高中數(shù)學(xué)證明題的解答策略

☉江蘇省蘇州第十中學(xué)校 項冠煒

數(shù)學(xué)證明作為高考數(shù)學(xué)中必考題目，對學(xué)生的邏輯思維能力要求非常高，同時需要學(xué)生有較強的計算求解能力、推理論證能力，所以很多學(xué)生在面對高中數(shù)學(xué)證明題目時會出現(xiàn)多種多樣的障礙.非常多的學(xué)生可以非常熟練地記住完整的數(shù)學(xué)概念及相關(guān)的定理和公式，甚至也清楚記得曾經(jīng)解答過的證明題的解題步驟，但在遇到新題時，卻依然不會做，究其本質(zhì)，學(xué)生雖然接觸了多種多樣的證明題，卻沒有真正獲得數(shù)學(xué)的思考能力和解決問題能力，導(dǎo)致不會靈活采用證明解答中的方法和方式，所以學(xué)生自身對證明題的解題方法和思維進行一定的研究是非常重要的.

一、綜合知識法

首先，證明題都是比較綜合的題目，涉及的方面非常廣，所以也需要學(xué)生具有比較全面的知識系統(tǒng)，才能完美解決相關(guān)問題.綜合法是高中數(shù)學(xué)中非常常見的證明方法，是一種三段式的演繹方法，主要是根據(jù)題目條件來進行順推，或者是找到題干上的“因”，來導(dǎo)入相關(guān)的“果”的過程.這種方法是從一種已知狀態(tài)到未知的邏輯，學(xué)生要從題目中涉及到的已知條件出發(fā)，進行一系列的推導(dǎo)過程，最后導(dǎo)出結(jié)論，來表明其的真實性和可靠性.一般在證明題中都會用上著名的符號“∵（因為）”、“∴（所以）”或者“→”.

比如，在例題中：已知x、y、z為三個不全部相同的實數(shù)，請證明：x4+y4+z4＞xyz（x+y+z）.通過觀察，我們首先認識到這是一道代數(shù)不等式證明題，并且看到x4+y4+z4等式子，根據(jù)不等式定理可以得到x4+y4≥2x2y2，x4+z4≥2x2z2等，又因為x、y、z是三個不全部相等的實數(shù)，所以得到上面三個式子中有一個式子是不能夠取到等號的，所以得出x4+y4+z4＞x2y2+x2z2+y2z2，而又由x2y2+y2z2≥2xy2z，x2z2+y2z2≥2xyz2，所以很容易就得出x4+y4+z4＞xyz（x+y+z）.在整道題目的證明過程中，學(xué)生需要仔細觀察，題目的開始用到了著名不等式x4+y4≥2x2y2，從這個不等式出發(fā)，根據(jù)知識和已知條件來推出想要證明的結(jié)論.學(xué)生要學(xué)會從證明的結(jié)果來對整道證明題進行分析，利用條件來完成證明過程.需要學(xué)生注意的是，某些題目有多個證明題，學(xué)生要學(xué)會觀察各個問題間的聯(lián)系，并且對條件進行逆推或者順推，采用這兩種方式結(jié)合，來對證明題進行解答.比如想要證明面面垂直，就需要找到線面垂直、線線垂直等條件.

二、分析法

分析法也是在高中數(shù)學(xué)證明題中常用的一種方法，它是一種逆證法，需要學(xué)生體驗從未知到已知的過程，需要學(xué)生具備一定的邏輯.簡單來說分析法在使用的過程中，學(xué)生要假設(shè)題目中需要證明的命題是正確的，然后再推出能夠保證這個結(jié)論充分成立的結(jié)果，而且這些結(jié)論一定是已知的定理、已證的命題或者是題目中早就給出的條件.另外，還有一些證明題中出現(xiàn)信息量非常多的情況，大多數(shù)學(xué)生會覺得非常困難，毫無解題的頭緒，從而不能夠有效將題目中的信息進行消化，所以學(xué)生還應(yīng)該積極根據(jù)題干中所給出的結(jié)論來找到滿足結(jié)論存在的條件，然后再層層分析和展開，讓所需要證明的目標越來越清晰和簡單.充分利用結(jié)論，結(jié)合條件，分析要想該結(jié)論成立還需什么條件，有時候還需要學(xué)生具備畫圖作輔助線的意識.采用分析法進行證明解題，可以促進學(xué)生從多種方面來思考問題，從而探索解題的方法，拓寬解題的思路.需要學(xué)生注意的是，分析法并不是由命題的結(jié)論來證明前提條件.一般利用分析法來解決證明題時，常用的規(guī)范格式是：“要證明……只需要……”或者是符號“←”.

三、反證法

我們都接觸過反證法，這種方法是非常常用的一種間接證明方法，如果在解決證明題的過程中，采用直接證明的方式遇到阻礙時，可以考慮采用反證法.一般學(xué)生采用反證法時，需要進行以下標準解題證明步驟：（1）反設(shè)，即假設(shè)題目中要求證明的結(jié)論不成立，設(shè)其否定命題成立；（2）歸謬，即將假設(shè)成立的否定命題作為已知條件，從這個結(jié)論出發(fā)，通過正確的推理思路和過程，導(dǎo)出和題目中的已知條件、已經(jīng)證明出來的定理、明確的事實相反且產(chǎn)生矛盾；（3）結(jié)論，即證明出假設(shè)錯誤，假設(shè)和已知事實存在明顯的矛盾，從而假設(shè)結(jié)論是不存在的，所以否定命題不存在，間接肯定了結(jié)論的成立.

比如，已知a、b、c都在（0，1）這個區(qū)間上，請證明（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中，最少有一個小于或者等于.在本題中，如果要完成證明，就需要分別證明三個式子是否存在小于或者等于的情況，而利用反證法證明：假設(shè)三個式子同時都大于，此題就容易表達很多.因為0＜a＜1，所以1-a＞0，而通過著名的不等式結(jié)論可以得出：，而對于b和c，同理可得相同的式子，三個式子相加得到設(shè)矛盾，從而原命題成立.反證法是高考考查的重點和熱點，學(xué)生要學(xué)會掌握反證法的使用，并且能夠認識反證法的使用情況，從而保證解題的效率和正確性.

四、數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法是一種用來證明和正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，這種方法的使用非常容易識別，也有固定的書寫步驟.一般是由一系列有限的特殊事例得出結(jié)論的推理方法.證明的書寫過程如下：（1）求出n取第一個值時，證明相關(guān)命題是成立的.（2）假設(shè)當n取第k個值時，命題成立，其中k屬于正整數(shù)，k是大于或者等于0的，并且也證明當n取第k+1個值時，命題同樣成立，所以證得這個命題對k取任意值都成立.采用這種方法時，學(xué)生需要清楚，驗證是整個證明過程的基礎(chǔ)條件，最為關(guān)鍵是對式子進行遞推，再在其中尋找遞推關(guān)系.

如下面例題：證明式子（3n+1）·7n-1能夠被9整除.利用數(shù)學(xué)歸納法，首先，當n等于1的時候，原式等于4×7-1=27，可以被9整除，命題初步成立；其次，假設(shè)當n取k值時，命題成立，所以（3k+1）·7k-1能夠被9整除；當n為k+1時，原式等于（3k+4）·7k+1-1=［（3k+1）·7k-1］+18k·7k+27·7k，由歸納假設(shè)（3k+1）·7k-1可以被9整除，因為18k·7k+27·7k能夠被整除，所以（3k+4）·7k+1-1也可以，所以當n=k+1時，命題同樣也成立.這種題目在解讀的過程中，可以明顯發(fā)現(xiàn)需要用數(shù)學(xué)歸納法，所以可以按照數(shù)學(xué)歸納法的固定步驟來進行假設(shè)，從而證明該結(jié)論.此方法關(guān)鍵就是在由已知推向未知的過程中，對式子進行變形時，要善于找出式子之間的聯(lián)系.

總的來說，數(shù)學(xué)的證明題彰顯了數(shù)學(xué)嚴密性的特征，所以學(xué)生在解決相關(guān)的證明題目時，一定要保證嚴密性和完整性.在訓(xùn)練證明題目的解答過程中，也可以很好的培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的思維發(fā)散能力、邏輯思維能力、解決問題能力，還可以提高學(xué)生對問題進行分析和探索的能力.一個結(jié)論的證明，其證明思路和過程都不是單一的，上文筆者提到的都是比較基礎(chǔ)的方式.學(xué)生要想真正掌握證明策略，還需要對大量的數(shù)學(xué)理論和定理進行反復(fù)證明實踐，從而明確每種類型證明題的解題思路，使用正確的證明方法，并能舉一反三，獲得良好的學(xué)習效果.J