數學教材編寫也要落實“四基”
——以“鴿巢原理”為例

湖北省紅安縣覓兒寺鎮明德小學 祝偉國

課標著重突出“四基”理念，即注重基本數學知識、基本數學技能、基本數學思想方法、基本數學活動經驗的教學。按照這一施教綱領，怎樣設計鴿巢原理教程，教材怎么編排，值得研討。

一、枚舉法無法驗證鴿巢原理

首先，在人教版教材六年級“數學廣角”主題頁，直接呈示“鉛筆盒放鉛筆”的情景，摒棄“抽屜原理”的提法，令人不解。事實上，抽屜原理又稱鴿巢原理，屬于一種數字邏輯推理問題。它是一種抽象的數理概念，并非指向性較明確具體的個案。演變到今天，已經成為數學界的一個分支領域，成為人們津津樂道的話題。刪除“原理”二字，就大大削弱了其專業性和嚴肅性。

其次，要探究鴿巢原理，教材應凸顯的側重點所在：究竟是當作狹隘的個案“知識”呈現，還是以一種寬泛的抽象的數學思想面貌出現？

按照現有模式，仍舊將其視作一種狹義的題型加以呈現。展現的程序是：給出存放鉛筆情景、揭示答案、枚舉法證實，最后歸納為“還可以這樣想？”

這里，把鴿巢原理的大理論截取成一個“問題解決”的個案，于是直接揭示底牌。最不當的是用枚舉法來立論。然而，鴿巢原理并非靠枚舉法就可以證實其科學性的，這樣也無法令人信服。鴿巢原理令人信服的理由恰恰是嚴密的邏輯推理。

現在，不妨將上述設計程序顛倒時序，按照“四基”標準重排。

標題：鴿巢原理

●將4只信鴿放入3個鴿籠里，是不是必然有一個鴿籠里至少關入2只鴿子呢？

●李強說：“我來模擬試試看。”

●劉明說：“不必模擬試驗，我就能斷言，必定有一個鴿籠里至少關入2只鴿子。”

●這是為什么？

●因為鴿子數比鴿籠數多一個。我們按違背意志的極端情勢推理，也就是俗話說的最壞打算，如果鴿子盡量避開同籠，極端情況就是一個籠子一只鴿子，這樣三只鴿子最大限度占有了鴿籠，每一個鴿籠里都只關入1只鴿子，最多放3只鴿子，那么剩下1只鴿子，還是要放到三個鴿籠的某一個，但無論是放進哪一個，就達到極限值——2只鴿子進入一個籠子。

●小胖說：“是的，我用的枚舉法。劉明說得沒錯。”

●歸納：把 N只鴿子關進M個鴿籠里，那么必然有某個鴿籠中至少關押著2只鴿子。

改動后的設計，突出原理的邏輯性，推理程序的嚴密價值得以體現。

二、基于邏輯推理指導的數學活動

接著，還能開展如下的探究活動：

標題：探究活動

活動1：現在有102只鴿子，要關入100個鴿籠里，尋思是否必然在某個鴿籠里有2只以上的信鴿？有必要把所有情況都一一枚舉嗎？怎樣坐實你的答案？你能確定哪一只鴿籠里的鴿子數是2嗎？

活動2：某醫院婦產科一年接生400名嬰兒，問是否會有兩個嬰兒是同一天降生？

（分組討論，匯報總結。）(這是課本里的一個習題，不妨作為課堂活動讓學生研討。)

這項基本活動是舉足輕重的，事實上，活動1創制的方式可以千變萬化，不一而足，但是，通過嚴密的合情推理可以得出令人信服的結論。后續兩個追問，是要確認鴿巢原理是抽象的定性推定，只能將事態結果預測在一個相對較小的范疇里，即其中有一個鴿籠里至少有2只鴿子，卻無法預測出精確結果——不知道究竟是幾號鴿籠。也只能推斷出某個鴿籠里的鴿子至少是2只，卻不能確信是否超過2只。也許102只鴿子全部擠在一個鴿籠里。活動2看似很粗放，無法下手，卻能得出確切結論。理性的力量令人嘆為觀止。經歷此類數學活動經驗，并將邏輯推理的體驗內化為一種思想方法，學生會受益無窮。

三、數學理論辨析

重新定義和解讀現代數學的意蘊，也許可以為編寫教材做一些思想貢獻。

數學中有許多推定存在性的定理，它能確定某些對象的存在，卻不能具體鎖定位置。最有名的當推代數基本定理：任何一個非零的一元n次復系數多項式，都正好有n個復數根。但定理只能推論出根的存在，卻無法推出怎么求根，更無法給出求根公式。另一種定理則相反，比如“雞兔同籠”解題法則，不僅可以預判是否有解，而且按照既定的法則，可以精確鎖定具體結果，即“構造”出來。此類命題稱為構造性結論。東方古典數學，擅長用窮舉法得出“鐵證”。

其實，存在性定理的精辟闡述，中國古典詩詞中不乏其蹤跡。如賈島的名作《尋隱者不遇》言道：“松下問童子，言師采藥去。只在此山中 云深不知處。”詩中斷言藥師定在山中，但只是無法確定具體位置。

20世紀以來，數理邏輯勢頭生猛。誕生了兩個偉大的邏輯聯結詞，對數學教學的影響巨大。一個是全稱量詞“任意一個”（?）；一個是存在量詞“存在一個”（∈）。鴿巢原理要用到存在量詞∈。教材里有“必然有一個”的表述，實際上就是存在一個鴿巢。為了表達專業化，倡導多用“存在一個”的提法。