巧用零點來解題

劉 輝

（山東省墾利第一中學，山東 東營）

函數y=f（x）在（a，b）上有零點的一個重要條件是f（a）·f（b）＜0，下面就以我們比較熟悉的一元二次函數為例，探討一下如何利用f（a）·f（b）＜0把二次函數的零點（即對應方程的根）限制在某一區域內，為便于討論不妨設a＞0，Δ＞0其余情況可仿此討論.

一、兩個零點都小于某個數

例1 已知二次函數y=2x2+3x-5m有兩個小于1的不同的零點，求m的取值范圍.

分析：二次函數y=2x2+3x-5m的對稱軸為兩個小于1的零點在）上.

y=ax2+bx+c（a≠0）在［a，b］上如果滿足f（a）·f（b）＜0

解：設f（x）=2x2+3x-5m，依題意可得：化簡得解得，即m的取值范圍為

二、兩個零點都大于某個數

例2 關于x的方程x2-x+2a-4=0有兩個不同正根，求a的取值范圍.

分析：方程x2-x+2a-4=0有兩個不同正根就是函數f（x）=x2-x+2a-4有兩個大于0的零點.

解：設f（x）=x2-x+2a-4，則它的對稱軸為，若方程 x2-x+2a-4=0有不相等的兩個正根，只需解得a的取值范圍是

三、兩個零點在某個數的兩側

例3 已知方程x2+2（k-1）x+k+2=0有兩個根，一個根大于1另一個根小于1，求k的取值范圍.

解析：設f（x）=x2+2（k-1）x+k+2，依題意，若使方程x2+2（k-1）x+k+2=0有兩個實根，只需f（1）=12+2（k-1）+k+2=3k+1＜0即可，解得，即k的取值范圍為

四、兩個零點在某一區間內

例4 已知方程x2+x+m=0的兩個不相等的實根都在區間（0,2）內，求m的取值范圍.

解：函數y=x2+x+m的對稱軸是

五、兩個零點在某一區間兩側

例5 已知方程x2+（a-9）x+2a+6=0有兩個實數根，其中一根小于0，另一根大于2，求a的取值范圍.

六、兩個零點在兩個不同的區間內

例6 已知關于x的方程3x2-5x+a=0的一根在（-2，0）內，另一根在（1，3）內.則a在什么范圍內取值？

七、兩個零點只有一個在某一區間內

例7 已知方程x2+（m-3）x+1=0有兩個根，有且只有一個根在區間內（0，2），求m的取值范圍.

解：依題意，可得f（0）·f（2）＜0，即1×（2m-1）＜0，解得m的取值范圍為

一元二次方程的根的分布和系數的關系是一個復雜的問題，需考查根的判別式、對稱軸、端點函數值等，運算量較大。如果從函數有零點的兩個條件出發來考查，就使問題變得簡單，降低運算量，使大家能夠高效、準確算出結果。