剛性轉盤中的邏輯思考

（山東省濱州市實驗中學 山東濱州 256600）

剛性轉盤是描述相對論效應的一個模型，關于這個模型的爭議一直不能平息，在這其中的一個問題是剛性的矛盾。大體上說就是這個模型以轉盤為剛性為前提，而最后的結論卻推出了轉盤不是剛性的。我想在這里由一些已知的簡單的相對論的推論對這個模型進行邏輯上的討論，進而對這其中的剛性矛盾嘗試進行解釋。因為本文作者并未掌握高等數學的方法，所以沒有進行深入的數學計算，這里主要是對這個問題的思考的過程，如果可能的話，希望能夠給他人一些思路的擴展。

本文首先要對這個模型的理論基礎進行介紹。眾所周知，狹義相對論的一個效應，就是在相對一個物體運動的參考系看來，物體在相對運動的方向上會發生尺度收縮，但在同一參考系中不會出現這種效應。如果有一把尺子一端直對我們運動，在精確的觀測下我們會發現尺子短了，但寬度不會變化。這是由光速不變原理推理而得的。相對論中的一些細微之處至今還存在爭議，但在我們看來，相對論的建立的確實現了對我們世界的更精確的描述，所以有理由將相對論的推論作為后面推理的基礎。

而剛性轉盤模型是這樣的，一個無其他作用影響的環境中，存在一個剛性的轉盤，轉盤邊緣和外部分別有一個觀察者，假設轉盤表面靜摩擦系數足夠大使得轉盤上的觀察者一直能與轉盤保持相對靜止。現使轉盤以一恒定角速度轉動，在轉動過程中讓轉盤上的觀察者（甲）和一旁的觀察者（乙）分別測量轉盤的直徑和周長。我們可以根據之前所敘的相對論效應來比較他們的測量結果。因為甲相對于圓盤靜止不動，而圓盤邊緣相對于乙沿切向運動，在乙看來，圓盤邊緣的切線方向發生尺縮，所以甲沿圓盤一周測的周長會大于乙在一旁直接測得的周長。而轉動的圓盤在半徑方向上無分運動，故甲和乙測得的直徑長度是一致的。而若在乙看來這個圓盤的圓周率周長比直徑是π的話，因為甲測得的周長要更長，所以甲測得的圓周率要比π大。但如果圓盤是靜止的，則甲和乙就處在了同一個參考系中，那么他們的測量數據就是相同的，甲測得的圓周率一定為π。但顯然無論圓盤動不動，甲都相對于轉盤靜止，這兩次的測量結果卻不一樣。而甲的兩次測量的唯一區別，是圓盤轉動時，甲受到了圓盤靜止時所受不到的指向圓心的合外力，所以可以說是合外力的存在才使得兩次測量結果不同，或者說使圓周率不為π。又因為在平面上，一個圓的圓周率一定為π，只有在曲面上的圓的圓周率才不為π，所以說圓盤轉動時，甲的測量是在一個曲面而非平面上進行的。于是通過對比，我們得出了廣義相對論的一個重要效應，即合外力使得空間發生彎曲。

而這其中的問題在于這個圓盤在變速時，比如從靜止加速到某個角速度的過程中，若讓甲不斷測量，則他每一次測得的圓周率都不一樣，也就是說，圓盤的圓周率不斷變化，也可以說是形狀不斷變化。但是這個模型一開始便強調，轉盤是剛性的，剛性的形狀不會改變，那這個模型不就矛盾了么？

關于這個“剛體不剛”的矛盾的解釋有很多，在這里本文希望從廣義相對論的空間彎曲效應出發，去更正這個矛盾的推理過程，同時也從邏輯推理的方面去嘗試解釋這個模型的合理性。

首先，這個模型說明的是廣義相對論的空間彎曲效應，而“空間彎曲”所造成的不僅僅只有使轉盤的圓周率改變，應該是在這個空間區域內所有物理性質的改變。之前得出矛盾的推理中，推出矛盾的原因是“觀測表明圓各個部分的相對位置發生了變化也就是形狀發生了改變”，可是這里對觀測數據的分析卻并未考慮空間彎曲對“相對位置”這個概念的影響。既然“相對位置”這個概念也同時被彎曲了，那我們就不能根據觀測數據的改變而得出相對位置的改變，既然不能得出這個前提，那這個矛盾的推出也就不能成立了。

但還需要對這種圓周率的變化進行合理解釋。眾所周知，人們現在可以直接通過觀測光在引力場下的彎曲來得到廣義相對論效應。在這個現象中，人們觀測到光似乎并未走空間中兩點之間的最短路徑（沿直線），但如果我們去考慮引力場中空間的彎曲，則光仍然在走最短路徑，只不過我們既可以說“直線”的概念被彎曲了（直線不再是最短路徑），也可以說“最短路徑”的概念被彎曲了（最短路徑是曲線）。當然，這些彎曲只是相對于我們觀察者所處的平穩空間來說的，于是，光還在走它所經過位置的空間中的最短路徑。那么與這里的情形相似，圓盤加速轉動時我們測得的圓周率不斷變化，我們就可以想象到圓盤內部的某兩個分子之間的相對位置似乎發生了改變。但若考慮到空間的彎曲，則這些觀測結果不但不能說明它們的相對位置發生了改變，而應該是相對位置的不變。因為“相對位置”的標準也隨著該處空間性質的變化而變化，既然加速過程中空間變彎，所以如果圓盤是剛體，那么我們的觀測數據在我們所處的空間（未彎曲）的條件下的分析結果就應該是不斷變化的，這樣才能有圓盤的各個部分在它所處的變化的空間中相對位置的不變。所以我們看到的現象正是圓盤為剛體的前提，若是我們觀測到圓盤的各個部分相對位置似乎沒有改變，那才說明圓盤不是剛體。

這種概念的“彎曲”是怎樣的呢？本文提出這樣一種構想：一條線段上的兩個端點之間的距離便是這條線段的長度，若果這條線段所處的空間發生了彎曲，則由于光不再沿我們所看到的直線傳播，故在我們看來，線段變彎，兩端點之間的距離便發生了變化。但這條線段什么變化也沒有，所以在這片彎曲的空間中，兩端點之間的距離并未改變，我們直接看到的兩點之間的直線距離，在這個空間中并非最短距離。而空間彎曲程度越大，我們的測量結果和現實就相差越大，這就應該是甲在圓盤加速時測得的圓周率不斷變化的原因了。

顯然，我們在這里沒有經過嚴密的數學計算來證明空間彎曲效應對于觀測數據變化的抵消，所以在這里嚴格來說，我們做到的僅僅是否定了這個矛盾的存在，而并沒有足夠的證據證明這個模型中是否還有問題。

而事實上必須要說明的一點是，因為一開始靜止時甲乙的測量數據都相同，測得的圓周率都為π，那么上述討論的前提是以乙的測量數據一直為π為前提的。那為什么要這樣選呢？其實，處在慣性系中的乙所測量的一直是圓盤在平直時空上的投影，所以按照對稱性，乙測量的一直都是一個圓，所以乙測得的圓周率一直都是π。而這其中又有不少爭論，故本文主要對這個模型中的“剛性矛盾”進行討論，而其他的問題，還需要更多合理的解釋。

上述的推理，用到的是對“空間彎曲”情形下的粗略分析，更多問題的解決應該還要靠對這種情形下的進一步探索才能實現。但通過這么多年相對論的科學成果來看，我們有理由相信這個模型的合理性，相信這其中的問題會得到更多科學的解釋。希望文章中的分析過程能夠對這個問題的思考者有所啟發。