數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)也要落實(shí)“四基”
——以“鴿巢原理”為例

湖北省紅安縣覓兒寺鎮(zhèn)明德小學(xué) 祝偉國(guó)

課標(biāo)著重突出“四基”理念，即注重基本數(shù)學(xué)知識(shí)、基本數(shù)學(xué)技能、基本數(shù)學(xué)思想方法、基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)。按照這一施教綱領(lǐng)，怎樣設(shè)計(jì)鴿巢原理教程，教材怎么編排，值得研討。

一、枚舉法無(wú)法驗(yàn)證鴿巢原理

首先，在人教版教材六年級(jí)“數(shù)學(xué)廣角”主題頁(yè)，直接呈示“鉛筆盒放鉛筆”的情景，摒棄“抽屜原理”的提法，令人不解。事實(shí)上，抽屜原理又稱鴿巢原理，屬于一種數(shù)字邏輯推理問(wèn)題。它是一種抽象的數(shù)理概念，并非指向性較明確具體的個(gè)案。演變到今天，已經(jīng)成為數(shù)學(xué)界的一個(gè)分支領(lǐng)域，成為人們津津樂(lè)道的話題。刪除“原理”二字，就大大削弱了其專業(yè)性和嚴(yán)肅性。

其次，要探究鴿巢原理，教材應(yīng)凸顯的側(cè)重點(diǎn)所在：究竟是當(dāng)作狹隘的個(gè)案“知識(shí)”呈現(xiàn)，還是以一種寬泛的抽象的數(shù)學(xué)思想面貌出現(xiàn)？

按照現(xiàn)有模式，仍舊將其視作一種狹義的題型加以呈現(xiàn)。展現(xiàn)的程序是：給出存放鉛筆情景、揭示答案、枚舉法證實(shí)，最后歸納為“還可以這樣想？”

這里，把鴿巢原理的大理論截取成一個(gè)“問(wèn)題解決”的個(gè)案，于是直接揭示底牌。最不當(dāng)?shù)氖怯妹杜e法來(lái)立論。然而，鴿巢原理并非靠枚舉法就可以證實(shí)其科學(xué)性的，這樣也無(wú)法令人信服。鴿巢原理令人信服的理由恰恰是嚴(yán)密的邏輯推理。

現(xiàn)在，不妨將上述設(shè)計(jì)程序顛倒時(shí)序，按照“四基”標(biāo)準(zhǔn)重排。

標(biāo)題：鴿巢原理

●將4只信鴿放入3個(gè)鴿籠里，是不是必然有一個(gè)鴿籠里至少關(guān)入2只鴿子呢？

●李強(qiáng)說(shuō)：“我來(lái)模擬試試看。”

●劉明說(shuō)：“不必模擬試驗(yàn)，我就能斷言，必定有一個(gè)鴿籠里至少關(guān)入2只鴿子。”

●這是為什么？

●因?yàn)轼澴訑?shù)比鴿籠數(shù)多一個(gè)。我們按違背意志的極端情勢(shì)推理，也就是俗話說(shuō)的最壞打算，如果鴿子盡量避開(kāi)同籠，極端情況就是一個(gè)籠子一只鴿子，這樣三只鴿子最大限度占有了鴿籠，每一個(gè)鴿籠里都只關(guān)入1只鴿子，最多放3只鴿子，那么剩下1只鴿子，還是要放到三個(gè)鴿籠的某一個(gè)，但無(wú)論是放進(jìn)哪一個(gè)，就達(dá)到極限值——2只鴿子進(jìn)入一個(gè)籠子。

●小胖說(shuō)：“是的，我用的枚舉法。劉明說(shuō)得沒(méi)錯(cuò)。”

●歸納：把 N只鴿子關(guān)進(jìn)M個(gè)鴿籠里，那么必然有某個(gè)鴿籠中至少關(guān)押著2只鴿子。

改動(dòng)后的設(shè)計(jì)，突出原理的邏輯性，推理程序的嚴(yán)密價(jià)值得以體現(xiàn)。

二、基于邏輯推理指導(dǎo)的數(shù)學(xué)活動(dòng)

接著，還能開(kāi)展如下的探究活動(dòng)：

標(biāo)題：探究活動(dòng)

活動(dòng)1：現(xiàn)在有102只鴿子，要關(guān)入100個(gè)鴿籠里，尋思是否必然在某個(gè)鴿籠里有2只以上的信鴿？有必要把所有情況都一一枚舉嗎？怎樣坐實(shí)你的答案？你能確定哪一只鴿籠里的鴿子數(shù)是2嗎？

活動(dòng)2：某醫(yī)院婦產(chǎn)科一年接生400名嬰兒，問(wèn)是否會(huì)有兩個(gè)嬰兒是同一天降生？

（分組討論，匯報(bào)總結(jié)。）(這是課本里的一個(gè)習(xí)題，不妨作為課堂活動(dòng)讓學(xué)生研討。)

這項(xiàng)基本活動(dòng)是舉足輕重的，事實(shí)上，活動(dòng)1創(chuàng)制的方式可以千變?nèi)f化，不一而足，但是，通過(guò)嚴(yán)密的合情推理可以得出令人信服的結(jié)論。后續(xù)兩個(gè)追問(wèn)，是要確認(rèn)鴿巢原理是抽象的定性推定，只能將事態(tài)結(jié)果預(yù)測(cè)在一個(gè)相對(duì)較小的范疇里，即其中有一個(gè)鴿籠里至少有2只鴿子，卻無(wú)法預(yù)測(cè)出精確結(jié)果——不知道究竟是幾號(hào)鴿籠。也只能推斷出某個(gè)鴿籠里的鴿子至少是2只，卻不能確信是否超過(guò)2只。也許102只鴿子全部擠在一個(gè)鴿籠里。活動(dòng)2看似很粗放，無(wú)法下手，卻能得出確切結(jié)論。理性的力量令人嘆為觀止。經(jīng)歷此類數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并將邏輯推理的體驗(yàn)內(nèi)化為一種思想方法，學(xué)生會(huì)受益無(wú)窮。

三、數(shù)學(xué)理論辨析

重新定義和解讀現(xiàn)代數(shù)學(xué)的意蘊(yùn)，也許可以為編寫(xiě)教材做一些思想貢獻(xiàn)。

數(shù)學(xué)中有許多推定存在性的定理，它能確定某些對(duì)象的存在，卻不能具體鎖定位置。最有名的當(dāng)推代數(shù)基本定理：任何一個(gè)非零的一元n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，都正好有n個(gè)復(fù)數(shù)根。但定理只能推論出根的存在，卻無(wú)法推出怎么求根，更無(wú)法給出求根公式。另一種定理則相反，比如“雞兔同籠”解題法則，不僅可以預(yù)判是否有解，而且按照既定的法則，可以精確鎖定具體結(jié)果，即“構(gòu)造”出來(lái)。此類命題稱為構(gòu)造性結(jié)論。東方古典數(shù)學(xué)，擅長(zhǎng)用窮舉法得出“鐵證”。

其實(shí)，存在性定理的精辟闡述，中國(guó)古典詩(shī)詞中不乏其蹤跡。如賈島的名作《尋隱者不遇》言道：“松下問(wèn)童子，言師采藥去。只在此山中 云深不知處。”詩(shī)中斷言藥師定在山中，但只是無(wú)法確定具體位置。

20世紀(jì)以來(lái)，數(shù)理邏輯勢(shì)頭生猛。誕生了兩個(gè)偉大的邏輯聯(lián)結(jié)詞，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的影響巨大。一個(gè)是全稱量詞“任意一個(gè)”（?）；一個(gè)是存在量詞“存在一個(gè)”（∈）。鴿巢原理要用到存在量詞∈。教材里有“必然有一個(gè)”的表述，實(shí)際上就是存在一個(gè)鴿巢。為了表達(dá)專業(yè)化，倡導(dǎo)多用“存在一個(gè)”的提法。