中學數學能力組成成分的分析與探究

江蘇省新沂市實驗學校 李妍妍

我們對學生進行數學知識教學，目的是為了培養學生的數學能力，而不是簡單地讓學生掌握這些死的數學知識。那么，學生的數學能力包括哪些方面呢？對于這個問題，歷來眾說紛紜。在教學中，我們還要進一步探討和實驗，以使我們的數學教學增強針對性和實效性。

在選擇專門實驗方法之前，筆者擬定了一個可以辨別有能力的學生和能力差的學生在學習上有明顯差別的領域，作為我們的初步指標。換句話說，我們假定在數學能力的一般結構中包含著某些成分。分析心理學和數學的文獻以及探察實驗（由于受篇幅所限，對于所引用的文獻不再一一注明，敬請諒解），都給我們指明了探索數學能力的方向。

在許多著作中都提到了概括能力。拉祖爾斯基和他的同事做了一個有趣的分離學習算術能力的嘗試。他們“在其他課程中很少使用的心理機能”之中，抽出了“概括能力”。但是，他們并沒有充分揭示這種“機能”的心理實質。還應提到的是，美國心理學家桑代克的一本著作中，也談到了“概括能力”，并把它看作是“代數”能力的一種。

在謝瓦列夫、梅欽斯卡婭和她的同事的著作中有些很有價值的材料。謝瓦列夫證實，在解代數題時，概括的聯想同個別的聯想一樣是有價值的。多布拉耶夫、斯捷潘諾夫、塔雷齊娜和雅羅楚克等人的著作都提到了概括數學材料上的個別差異。

筆者進一步假定有能力學生和能力差的學生的“縮短”率應當是不同的一一即在解題過程中“縮短”推理過程和“縮短”有關運算系統。有才能的學生推理和運算系統的“縮短”速度很可能極其迅速。

上述謝瓦列夫和梅欽斯卡婭的著作，對理解這個問題很有價值。謝瓦列夫曾指出，學生在解答代數問題時，并不需要把推論的全部環節，即解題的完整而詳細的邏輯結構全部再現出來。梅欽斯卡婭也曾證實，甚至學生在解答算術問題時，推理過程的中間環節也在逐漸“縮短”。塔雷齊娜、英豕克和索科洛夫用解答幾何、化學、物理問題的材料探索了推理過程的逐漸縮短問題。

最后，筆者假定數學能力不同的學生從正方向思維靈活地向逆方向思維轉換的能力是不同的。很明顯，有才能的學生相當容易而較自由地完成這種運算，而大多數學生從直接證明轉到間接證明，或從正定理轉向逆定理則有一定的困難。

從心理學角度可以區別出兩種不同類型的聯想：“正向”聯想——從前一個刺激聯想到后一個刺激；“反向”聯想——從后一個刺激聯想到前一個刺激。卡巴諾娃—梅勒曾用地理學的材料表明，不是全部兒童都能獨立地從“正向”聯想轉到相應的“反向”聯想。成績好的學生，當他在一個方向上很好地建立起聯結之后，就能相當容易地在相反的方向上實現這種聯結。能力差的學生則很困難：他們需要經過專門的訓練才能形成這種“反方向”的聯結。

這種對數學能力組成成份的假說是我們設計一系列實驗目的主要依據。這種看法是在我們研究個別差異的問題時形成的。在深入研究的階段中，關于數學能力組成成份的假說將以更加完整的形式提出來。

這方面的資料首先是由所提到過的那些實驗中獲得的。這些實驗揭示了有數學才能學生的其他一些心理特點。其次，是從對小學、初中年齡階段的數學天才兒童的初步觀察中得來的。這兩方面的材料都表明有數學才能的學生的特點是能很好地分析綜合題目的條件：既能很快地抓住作為題目本質的基本聯系，同時又沒有忽略題目中的具體數據。

空間觀念在數學能力的結構中應起一定的作用。這種能力在能力強的學生身上是以不同方式表現出來的，這可能與數學能力的不同類型有關。

但是，必須承認，關于數學能力的結構問題迄今為止還不可能有一個完整的假說，筆者只涉及了它的個別方面。為了進一步研究，我們需要有一個相當完整的關于數學能力結構的假說(因為完整的實驗題目體系是按這種假說來設計的)。我們并不妄圖更深刻和有意地去分析數學科學(這是數學家的事，它已經超越了我們老師的工作范圍)，我們為自己提出了一個有限的研究目標，僅限于中學數學教學。

如前所述，我們是把數學能力作為學生創造性地掌握學校數學課程的能力來研究的。當然，數學科學與作為普通教育中學校的一門數學課程來說，兩者之間有著根本的差別。在方法學文獻中也曾多次指出過這一點。吉布什寫道：“當然，學校數學課的各個分支(算術、代數、幾何、三角)不是相應科學的翻版。”岡恰羅夫在他的《作為學校課程的數學》一文中也談到了這個問題，但是他作了重要的補充。

數學的基本特征是公理的方法，這是現代數學的特點。事實上，公理的定義就是在一定概念體系中的每個概念都是借助于它與這一體系中的其他概念相聯系的那種關系而被確定下來的。因為把一個概念放在概念體系中來考慮，就不會有任何一個對其他概念來說是毫無關系的概念了。

在上述所談到的能力中，我們試圖排除那些屬于一般性的東西(例如抽象思維能力)，而是設法把這一般的東西“分解”為更精確、更具體的東西。這就是我們關于數學能力結構各種組成成分的假定模式，也是我們進行實驗研究的出發點。