方程到底該怎么定義才合適

山東莘縣第二實驗小學(xué)（252400）

在一次教學(xué)“認(rèn)識方程”時，教師以天平為表象出示等量關(guān)系，分類后推出方程，著眼于方程定義，結(jié)合“等式”和“未知數(shù)”兩個要點(diǎn)給出方程概念，然后通過判別練習(xí)強(qiáng)化，最終學(xué)生都能緊扣要點(diǎn)判斷方程。

課堂接近尾聲的時候，教師讓學(xué)生總結(jié)收獲，多數(shù)學(xué)生只是復(fù)述方程的定義，但有位學(xué)生說出了不一樣的見解：“方程就像一個天平，左右托盤里加等重的砝碼，才能保持平衡。”學(xué)生一下子打開了話匣子，踴躍發(fā)言，課堂互動精彩紛呈。最后教師總結(jié)：凡是涉及平衡的問題都可以看成方程。

一、課后訪談進(jìn)行教學(xué)“問診”

課后，筆者對學(xué)生進(jìn)行訪談：“你們覺得方程深奧嗎？”調(diào)查結(jié)果顯示學(xué)生普遍認(rèn)為方程簡單，許多學(xué)生認(rèn)為只要緊扣“等式”和“未知數(shù)”這兩個要點(diǎn)就可以很好地掌握方程。而對于“學(xué)習(xí)方程有什么用？”許多學(xué)生卻不明就里。于是筆者提問：“一列火車駛進(jìn)月臺，某節(jié)車廂上20人，下23人，此時車廂內(nèi)還有86人，這里有方程嗎？”學(xué)生不約而同地給出否定答案，認(rèn)為看不到“天平的平衡”跡象。

筆者轉(zhuǎn)換話題：“你覺得x=1屬于方程嗎？”許多學(xué)生給出肯定的回答，理由是既有未知數(shù)又是等式。當(dāng)筆者向執(zhí)教教師提出同樣的問題時，執(zhí)教教師遲疑半晌，說：“應(yīng)該是吧，它符合方程的所有特征。只是這個方程有點(diǎn)特殊，明明已知x等于1，還設(shè)定為未知數(shù)！”筆者再次提出問題：“你覺得學(xué)生對方程的理解是否到位？”教師有些為難地說：“不好說。”

二、揭示等式內(nèi)涵

回過頭來再看“x=1是方程嗎？”這一問題，從形式上看它是方程，符合書上既有未知數(shù)又屬于等式的要求。但如果用新型定義來看，x=1則是方程的解，而不是方程。否則就會自相矛盾——“明明已知x等于1，還能叫未知數(shù)嗎？”在教學(xué)中，如果僅僅困囿于“等式”和“未知數(shù)”兩個要點(diǎn)去認(rèn)知方程，就會把學(xué)習(xí)的主線搞反，而學(xué)生對方程的理解也只是死記硬背，沒有領(lǐng)會其精神實質(zhì)。方程的本質(zhì)是為了求出未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間搭建“等”之橋梁。方程的核心價值是為了設(shè)定并求解未知數(shù)，而且方程的形式和格式直接揭示了求解的原理，即等式性質(zhì)，根據(jù)等式的性質(zhì)即可求解。可見，“含有未知數(shù)的等式叫作方程”這種描述只是形式上的白描，沒有揭示其本質(zhì)。以下教學(xué)片段可很好地向?qū)W生揭示其本質(zhì)。

師（出示圖片）：小明有多重？

生1：30 千克。

師：小明的體重是一個已知數(shù)，那你知道小明爸爸的體重嗎？

生1：不知道，是一個未知數(shù)。

師：若小明爸爸的體重減去40千克后，仍比小明重，而媽媽的體重減去30千克后，體重比小明輕。這樣能確定小明的體重嗎？

生2：不能，只能確定大致范圍。

師：如果哥哥的體重減去15千克就是小明的體重，可以確定小明哥哥的體重嗎？若可以，小明哥哥的體重是多少？

生3：45 千克。

師：給定三個條件，為何只有第三個能求出確切值。（學(xué)生小組討論）

生4：只有等式才能推導(dǎo)求解。

師：你能夠用含有未知數(shù)的式子表達(dá)出題干中的三種數(shù)量關(guān)系嗎？

生5：x-40＞30，x－30＜30，x－15＝30。

師：經(jīng)過比較有何發(fā)現(xiàn)？

生6：第三個式子是等式。

師：是的，通過等式建立起已知數(shù)和未知數(shù)的關(guān)系叫方程。

三、突破思維局限

長久執(zhí)拗在運(yùn)算符號中，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)方程時難以跨越，對此，教師可設(shè)置“在○里填＞、＝、＜：1+2○3”這樣的判斷題，引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知，讓學(xué)生認(rèn)識到“1+2=3”中的“=”不僅可以引出計算結(jié)果，而且可以反映式子左右的大小關(guān)系。可將算式進(jìn)行顛倒：“3＝2＋1”，并設(shè)計案例“在天平兩個托盤里各放20克砝碼，怎樣用算式表示？”讓學(xué)生對“20=20”這個等式產(chǎn)生好奇；然后把“20=20”改換成“20○20”這類學(xué)生熟悉的填空題型，幫助學(xué)生完成由算式到等式的轉(zhuǎn)型，從而認(rèn)識“=”這一種關(guān)系的作用。

另外，方程的建立也是難點(diǎn)。其實列方程就是一種建模的過程，教師在引導(dǎo)學(xué)生建模時，應(yīng)讓學(xué)生認(rèn)識到相等關(guān)系不僅是量化的數(shù)值，還有無形的同質(zhì)化等價對等關(guān)系。

最后，教師可出示生活中的乘車問題和注油問題，讓學(xué)生在問題分析與解決過程中，對有形的“天平”進(jìn)行變形、抽象和轉(zhuǎn)化，從而引導(dǎo)學(xué)生將思維中的“等式天平”換成“抽象天平”——數(shù)量間的相等關(guān)系，有效培養(yǎng)學(xué)生的方程思想。