在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”播種數(shù)學(xué)思想
——從《平面向量的數(shù)量積的計(jì)算與簡單應(yīng)用》課后獲得的啟示

張俊剛

（山西省太原二十中，山西 太原）

蘇聯(lián)一位心理學(xué)家認(rèn)為，學(xué)生有兩種發(fā)展水平：一是學(xué)生的現(xiàn)有水平，即由一定的已經(jīng)完成的發(fā)展系統(tǒng)所形成的學(xué)生心理機(jī)能的發(fā)展水平，如學(xué)生已經(jīng)完全掌握了某些概念和規(guī)則；二是即將達(dá)到的發(fā)展水平，表現(xiàn)為“學(xué)生還不能獨(dú)立地完成任務(wù)，但在教師的幫助下，在集體活動(dòng)中，通過模仿能夠完成這些任務(wù)”。這兩種水平之間的距離，就是“最近發(fā)展區(qū)”。

最近發(fā)展區(qū)理論強(qiáng)調(diào)了教學(xué)在學(xué)生發(fā)展中的主導(dǎo)性、決定性作用，揭示了教學(xué)的本質(zhì)特征不在于“訓(xùn)練”“強(qiáng)化”業(yè)已形成的內(nèi)部心理機(jī)能，而在于激發(fā)、形成目前還不存在的心理機(jī)能。這一理論啟發(fā)我們：教學(xué)實(shí)際上就是一個(gè)搭建腳手架的過程，在腳手架的幫助下，學(xué)生能夠跨越新舊發(fā)展水平間的距離，在原有的發(fā)展水平的基礎(chǔ)上，使自己在問題、知識(shí)、方法、思想等方面都能得到發(fā)展。

那么，如何立足“最近發(fā)展區(qū)”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)呢？前幾日，我給高二會(huì)考復(fù)習(xí)的學(xué)生上了一堂課《平面向量的數(shù)量積的計(jì)算與簡單應(yīng)用》，課后，各位老師就本節(jié)課教師與學(xué)生的活動(dòng)、教與學(xué)的效果給予了客觀的評(píng)價(jià)，本人對(duì)本節(jié)課也作了認(rèn)真的反思，對(duì)教學(xué)中幾個(gè)環(huán)節(jié)的幾點(diǎn)思考作了簡單歸納，愿與各位老師交流。

反思一：教師對(duì)學(xué)生的提問需具體而且需在學(xué)生思維發(fā)展的最近區(qū)域內(nèi)

當(dāng)學(xué)生完成前置練習(xí)1時(shí)，對(duì)老師的提問“由此你能發(fā)現(xiàn)怎樣的數(shù)學(xué)事實(shí)”感到無所適從，顯然，僅通過做一道練習(xí)題讓學(xué)生歸納一般性的結(jié)論是不合適的，歸納的特點(diǎn)是通過一系列特殊的例子獲得一般性結(jié)論。因此，本人就練習(xí)修改為如下。

這樣修改后，學(xué)生將能再次體會(huì)平面向量基本定理的意義和價(jià)值，即只要知道了一組基向量的模和夾角，那么就可以求出由這一組基底線性表示的任意兩個(gè)向量的數(shù)量積。學(xué)生在前面學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)、等差數(shù)列與等比數(shù)列定義時(shí)也經(jīng)歷了由特殊到一般的歸納推理，通過這種引導(dǎo)，可以幫助學(xué)生逐步提高思維的抽象性與概括性。

反思二：題目編排要有連貫性，才能使得學(xué)生對(duì)問題的認(rèn)識(shí)更加清晰、深刻，對(duì)方法的掌握更加熟練、靈活，有序建立的知識(shí)才是宜于應(yīng)用的

盡管排題目時(shí)，前置練習(xí)與例題前后呼應(yīng)，但數(shù)學(xué)的抽象性仍然模糊了學(xué)生的眼睛，學(xué)生的思維并沒有得到真正的發(fā)展，因此，應(yīng)將前置練習(xí)與相應(yīng)例題的距離縮短成題組，所以，在練習(xí)1后排例題1的（1）（2），這樣的變式是將已知條件由數(shù)轉(zhuǎn)化為形，從而將陌生問題化為熟悉問題解決，體會(huì)數(shù)學(xué)中的化歸與數(shù)形結(jié)合思想。另外，通過比較（1）（2）理解點(diǎn)M特殊為月悅中點(diǎn)時(shí)的數(shù)量積僅與其模有關(guān)，而與夾角無關(guān)，體會(huì)特殊性與普遍性之間的關(guān)系，需要學(xué)生由形的特征發(fā)現(xiàn)數(shù)的關(guān)系，在練習(xí)2后排例題1的（3），這樣，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)量積的幾何意義出發(fā)探究解決問題的途徑，領(lǐng)會(huì)數(shù)量積的本質(zhì)，歸納求數(shù)量積的方法，形成良好的思維品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。在練習(xí)3后排例題2，這樣可能更合適，如果把練習(xí)1中的問題看成正向的問題，那么練習(xí)3中的問題則為逆向問題，通過解決練習(xí)3，讓學(xué)生體會(huì)逆向思維受阻時(shí)，通過設(shè)元轉(zhuǎn)化為正向問題，表述條件然后通過解方程獲得答案，體會(huì)化歸與方程思想。而例2需將形的信息化為數(shù)的信息，在練習(xí)3的啟發(fā)下將條件化為求夾角的問題，對(duì)于（2）引導(dǎo)學(xué)生將求三角形面積問題化為求夾角的問題，反思練習(xí)3與例2，體會(huì)數(shù)學(xué)中的建模思想。

例1：已知在△粵月悅中，

（1）若點(diǎn)M是線段月悅上一點(diǎn)，且，求

（2）若點(diǎn)M是線段月悅的中點(diǎn)，求

（3）若點(diǎn)M是△粵月悅的外心，求

例2：△粵月悅內(nèi)接于以O(shè)為圓心，半徑為1的圓，且

通過分類題型的練習(xí)，更加有利于教師引導(dǎo)學(xué)生去探究數(shù)學(xué)問題，而且有利于幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)核心概念的深化理解，提升思維水平。

反思三：課堂中需根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況調(diào)整課前預(yù)設(shè)，才能幫助學(xué)生建立知識(shí)結(jié)構(gòu)

學(xué)生較難理解“平面向量的數(shù)量積的幾何意義”，究其原因是“平面向量的數(shù)量積的幾何意義”的教學(xué)不到位，現(xiàn)作如下修改:

1.作前期鋪墊

復(fù)習(xí)物理學(xué)中功的定義:“功”是力與在力的方向上通過的位移的乘積，其中“在力的方向上通過的位移”事實(shí)上就是位移在力的方向上的投影，依賴所學(xué)過的物理知識(shí)，學(xué)生不難理解投影的正負(fù)，向量的數(shù)量積就是兩個(gè)量的積，這比定義中三個(gè)量的積要簡潔。

2.通過練習(xí)，把握概念本質(zhì)

練習(xí)2：已知點(diǎn)M是矩形粵月悅閱的一邊月悅上一點(diǎn)，粵月=2，求的值。

通過上述的復(fù)習(xí)與練習(xí)，考慮學(xué)生較易能從向量數(shù)量積的視角思考例題1的（3），進(jìn)而比較與歸納求向量數(shù)量積的方法，形成解題能力。

以上內(nèi)容就是本人關(guān)于這節(jié)課的點(diǎn)滴思考，越感覺到數(shù)學(xué)課永遠(yuǎn)都是一門遺憾的藝術(shù)，在數(shù)學(xué)課上，教師除了要給學(xué)生具體的數(shù)學(xué)知識(shí)外，更重要的是以此為載體傳授一些思想。這里所說的思想，不僅指具體的“數(shù)學(xué)思想”，還包括意義更廣泛的“研究策略”“行動(dòng)策略”“哲學(xué)思想”等，思想的呈現(xiàn)主要依賴于教師的點(diǎn)撥與提煉，所以，將一些數(shù)學(xué)思想在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)播種是一種有效策略。