在學生的“最近發展區”播種數學思想
——從《平面向量的數量積的計算與簡單應用》課后獲得的啟示

張俊剛

（山西省太原二十中，山西 太原）

蘇聯一位心理學家認為，學生有兩種發展水平：一是學生的現有水平，即由一定的已經完成的發展系統所形成的學生心理機能的發展水平，如學生已經完全掌握了某些概念和規則；二是即將達到的發展水平，表現為“學生還不能獨立地完成任務，但在教師的幫助下，在集體活動中，通過模仿能夠完成這些任務”。這兩種水平之間的距離，就是“最近發展區”。

最近發展區理論強調了教學在學生發展中的主導性、決定性作用，揭示了教學的本質特征不在于“訓練”“強化”業已形成的內部心理機能，而在于激發、形成目前還不存在的心理機能。這一理論啟發我們：教學實際上就是一個搭建腳手架的過程，在腳手架的幫助下，學生能夠跨越新舊發展水平間的距離，在原有的發展水平的基礎上，使自己在問題、知識、方法、思想等方面都能得到發展。

那么，如何立足“最近發展區”進行教學設計呢？前幾日，我給高二會考復習的學生上了一堂課《平面向量的數量積的計算與簡單應用》，課后，各位老師就本節課教師與學生的活動、教與學的效果給予了客觀的評價，本人對本節課也作了認真的反思，對教學中幾個環節的幾點思考作了簡單歸納，愿與各位老師交流。

反思一：教師對學生的提問需具體而且需在學生思維發展的最近區域內

當學生完成前置練習1時，對老師的提問“由此你能發現怎樣的數學事實”感到無所適從，顯然，僅通過做一道練習題讓學生歸納一般性的結論是不合適的，歸納的特點是通過一系列特殊的例子獲得一般性結論。因此，本人就練習修改為如下。

這樣修改后，學生將能再次體會平面向量基本定理的意義和價值，即只要知道了一組基向量的模和夾角，那么就可以求出由這一組基底線性表示的任意兩個向量的數量積。學生在前面學習函數性質、等差數列與等比數列定義時也經歷了由特殊到一般的歸納推理，通過這種引導，可以幫助學生逐步提高思維的抽象性與概括性。

反思二：題目編排要有連貫性，才能使得學生對問題的認識更加清晰、深刻，對方法的掌握更加熟練、靈活，有序建立的知識才是宜于應用的

盡管排題目時，前置練習與例題前后呼應，但數學的抽象性仍然模糊了學生的眼睛，學生的思維并沒有得到真正的發展，因此，應將前置練習與相應例題的距離縮短成題組，所以，在練習1后排例題1的（1）（2），這樣的變式是將已知條件由數轉化為形，從而將陌生問題化為熟悉問題解決，體會數學中的化歸與數形結合思想。另外，通過比較（1）（2）理解點M特殊為月悅中點時的數量積僅與其模有關，而與夾角無關，體會特殊性與普遍性之間的關系，需要學生由形的特征發現數的關系，在練習2后排例題1的（3），這樣，引導學生從數量積的幾何意義出發探究解決問題的途徑，領會數量積的本質，歸納求數量積的方法，形成良好的思維品質，激發學生學習數學的熱情。在練習3后排例題2，這樣可能更合適，如果把練習1中的問題看成正向的問題，那么練習3中的問題則為逆向問題，通過解決練習3，讓學生體會逆向思維受阻時，通過設元轉化為正向問題，表述條件然后通過解方程獲得答案，體會化歸與方程思想。而例2需將形的信息化為數的信息，在練習3的啟發下將條件化為求夾角的問題，對于（2）引導學生將求三角形面積問題化為求夾角的問題，反思練習3與例2，體會數學中的建模思想。

例1：已知在△粵月悅中，

（1）若點M是線段月悅上一點，且，求

（2）若點M是線段月悅的中點，求

（3）若點M是△粵月悅的外心，求

例2：△粵月悅內接于以O為圓心，半徑為1的圓，且

通過分類題型的練習，更加有利于教師引導學生去探究數學問題，而且有利于幫助學生對數學核心概念的深化理解，提升思維水平。

反思三：課堂中需根據學生的實際情況調整課前預設，才能幫助學生建立知識結構

學生較難理解“平面向量的數量積的幾何意義”，究其原因是“平面向量的數量積的幾何意義”的教學不到位，現作如下修改:

1.作前期鋪墊

復習物理學中功的定義:“功”是力與在力的方向上通過的位移的乘積，其中“在力的方向上通過的位移”事實上就是位移在力的方向上的投影，依賴所學過的物理知識，學生不難理解投影的正負，向量的數量積就是兩個量的積，這比定義中三個量的積要簡潔。

2.通過練習，把握概念本質

練習2：已知點M是矩形粵月悅閱的一邊月悅上一點，粵月=2，求的值。

通過上述的復習與練習，考慮學生較易能從向量數量積的視角思考例題1的（3），進而比較與歸納求向量數量積的方法，形成解題能力。

以上內容就是本人關于這節課的點滴思考，越感覺到數學課永遠都是一門遺憾的藝術，在數學課上，教師除了要給學生具體的數學知識外，更重要的是以此為載體傳授一些思想。這里所說的思想，不僅指具體的“數學思想”，還包括意義更廣泛的“研究策略”“行動策略”“哲學思想”等，思想的呈現主要依賴于教師的點撥與提煉，所以，將一些數學思想在學生的最近發展區播種是一種有效策略。