn)化為能夠進行計算、推理的“已知條件”，也就是一種類似于化歸思想的解題方法.數(shù)學中的數(shù)和形是兩種相輔相成、共同作用且不可分割的兩部分，在解決數(shù)學問題的過程中，利用構造法解決問題能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學問題轉(zhuǎn)變?yōu)楦又庇^的圖形、數(shù)學關系等，將已知量和未知量更加準確的、直接的展現(xiàn)出來，構造法不僅可以利用這種數(shù)形結合的方法進行解題，還能夠借助數(shù)學過程中其他的一些方法，例如向量、不等式、函數(shù)等等進行解題，通過構造向量、函數(shù)或是方程組等等，解答數(shù)學問題，幫助我們能夠更加有效地解題.

構造法在高中階段的數(shù)學學習過程中，是我們必須要掌握的一個學習方法，它幫助我們能夠多角度、多方面地進行思考，提高我們的數(shù)學成績.從基本的構造法來說，最常使用的是構造一些輔助函數(shù)法、構造圖形法、構造數(shù)列法、構造方程法、向量法等，這些內(nèi)容都是高中階段十分重要的數(shù)學知識，常常作為分值較高的綜合題目在考試中出現(xiàn).方程、不等式等對于我們來說是十分熟悉的，因為我們從小學數(shù)學學習中就接觸到了方程，將抽象的數(shù)學題目轉(zhuǎn)變?yōu)榕c方程、不等式有關的題目能夠更好地幫助我們找到題目的切入點.在利用構造法解決數(shù)學問題的時候，我們一定要深入的分析題目給出的數(shù)量關系、結構特點等等，找到各個已知量、未知量之間的關系，讓數(shù)學問題變得更加具體和簡單.

二、構造法在高中數(shù)學學習中的應用

（一）構造法在不等式中的應用

不等式的構造對于綜合類型的數(shù)學題目來說具有十分重要的作用，尤其是在難度最高的圓錐曲線的學習過程中，我們通過構造不等式，可以更加具有針對性的解決問題.多數(shù)情況下，不等式法是一個較為直接、簡便的方法.當拿到一個可以利用不等式解決的數(shù)學問題時，我們先要分析題目中要考察的知識點，然后再根據(jù)題目給出的實際條件進行分析，找到其中的等量條件，從而挖掘出題目中蘊含的隱藏信息.例如，已知直線L經(jīng)過了一個定點，P的坐標為（0，3），并且這條直線L與橢圓相交于兩點，分別為M、N，已知橢圓表達式為4x2+9y2=36，求線段MP與PN的比值的取值范圍.這一題是較為開放的題目，計算取值范圍的題目對于我們來說難度較高，要想利用構造不等式的方法進行解題，我們首先就要對題目給出的信息進行分析.我們可以得到，這一類求得取值范圍的題目通過不等式的構造方法首先要考慮帶入判別式的取值以及具體的判別式的設計，我們能夠確定的第一個不等式是利用判別式的非負性得到的，假設線段MP與PN的比值為K，首先K的值一定是大于等于0的.我們可以列出第一個表達式，因為該直線經(jīng)過點P（0，3）即可得到該直線L的表達式為：y=kx+3，然后我們可以將這一個表達式與橢圓的表達式：4x2+9y2=36聯(lián)立，得到一個表達式：（9k2+4）x2+54kx+45=0，通過這個一元二次方程解答得出答案.除了構造不等式的方法之外，對于這種求解取值范圍的題目，我們還可以利用函數(shù)的性質(zhì)、均值不等式等數(shù)學方法進行嘗試，尤其是在與圓錐曲線有關的題目中，利用構造法解決問題能夠大大提高我們的解題速度.

（二）構造法在方程中的應用

方程對于我們來說并不陌生，甚至有一種親切的感覺.所謂的方程，就是一些含有未知數(shù)的等式，方程解出得到的值，也就是這些未知數(shù)的答案.在一些較難的數(shù)學問題中，隱藏著許多未知的條件，這個時候為了能夠更好的理清楚我們解題的思路，避免進行逆向思維，我們就可以采取列方程的方法，將一些未知的數(shù)據(jù)用符號表示，然后將其套入已知的數(shù)學公式中，能夠在很大程度上簡化我們的運算步驟，變復雜為簡單.在大部分的情況下，我們只需要運用初中的知識就能夠構造出一個完整的方程.構造方程便于我們更好地解決問題，開拓思路，鍛煉我們的綜合解題能力.例如，求證等式：（m-n）2-4（n-x）（x-m）=0中出現(xiàn)的三個未知數(shù)：m、x、n是一個等差數(shù)列.在初次看到這個問題時，我們分析題目能夠發(fā)現(xiàn)，如果按照題目的思路，從正面進行如突破是很難找到切入點的，因此我們就可以利用構造方程的方式進行解決.利用求根公式的未知數(shù)代入，我們可以構造一個方程：（n-x）t2+（m-n）t+（x-m）=0，我們可以設這個等式為w，即在這道題中w=0.這樣這個方程就變成了包含一個未知量的一元二次方程，再根據(jù)韋達定理，我們能夠很輕松地得到一個關系等式：m+n=2x，這符合等差定數(shù)列的定理，即可證明m、x、n是等差數(shù)列.從這道題中，我們可以看出，即使不從正面解答出題目中各個未知量的實際值，僅通過構造方程的形式，將未知量變?yōu)橐阎浚砑有碌奈粗课覀兙湍苡酶俚臅r間，得出題目需要的結論.

（三）構造法在幾何中的應用

幾何圖形可以說是數(shù)學學習過程中最吸引我們、最具有視覺效果的部分，幾何圖形能夠十分直觀地表達出各個數(shù)據(jù)之間的關系，利用幾何圖形，我們也能夠把其他的數(shù)學符號、關系等簡單地表達出來，在幾何圖形中應用構造法能夠?qū)?shù)學問題變得更加直觀、具體.例如，在進行一些不等式的證明時：已知0＜n＜m，試著證明（m2-n2）+（2mn-n2）＞m2.我們就能夠構建幾何圖形，將題目中給出的條件轉(zhuǎn)變成一個直角三角形，因為題目中的條件：與直角三角形三邊的關系類似，我們就可以將這個不等式中的三個部分：m2-n2、2mn-n2、m2套入到直角三角形的關系中來.構造一個簡單的直角三角形MNO，MN長度為m，NO長度為n，角O的大小為90度.這樣一來，我們的思路就變得非常清晰，只需要通過直角三角形的特殊性質(zhì)就能夠驗證，將十分抽象復雜的不等式問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€直觀的幾何圖形問題，很好的將數(shù)形結合落實到位，綜合地利用了多方面的知識高效的解決數(shù)學問題.同時，利用這樣巧妙的方法解決問題也能夠在很大程度上提高我們的自信心，更好地備戰(zhàn)高考.

構造法是一種較為常見的具有創(chuàng)造性的解題方法，我們可以充分利用高中學習過的知識，如數(shù)列、幾何、方程、函數(shù)等進行綜合的應用.在日常的練習過程中我們要開拓思路，探究構造法的多角度解題思路，培養(yǎng)自己的創(chuàng)造性和靈活性，增強知識的綜合運用能力，確保我們能夠在考試中熟練地運用構造法解決數(shù)學問題，這對于我們數(shù)學學科的學習具有十分重要的作用.J