聚焦變式教學(xué) 迸發(fā)思維火花
——高考數(shù)學(xué)題探究

樓雙燕

（浙江省慈溪市慈吉中學(xué)，浙江 慈溪）

縱觀近幾年的高考數(shù)學(xué)試題，可以看出高考數(shù)學(xué)試題加強(qiáng)對(duì)知識(shí)點(diǎn)靈活應(yīng)用的考查，這就要求我們教師平時(shí)要加大對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。如何提高學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生的解題速度、正確率，光靠題海戰(zhàn)術(shù)是不夠的，本人認(rèn)為要注重學(xué)生解題后的反思、點(diǎn)評(píng)，發(fā)揮“一題多變”“一題多解”“多題一解”的變式，打破學(xué)生的傳統(tǒng)解題思想，從全新的角度進(jìn)行分析，找到最佳的解決方案，提高解題效率。

變式教學(xué)注重對(duì)學(xué)生內(nèi)在思維的遞進(jìn)過(guò)程，利用變式教學(xué)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行化歸，是數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中常用的、極其有效的教學(xué)手段，可以讓學(xué)生站在整體的角度，全面地思考問(wèn)題，同時(shí)也有助于培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)思考的意識(shí)。而這些都需要教師在新舊知識(shí)之間做一定的鋪墊，層層遞進(jìn)，使得學(xué)生能一步步地解決問(wèn)題。本文主要對(duì)這三種解題方法及題型的變式進(jìn)行闡述。

一、一題多變之變式

一題多變之變式，就是通過(guò)對(duì)某一題目進(jìn)行條件變化、結(jié)論探索、逆向思考、拓廣變式、推廣應(yīng)用等多角度、多方位的探究，使一個(gè)題目變?yōu)橐活?lèi)題，達(dá)到舉一反三、觸類(lèi)旁通的目的，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)及探索、創(chuàng)新能力。

變式 1：若“∠F1PF2=90°”改成“∠F1PF2=60°”，則 S△F1PF2=__________。

本例題是一個(gè)特殊角90°的問(wèn)題，變式成一般的角度60°，勾股定理就無(wú)法使用了，需要用到橢圓的定義及余弦定理，（2糟）2=

若改成一般橢圓呢？能否既得到一般性的結(jié)論，又具有推廣意義，進(jìn)行了變式2的訓(xùn)練，此時(shí)經(jīng)過(guò)計(jì)算可得出S△F1PF2=遭2tan，再者我們將橢圓變成雙曲線，同樣利用雙曲線的定義及余弦定理得出，從而進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情。

變式4：已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠F1PF2=60°，則橢圓和雙曲線離心率的倒是之和的最大值為_(kāi)______（2014年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題第9題）

點(diǎn)評(píng)：一題多變已歸類(lèi)出一般性的結(jié)論，為了能進(jìn)一步鞏固結(jié)論，又進(jìn)行拓展變式4的訓(xùn)練，使學(xué)生掌握知識(shí)間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。一題多變的題目，重視了同類(lèi)題型的歸類(lèi)總結(jié)，從而避免了盲目的題海訓(xùn)練，使數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)變得輕松而有效率。

二、一題多解之變式

一題多解是指從不同角度，運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)原理、不同的數(shù)學(xué)方法和不同的數(shù)學(xué)思路進(jìn)行解題。

例：已知曾，贈(zèng)∈R+，且 2曾+贈(zèng)=1，則的最小值為_(kāi)_____。

本例題利用基本不等式求最值的一類(lèi)典型例題，學(xué)生也比較容易出錯(cuò)，比如：

2曾+贈(zèng)=1≥，當(dāng)且僅當(dāng)2曾=贈(zèng)時(shí)取到等號(hào)，從而當(dāng)且僅當(dāng)曾=贈(zèng)時(shí)取到等號(hào)，這樣的錯(cuò)誤未考慮兩次均值不等式能否同時(shí)取到等號(hào)。下面從不同方法來(lái)解決此類(lèi)例題。

解法一：“1”的代入

點(diǎn)評(píng)：已知“和”為定值，求“和”的最值問(wèn)題，解題的基本思路是兩者相乘，構(gòu)造基本不等式。

解法二：三角換元法

因?yàn)樵?zèng)∈R+，且 2曾+贈(zèng)=1，所以令 2曾=cos2α，贈(zèng)=sin2α，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)。

點(diǎn)評(píng)：已知“和”為定值，可以借助于 cos2α+sin2α=1，運(yùn)用三角換元法構(gòu)造基本不等式。

解法三：消元構(gòu)造法

因?yàn)樵?zèng)∈R+，且 2曾+贈(zèng)=1，所以曾=1-2贈(zèng)且則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)。

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)解法一、二、三的教學(xué)，可以讓學(xué)生輕松地理解和掌握均值不等式在求最值時(shí)應(yīng)滿足的三個(gè)條件“一正、二定、三相等”。

解法四：整體換元法

又因?yàn)樵?zèng)∈R+，且 2曾+贈(zèng)=1，所以曾=1-2贈(zèng)且

所以t（1-2贈(zèng)）贈(zèng)=1-2贈(zèng)+贈(zèng)

即方程 2t贈(zèng)2-（1+t）贈(zèng)+1=0 在內(nèi)有解。

令f（贈(zèng)）=2t贈(zèng)2-（1+t）贈(zèng)+1，則或，解得的最小值為_(kāi)_____。

在前面我們已經(jīng)用多種方法解決了本例題，在平時(shí)最常用的、最簡(jiǎn)潔的方法還是“1”的代換，可歸納為：已知“和”為定值，求“和”的最值問(wèn)題。為了更好地活用“和”為定值的條件，在教學(xué)中可以給出變式，達(dá)到舉一反三的效果。

變式 1:已知曾，贈(zèng)∈R+，且

點(diǎn)評(píng)：整體換元的解題基本思路是運(yùn)用函數(shù)的思想方法，求某個(gè)量的最值就可看成關(guān)于某個(gè)自變量的函數(shù)，如果變量較多，就采取消元的思想進(jìn)行降元。

開(kāi)展一題多解，有利于培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，鞏固數(shù)學(xué)思想方法的滲透，挖掘例題的內(nèi)涵，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，使不同層次的學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力都得到提高，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。但一題多解的最終目的不是展示多少種方法，而是尋找一種最佳、最簡(jiǎn)潔的方法。

三、多題一解之變式

在數(shù)學(xué)解題的實(shí)踐中可以看出，雖有多個(gè)題目，但屬于同一種類(lèi)型，故可用同一種思路或方法來(lái)解決問(wèn)題，即為多題一解。在解題過(guò)程中，為強(qiáng)化某一解題方法，我們將一些不同內(nèi)容的練習(xí)有機(jī)串聯(lián)起來(lái)，編成一組，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察，讓學(xué)生用同一種方法去解，達(dá)到強(qiáng)化訓(xùn)練的目的，提高學(xué)生的化歸能力，使零碎的知識(shí)整合成一個(gè)有機(jī)的整體，從而提高學(xué)生解題技巧技能和運(yùn)用知識(shí)的能力。

例：已知曾，贈(zèng)∈R+，且 2曾+贈(zèng)=1，則則曾+贈(zèng)的最小值為_(kāi)_____。

變式 2：已知曾，贈(zèng)∈R+，且 9曾+贈(zèng)=曾贈(zèng)，則曾+贈(zèng)的最小值為_(kāi)________。

點(diǎn)評(píng):因?yàn)樵?zèng)∈R+，且 9曾+贈(zèng)=曾贈(zèng)，所以，就回到了變式1，充分挖掘題目中“和”為定值的隱含條件，就迎刃而解。

變式 3：設(shè)葬＞遭＞糟，不等式恒成立，則m的最大值為_(kāi)_____。

點(diǎn)評(píng)：因?yàn)樵幔驹猓驹悖栽?遭＞0，遭-糟＞0，葬-糟＞0，所以變式 3 的原不等式等價(jià)為恒成立的問(wèn)題，當(dāng)且僅當(dāng)，即葬+糟=2遭時(shí)取到等號(hào)，所以m的最大值為4。

變式 4：已知曾，贈(zèng)，z∈R+，且曾+贈(zèng)+z=2，則的最小值為_(kāi)________。

可見(jiàn)，我們?cè)诮虒W(xué)中對(duì)一些典型例題進(jìn)行變式或引申是很有必要的，雖然這里有多個(gè)題目，但都屬于已知“和”為定值，求“和”為最值的問(wèn)題，通過(guò)多解一題的變式，不僅達(dá)到了復(fù)習(xí)鞏固的目的，還可以挖掘?qū)W生思維的深度。同時(shí)我們?cè)诒纠ㄒ阎?zèng)∈R+，且 2曾+贈(zèng)=1，則的最小值為_(kāi)_______）的一題多解的基礎(chǔ)上通過(guò)變式訓(xùn)練，將其解題的思想方法進(jìn)行整理提煉，升華為多題一解，來(lái)提高學(xué)生的探究能力及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

顧泠沅教授曾說(shuō)過(guò)：“變式教學(xué)是我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一大法寶。”變式教學(xué)其實(shí)是一類(lèi)“體系”教學(xué)即教師引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般、由一般到特殊多視野認(rèn)知同一類(lèi)體系的數(shù)學(xué)問(wèn)題的循環(huán)過(guò)程，在數(shù)學(xué)課堂中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用變式教學(xué)可以有效促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解，培養(yǎng)學(xué)生思維的科學(xué)性、深刻性和變通性，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，加深學(xué)生的思維深度，還能提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。變式教學(xué)是將學(xué)生從“題海”中解脫出來(lái)的一種重要途徑，同時(shí)也使學(xué)生在課堂上迸發(fā)了學(xué)習(xí)的思維火花。