巧用零點(diǎn)來解題

劉 輝

（山東省墾利第一中學(xué)，山東 東營）

函數(shù)y=f（x）在（a，b）上有零點(diǎn)的一個(gè)重要條件是f（a）·f（b）＜0，下面就以我們比較熟悉的一元二次函數(shù)為例，探討一下如何利用f（a）·f（b）＜0把二次函數(shù)的零點(diǎn)（即對應(yīng)方程的根）限制在某一區(qū)域內(nèi)，為便于討論不妨設(shè)a＞0，Δ＞0其余情況可仿此討論.

一、兩個(gè)零點(diǎn)都小于某個(gè)數(shù)

例1 已知二次函數(shù)y=2x2+3x-5m有兩個(gè)小于1的不同的零點(diǎn)，求m的取值范圍.

分析：二次函數(shù)y=2x2+3x-5m的對稱軸為兩個(gè)小于1的零點(diǎn)在）上.

y=ax2+bx+c（a≠0）在［a，b］上如果滿足f（a）·f（b）＜0

解：設(shè)f（x）=2x2+3x-5m，依題意可得：化簡得解得，即m的取值范圍為

二、兩個(gè)零點(diǎn)都大于某個(gè)數(shù)

例2 關(guān)于x的方程x2-x+2a-4=0有兩個(gè)不同正根，求a的取值范圍.

分析：方程x2-x+2a-4=0有兩個(gè)不同正根就是函數(shù)f（x）=x2-x+2a-4有兩個(gè)大于0的零點(diǎn).

解：設(shè)f（x）=x2-x+2a-4，則它的對稱軸為，若方程 x2-x+2a-4=0有不相等的兩個(gè)正根，只需解得a的取值范圍是

三、兩個(gè)零點(diǎn)在某個(gè)數(shù)的兩側(cè)

例3 已知方程x2+2（k-1）x+k+2=0有兩個(gè)根，一個(gè)根大于1另一個(gè)根小于1，求k的取值范圍.

解析：設(shè)f（x）=x2+2（k-1）x+k+2，依題意，若使方程x2+2（k-1）x+k+2=0有兩個(gè)實(shí)根，只需f（1）=12+2（k-1）+k+2=3k+1＜0即可，解得，即k的取值范圍為

四、兩個(gè)零點(diǎn)在某一區(qū)間內(nèi)

例4 已知方程x2+x+m=0的兩個(gè)不相等的實(shí)根都在區(qū)間（0,2）內(nèi)，求m的取值范圍.

解：函數(shù)y=x2+x+m的對稱軸是

五、兩個(gè)零點(diǎn)在某一區(qū)間兩側(cè)

例5 已知方程x2+（a-9）x+2a+6=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，其中一根小于0，另一根大于2，求a的取值范圍.

六、兩個(gè)零點(diǎn)在兩個(gè)不同的區(qū)間內(nèi)

例6 已知關(guān)于x的方程3x2-5x+a=0的一根在（-2，0）內(nèi)，另一根在（1，3）內(nèi).則a在什么范圍內(nèi)取值？

七、兩個(gè)零點(diǎn)只有一個(gè)在某一區(qū)間內(nèi)

例7 已知方程x2+（m-3）x+1=0有兩個(gè)根，有且只有一個(gè)根在區(qū)間內(nèi)（0，2），求m的取值范圍.

解：依題意，可得f（0）·f（2）＜0，即1×（2m-1）＜0，解得m的取值范圍為

一元二次方程的根的分布和系數(shù)的關(guān)系是一個(gè)復(fù)雜的問題，需考查根的判別式、對稱軸、端點(diǎn)函數(shù)值等，運(yùn)算量較大。如果從函數(shù)有零點(diǎn)的兩個(gè)條件出發(fā)來考查，就使問題變得簡單，降低運(yùn)算量，使大家能夠高效、準(zhǔn)確算出結(jié)果。