試析中考數學綜合題常見類型

翁為科

（深圳市羅湖高級中學初中部，廣東 深圳）

中考數學中習題開放性主要是指，條件不完善，結論沒有明確同時也不唯一，解法沒有嚴格限制，這樣在解題中學生便留有充分的認知空間。題目在解題中充分體現了創新精神，因此在中考中比例持續加大，現在要求教師對這些開放性習題的類型以及解題策略進行分析研究，引導學生通過分析、比較、猜想等多種思維方式進行探究。

一、中考中的常見數、式題型

為了使學生對中考題目有系統認識，一定要針對性地對常見題型剖析，不斷深化感性認識。

計算類習題，數和式綜合使用。

在此種題目中要先進行簡化，之后求值。

此類計算題，主要是為了考查學生數字和式子之間綜合運算能力，在很多地方中考中都有出現。此類習題為基礎性題目，在計算中重視不夠，便經常會出現各種錯誤；同時涵蓋知識點較多，學生學到的各種數字和式子都有涉及，有任何問題沒有考慮到便會失分。做此種類型題目一定要保證：第一，記熟特殊角三角函數值，同時要掌握好負指數冪以及整數指數冪、二次根式、平方根、絕對值、實數在運算中的順序以及運算法則；第二，掌握好整式加減、乘除、因式分解和通分、約分以及分式之間的乘除運算。在分式化簡中一定要重視x值是否能夠確保分式有意義。

二、中考中的方程以及不等式組、函數綜合問題

例題：為了在長假高峰購物做好準備，運動服裝品牌店主要采購兩類服裝，分別為甲類、乙類。兩種貨物的購買價格和出售價格如下。

運動服裝價格 甲 乙類進價（元/件） m m-20售價（元/件） 240 160

購貨時，貨款中3000元購買甲類服裝的件數和2400元購買乙類服裝數量一樣。

（1）得到m值。

（2）購買甲類和乙類服裝中，200件總利潤一定在21700元之上，同時低于22300元，現在分析在專賣店內一共有哪幾種進貨方式？

（3）在第二條條件中，專賣店要對甲種服裝進行優惠促銷，同時決定對甲類服裝進行優惠a（50＜a＜70）元，乙類服裝售價不變。現在分析專賣店中要想得到最大利潤要使用哪種進貨方式？

解：（1）根據題意可以看出3000/m=2400/m-20，可以得到m=100，在驗證之后可以得到m=100為方程解，因此可以得到m=100。

（2）進購甲類服裝x件，乙類服裝一共（200-x）件，從題意可以看出。

（240-100）x+（160-80）（200-x）≥21700，①

（240-100）x+（160-80）（200-x）≤22300，②

可以得到95≤x≤105。∵x為整數，105-95+1=11，∴會有11種方案。

（3）設總利潤為 w，w=（140-a）x+80（200-x）=（60-a）x+16000（95≤x≤105）。

①中 50＜a＜60 時，60-a＞0，其中 w 隨著 x變大同時變大。專賣店在x=105時可以發現，w中有最大值。因此可以得知，購買甲種服裝105件時，購買乙種衣服為95件。

②在a=60時可以看出，60-a=0，w=16000，可以看出兩種方案獲利都相同。

③在60＜a＜70中，60-a＜0，同時w會隨著x的變大不斷減小，在x=95時w一定有最大值。因此可以購買甲種服裝95件，乙種服裝105件。

這種類型的題為分式方程、一元一次不等式組、一次函數。處理這些問題的關鍵點在于讀懂題意，同時找出描述性詞語，列出所求的不等關系以及等量關系。處理第三問時不僅要將其中的實際問題“利潤”轉變為一次函數，同時也要充分結合一次函數性質，依據一次函數狀況進行分類研究。方程和函數之間相互結合的綜合題，也是考試重點[1]。函數和方程雖然為不同的數學概念，但是相互關聯和滲透，很多方程問題都可以使用函數進行處理，同時也可以使用方程處理函數問題。這些問題關鍵要重視變化和聯系，可以分析抽象的數量特征，實現函數和方程之間的相互裝換，從而起到解決問題的作用。

三、統計和概率綜合

在統計類題中考點主要有抽查、全面調查，平均數、中位數和眾數，這些主要是反映了數據集中性，考試中要考查學生在各種背景中使用各種數代表每種數據，或者統計圖找出數中特征、極差以及方差，兩者主要是反映數據之間的波動，描述穩定性，在對兩組數據進行比較時一般會先觀察平均數，之后才會使用方差。

例題：在方格中，A、B、C、D、E、F都處在正方形頂點。（1）A、D、E、F四點中任意選擇一點，選擇的點主要以B、C作為頂點畫出三角形，求得到等腰三角形的概率。

（2）從 A、D、E、F這四點中任意取兩個點，取得點和 B、C 作為頂點畫出四邊形，計算出可以得到平行四邊形的概率（樹狀圖、列表求解）。

在題中不僅要考查學生使用樹狀圖、列表計算出所有可以得到平行四邊形的概率，同時也要使用概率對等腰三角形進行評判，所考核的知識點綜合性強。在解決這些問題時，不僅自己要學會畫樹狀圖列表得到各種結果和概率，同時也要掌握圖形性質判定知識。

四、二次函數中的綜合問題

二次函數主要是探討具體問題中的數量變化以及在此規律上的抽象數學概念，同時也是研究現實世界規律的模型。二次函數中的重要思想便是用運動觀點分析和解決問題[2]。在命題上主要圍繞新課標，為了考查學生分析和處理實際問題的能力，確定好二次函數中的表達方法，充分理解函數特征。使用好描點畫法做出二次函數圖象，在圖象中看到函數性質，使用配方、公式等各種方式確定函數圖象開口方向以及頂點，使用這種方式得到一元二次方程近似解。

已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如下圖，且關于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0沒有實數根，有下列結論：①b2-4ac＞0；②abc＜0；③m＞2。其中，正確結論的個數是 （ ）

A.0 B.1 悅.2 D.3

①二次函數y=ax2+bx+c與x軸有兩個交點，

∴b2-4ac＞0，故①正確；

②∵拋物線的開口向下，

∴a＜0，

∵拋物線與y軸交于正半軸，

∴c＞0，

∵ 對稱軸 x=b/2a＞0，

∴ab＜0，

∵a＜0，

∴b＞0，

∴abc＜0，故②正確；

②一元二次方程ax2+bx+c-m=0沒有實數根，

∴y=ax2+bx+c和y=m沒有交點，

由圖可得，m＞2，故③正確。

故選：D。

五、閱讀以及新定義有關的綜合型題目

這些題在以后的數學考試中會逐漸增加，同時考試的很多知識并不屬初中數學，更多的是重視初中和高中知識之間的銜接。很多題目都是高中數學知識，或者有一些跨學科的知識。這些主要是考查學生理解能力、閱讀能力、使用新知識能力。處理這些問題關鍵在于認真閱讀，同時要理解題目，認識到題目中的新公式、新定義，同時使用這種方式解決和處理相關問題。

例題：在實數中，規定［x］為不大于 x的整數，有［1.2］=1，［4］=4，［-2.6］=-3，假如現在分析x可以為多少 （ ）

A.41 B.43 悅.51 D.57

解析：從定義中我們可以看出，［x］主要為小于等于x的最大整數。同時結合例題可以看出要想滿足可以得到46≤x＜56，因此可以選擇第三項。

數學綜合題中不僅有這些題，也會有各種變換類型的[3]。但是不論是何種綜合題，不僅要對方法進行考查同時也重視綜合能力。在學習中一定要抓住知識的關聯，掌握好數學思想和方式。只有通過這種方式才可以靈活使用、分析問題、觀察問題，解好綜合問題。