“疑探并舉”出新知
——以“三疑三探”教改實錄一則為例

王 歡

（安徽省合肥市第十中學，安徽 合肥）

一、“疑探并舉”內涵

“三疑三探”教學模式包括“設疑自探”“解疑各探”“質疑再探”三個環節，通過疑問與探究相結合的教學手段，促進學生學會主動提出問題，獨立思考問題，合作探究問題，同時養成敢于質疑、善于表達、認真傾聽、勇于評價和不斷反思的良好品質和習慣.

二、課堂實錄一則

（一）給出例題，解疑合探

例題 已知曾＞0，贈＞0 且 2曾+8贈-曾贈=0，求曾+贈的最值.

T：思考，盡可能想出更多的解法.

S1：（解法一）由 2曾+8贈-曾贈=0 知

故曾+贈≥10.

T：利用基本不等式求出了最小值，是一種常見的解法，還有疑問嗎？

S2：沒有驗證等號成立條件，當曾=2贈時取等號.

T：S2同學很細心，等號成立條件很重要，這是個容易忽略的地方，需要特別注意.

S3：用基本不等式只能求出最小值，怎么來證明沒有最大值呢？

S4：由知，如果令曾=8，為了滿足等式成立條件，須贈∞+∞，此時（曾+贈）∞+∞，故沒有最大值.

S5：我還想到了另外一種解釋，基本不等式其實就是對勾函數的一種特例，令，可知，此時化成一個關于t的對勾函數，根據函數圖象可知，值域為［18，+∞），即無最大值.

T：這兩位同學分別從兩個角度來說明問題，第一位同學使用了數學中極限的思想，第二位同學對基本不等式的本質，即對勾函數，有很深刻的理解.

S6：我也利用基本不等式解出了這道題目，由 2曾+8贈-曾贈=0 知，進而故求出最小值為16.

T：這位同學用了兩次基本不等式，進而求出最值.

S7：為什么兩種做法得到的答案不同呢？

S8：（馬上回答）他的做法不對，在第一次使用基本不等式等號時成立的條件是2曾=8贈，而第二次是曾=贈，顯然兩者不可能同時滿足，故等號條件無法成立.

T：不錯，利用基本不等式求最值，一定要注意三個基本條件，特別是在多次使用基本不等式的時候，一定要注意等號成立條件是否相同.

S9：（解法二）由 2曾+8贈-曾贈=0 知，（曾-2）（贈-8）=曾贈-2曾-8贈+16=16，故

T：S9同學非常聰明，巧妙地運用了配湊的方法進行求解.配湊法是一種較為高級的方法，需要平時的積累加上一定的靈感.

S10：（解法三）由 2曾+8贈-曾贈=0 知，此時，由曾＞0知曾-8＞-8，故f（曾）∈（-∞，2］∩［18，+∞），無最值.

T：用含有曾的代數式表示贈，進行替換，再利用基本不等式求最值，這也很常用的一種解法，可是得到的答案與前面不妥，他的解法有什么不妥的地方嗎？

S11：我認為他做得不對，當得到時，因為贈＞0，故＞0，從而曾＞8，此時，曾+贈的范圍是［18，+∞），與前兩種解法的答案就一致了.

T：很好，S10同學只看到了題目中曾＞0的條件，而S11同學能看到隱含的條件這也提醒我們在做題的時候要注意挖掘隱含條件.

（二）教師引導，質疑再探

T：以上的第一、第三種解法都是解決此類題目的常用方法，現在請大家回過頭來再看解題方法、過程，勇于提出你的疑問，進而探尋解法背后更加深刻的數學本質.

S12：第一種解法使用的是基本不等式，但是只有一個最值，而且這個最值還需要在等號成立的條件下才能求出，這就為解題帶來了不便，在第一種解法中，可以明顯感覺到這一點，我認為，基本不等式既然源于對勾函數，那么它的數學本質就應該是函數，求此類最值問題，也就轉化為求對應函數在所給區間上的最大值和最小值.

S13：我同意上一位同學的觀點，運用基本不等式求解還有另外一個難點，就是如何配湊成標準形式，這需要一定的技巧，往往不容易想到.

T：以上兩位同學對第一種解法的本質把握得非常到位，需要提醒的一點是S12同學在表述上有點問題，“最值”是函數性質的一個特定名稱，這也提醒我們在學習數學的時候一定要注意語言的嚴謹性.函數思想是貫穿高中數學的一條主線，通過基本不等式這一章的學習，大家需要進一步加強對對勾函數的掌握.

S14：老師，可不可以把所求的代數式曾+贈看作是一個關于兩個變量曾和贈的函數解析式，進而把求曾+贈的范圍轉化為求一個關于兩個變量的函數在定義域上的值域？

T：這位同學提出了一個很大膽的想法，把所求看出函數，也就是f（曾，贈）=曾+贈，這是函數嗎？如果是函數，它又是什么函數呢？

S15：我認為f（曾，贈）=曾+贈是一個關于兩個變量的函數，之前我們學習的都是關于一個變量的函數，叫做一元函數，那么這個就應該是二元函數.

T：很好，有同學已經給出了這種函數的名字，同學們準備如何來研究二元函數呢？

S16：根據以前學習函數的經驗，我認為可以先作出函數的圖象，然后直接找出在給定定義域內函數的值域即可.

T：這是一種很好的思路，只可惜以我們現在的知識還不能直接作出二元函數的圖象，還有同學有其他思路嗎？

S17：學完一元方程，學習二元方程的時候，使用的方法是“消元法”，這種消元的思想可以用來求解二元函數的值域，例如，例題中的第三種做法使用的是代換的方法，將代入f（曾，贈）=曾+贈得到，即轉化為求一元函數f（曾）在［8，+∞）的值域.其數學本質就是消元的思想.

T：很好，這位同學用類比的方法，找到了求解二元函數的一種方法——“消元法”，消元的目的是將二元函數轉化為所熟悉的一元函數來求解.今天，我們首次給出二元函數這個概念，請同學們總結一下，在不等式這一章，還遇到過哪些二元函數的題目呢，又是如何求解的呢？

S18：題目：已知葬≥0，遭≥0，葬+遭=1，求的范圍.解法：通過基本不等式或消元法求解.

S19：題目：已知曾，贈滿足條件的取值范圍.解法：運用幾何意義求解.

T：通過解答同學們給出的題目，我們進一步認識了二元函數，同時也總結出了求解二元函數給定條件求最值問題的三種常用解法，即消元法、基本不等式法和幾何意義法.同學們今后見到有關二元函數問題時，要注意總結做法.在這個題目的三種不同解法中，函數思想作為連接其中的紐帶，使得各種做法之間又相互聯系，使得數學這門課程更加縝密！這也要求同學們在以后的學習中在注重一題多解的同時，也要思考如何多解歸一，體會數學學習的樂趣.

三、小節

認知心理學家認為，創新來自基本的認知過程，就本質而言，創新是廣義的認知，當原認知結構進行內化（推理）時出現斷線（疑問），二者都必須借助質疑、解疑才能重新建構，進而融會貫通，建立新認知結構.

在自由質疑、解疑合探的過程中，一方面，教師更容易發現學生數學認知結構的斷鏈處，從而進行有效的彌補（例如S5同學在使用兩次基本不等式時沒有考慮等號成立條件，暴露出他的認知結構中“未能理解基本不等式的數學本質”的問題）；另一方面，學生對原有認知結構中內容、關系重新審視反思，可能有所發現、創新，從而進行數學知識、結構的重新建構.（例如同學創新性地提出二元函數這個概念，在眾人合力探索之下，總結歸納出求解二元函數條件極值的幾種常見方法）.由此可見，創新始于質疑，終于探索，要想創新必先敢于質疑，想要創新必先勇于探索.“三疑三探”教學模式之所以能夠培養出創新性人才，其本質盡在“疑探并舉”中.