數學文化在大學數學課程中的應用——以“全國高校青年教師教學競賽”獲獎作品為例

高雪芬

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數學文化在大學數學課程中的應用——以“全國高校青年教師教學競賽”獲獎作品為例

高雪芬

（浙江理工大學 理學院數學科學系，浙江 杭州 310018）

以第二、三屆“全國高校青年教師教學競賽”總決賽數學課程獲獎作品為樣本，采用錄像分析法，研究數學文化在大學數學課程中的應用：獲獎作品中包含哪些數學文化內容？教師又是如何運用這些內容的？研究表明，兩屆比賽中分別有75%和85%的選手采用了數學文化案例．案例內容分布不均衡，主要集中在生活、科技、數學史3個方面，大多運用于引入和小結環節，運用層次不高．數學文化案例內容廣泛、與時俱進、深入講解、首尾呼應的課程更容易獲得評委的青睞．建議教師在應用數學文化時注意內容的廣度、融入的深度及教學設計的與時俱進．

數學文化；教學競賽；獲獎作品；大學數學

“全國高校青年教師教學競賽”[1]（以下簡稱為競賽）是由中國教科文衛體工會與教育部教師工作司聯合主辦的全國性競賽，分為人文社會科學、自然科學基礎學科、自然科學應用學科3個組，每個省份每個組每屆只能選派一名教師參加總決賽，選手代表了中國高校青年教師教學的最高水平，為教學以及教學研究提供了寶貴的資源．盡管競賽規模盛大，但目前對競賽的研究不多，已有文獻多為新聞報道[1]及選手的感悟總結[2-3]．以決賽作品中的數學文化為切入點，試圖回答如下問題：獲獎作品中包含哪些數學文化內容？教師又是如何運用這些內容的？運用效果如何？

1 研究方法與過程

1.1 競賽概況與樣本選取

競賽從2012年至今已舉辦了三屆，秉承“上好一門課”的辦賽理念，除第一屆是每個選手只需準備一節參賽內容外，第二、三屆選手均需在報名前選定一門參賽課程，并完成該課程的20個學時的教學設計和與之相對應的20個教學節段的課件，比賽當天，選手現場抽簽確定本人參賽的具體教學節段，競賽內容含教學設計（15分）、現場授課（80分）和教學反思（5分）．因第一屆賽制與第二、三屆差別很大，故研究主要以2014年的第二屆與2016年第三屆競賽中“自然科學基礎學科”組內數學教師的全部參賽視頻為樣本，第二屆該組32位選手中有8位數學教師，第三屆31位選手中有13位數學教師，故共有21節競賽教學錄像，錄像的信息如表1所示．

為便于分析，隱去教師姓名，代之以編號，其中左邊第一位數字表示屆數，后面的數字表示教師在該屆比賽中的名次，如“2.3”表示第二屆的第三名．這些視頻樣本一方面代表了全國青年教師的最高水平，另一方面，因課例是比賽現場從20個參賽內容中隨機抽取講授的，故所抽課例基本上代表該選手整個課程的水平．

表1 樣本基本信息

1.2 研究方法

主要采用錄像分析的方法[4]，首先截割錄像片段并記載不同內容的教學時間，然后從數學文化內容、教學環節及融入層次方面進行編碼．

將數學文化內容分為4類[5-6]，即數學史、數學與現實生活、數學與科學技術、數學與人文藝術．數學史又分為顯性數學史和隱性數學史兩部分，顯性數學史包括數學家肖像、數學家生平簡介、數學史事件、概念、公式、定理的歷史、歷史名題等內容，而隱性數學史包括根據數學史改編或基于歷史材料編制的數學問題以及借鑒、重構歷史順序的概念發生發展過程．數學與現實生活可細分為6類：日常生活、學校生活、社會生活、娛樂生活、經濟生活、職業生活．數學與科學技術[7]分為生物科學、地球科學、物質科學、高新技術；數學與人文藝術根據藝術形式的不同，可分為4類:人文、美術、音樂和建筑．結合數學教學的特點，將教學環節分為5部分：導入、講授新課、例題與課堂練習、小結、作業．數學文化的融入層次分為4類：無解釋、用自然語言解釋、用數學表達式解釋以及作為例題和習題講授．

2 研究結果

2.1 數學文化的內容分析

21位教師中有17位運用了數學文化，共采用了75個數學文化案例，這些案例的類別如圖1，圖中的數字表示該類案例的個數．

圖1 數學文化的內容分布

數學史方面，共有8位教師使用了數學史案例，且多為顯性數學史，說明使用數學史的教師比例不高，而且很少根據數學史編制數學問題或重構概念發生過程．數學與現實生活案例有35個，占總案例數的47%，而其中尤以社會生活問題最多，有12個，如近防炮問題、質檢員抽檢問題等，有意思的是，雖然社會生活的案例最多，但是采用該類案例的教師卻比較集中，只有5位教師，且4位為概率論與數理統計教師，1位為高等數學教師，說明案例選取與所教課程的歷史、教學內容密切相關．日常生活的案例雖然只有9個，卻來自于8位教師，含概率論與數理統計、高等數學、線性代數3門課程的教師；娛樂生活案例來自4位教師，經濟生活3位．在數學與科學技術方面，高新技術和物質科學的案例來自于6位教師，地球科學的7個案例來自于4位教師、生物科學2位，說明教師比較注重與計算機網絡技術、航空航天技術等高新技術結合，另一方面，由于歷史的原因，大學數學，尤其是高等數學與物理密不可分，所以課例中也有很多物理案例．第二屆中有2位教師用到了數學與人文藝術方面的內容，其中1位是用曹沖稱象引入微元法，1位是在小結部分提到數學與音樂的聯系．而第三屆中只有1位講微積分緒論的教師提到了人文、美術、建筑3方面的例子，說明在日常數學教學中數學與人文案例不多．此外，所有選手都沒有采用學校生活、職業生活的案例，這一方面因為基礎教育教材中此類內容就較少[5]，另一方因為中國目前的大學數學教材基本還是通用型為主，很少有針對各專業的教材．

2.2 數學文化的教學環節分析

先將數學文化的內容時間段截取出來，再對其教學環節進行編碼，數學文化的時間分布如圖2、圖3，其中縱軸是時間（單位：秒），由于比賽時間為20分鐘，所以視頻的長度多集中在1?200秒附近，橫軸上的數字表示其在當年參賽數學教師中的比賽排名，例如圖1中的第一個柱狀圖表示第二屆比賽中數學教師中的第一名（整個自然科學組的第三名，即編號2.3，參照表1）．由圖可知，在引入部分運用數學文化的教師共有17位，即所有采用數學文化的教師全部在引用環節運用了數學文化，8位教師在小結環節、例題環節使用數學文化，此外，講授新課環節有6位、作業環節有3位，說明數學文化內容主要集中在引入與小結部分，即運用數學文化的方式為點綴式、附加式[6]，即使去掉也并不影響教學的主要內容，而在例題、講授及作業方面運用得較少．

圖2 第二屆作品中數學文化的教學環節分布

圖3 第三屆作品中數學文化的教學環節分布

從圖2、圖3對比來看，第二屆作品的數學文化分布環節較廣泛，而第三屆則以分布在引入環節和小結環節為主，這說明雖然教師們意識到數學文化的重要性，但限于個人功底和時間等因素，一時難以找到更深入的融入方法，只是作為附加式、點綴式加到作品上面，起不到更好的效果．另一方面，雖然第三屆使用數學文化的作品更多，但是第二屆的選手在數學文化部分占課程時間的總百分比（23%）略高于第三屆（20%）．

2.3 數學文化的運用層次分析

數學文化的運用層次如圖4所示．

圖中橫軸的1—4分別表示運用的4個層次，即無解釋、用自然語言解釋、用數學表達式解釋以及作為例題和習題講授，縱軸的數字表示達到該層次的作品數．其中，用自然語言解釋指用生活中的語言來描述數學文化案例，用數學表達式解釋是指教師在黑板上或課件中給出了該案例的數學表達式，作為例題和習題指的是把該案例作為授課中的例題或者習題來詳細闡述．

在第二屆中，6個采用數學文化的教師有5位達到了例題習題層次，而第三屆中只有4位教師達到了例題習題層次，其余大部分教師都止步于用自然語言解釋階段．這說明雖然大家運用數學文化的積極性比較高，但是運用層次還處于較低水平．注意到第三屆中獲得一等獎的兩位教師都采用了例題的形式，所以建議在數學課程中運用數學文化內容應具有一定的深度，并與具體的數學內容結合，最好采用例題的形式深入求解剖析，而不是泛泛而談．

圖4 數學文化的運用層次

3 典型案例分析

同課異構指的是相同的課程內容，由不同的教師根據不同的教學設計進行講授的課，課程的結構和教學方法、教學策略都不盡相同．在兩屆21個選手中，只有2.23和3.1兩位選手的參賽內容相同，說明這種現場抽取教學節段的方法，避免了教師都選相似的、相對來說容易講的內容，而使選手的備課內容幾乎涵蓋了整門課程．

2.23和3.1兩位選手的教學內容均為“事件的獨立性”，但由于教學設計不同，最后的名次也相去甚遠．在問題引入環節，2.23首先對條件概率進行回顧，在1:18處用教學競賽中不同選手正常發揮的案例來引入事件獨立性，繼而講授事件獨立的定義性質，8:45處講授現實問題，即打靶演習．而3.1直接由近防炮引入，提出“若系統同時發射100發子彈，求至少命中一發的概率”問題，引出事件獨立性的主題．就這兩個實際問題而言，打靶演習雖然也是一個數學文化問題，但相對于近防炮來說，未免有些“老化”．3.1緊接著在3:00處由擲骰子問題引出兩個事件相互獨立的定義和性質，并在6:55處詳細講解了隨機取牌問題．2.23雖然在13:20講到了與隨機取牌類似的抽卡片問題，但3.1用PPT把學生熟悉的撲克牌直觀地展示出來，無疑比2.23僅用板書推導卡片問題更能吸引學生的注意力．3.1在11:50—12:30處集中列舉了事件獨立性可由事件的實際意義判斷的一系列問題：拋硬幣、質檢員抽檢、奧運比賽中的射擊、評委打分等問題，接著于14:00處再回頭解決最開始的近防炮問題及該問題的變式：“為確保以0.99的概率擊中導彈，至少要發射多少發子彈”，并用MATLAB模擬射擊導彈的命中率問題．在收尾處18:35—19:55再度回應中國近防炮的近況，描述“遼寧號”航空母艦的發展，用2個思考題結束課程：1個為數學問題“如何理解小概率事件在大量重復獨立事件中幾乎一定發生”，1個是數學文化問題“事件獨立性在計算機網絡和系統安全中的應用”．另一方面，2.23在講授完卡片問題后，時間安排已經比較緊了，在19:45—20:10只能簡單提到4個元件所構成的系統正常工作的概率問題，在20:30匆忙介紹了破譯密碼（習題）問題，結束課程．

3.1作為第三屆競賽的第一名無疑是運用數學文化最成功的一位，她的教學在數學文化及純數學內容間來去自如，已難以將其中的數學文化內容剝離．總結起來，她的課有以下幾個特點：（1）與時俱進．打靶練習是概率論中的經典問題，而3.1將這個問題改編為現代軍事中的熱門話題“近防炮的命中率”，并在小結部分介紹了中國近防炮的世界領先地位，內容貼近生活，與時俱進，有利于激發學生的愛國熱情和學習興趣．（2）內容廣泛．在數學文化的內容分布上，她覆蓋了兩大類3小類：社會生活、娛樂生活與高新技術，案例選取與她的參賽課程《概率論與數理統計》的特點有關，因為該課程起源于人們的娛樂生活和社會生活．（3）首尾呼應．在教學環節方面，她是兩屆比賽中唯一一位在5個環節中都使用數學文化的教師，近防炮問題在多個環節中反復出現，使數學文化內容在不同教學環節間呼應，而不是點綴式地放在一頭一尾．（4）詳略得當，深入淺出．在運用層次上，她覆蓋了4個層次，其中近防炮問題和隨機取牌問題作為例題詳解，擲骰子問題是用數學表達式解釋，小結處近防炮的發射原理“萬箭齊發”為用自然語言解釋，質檢員抽檢等5個問題為無解釋．她是唯一一位涵蓋所有運用層次的選手，是數學文化應用得最全面，最自然而且有深度的選手．

4 結論與啟示

基于對兩屆比賽教學視頻的分析，可以得出以下結論：

第一，數學文化在競賽中得到了廣泛的應用，并且具有越來越受重視的趨勢，兩屆比賽中分別有75%和85%的選手都采用了數學文化案例．

第二，數學文化分布不均衡．從內容分布上看，主要集中在生活、科技、數學史3方面，而尤以日常生活、高新技術、物質科學居多，這是由于日常生活的案例更易使學生產生親近感，而高新技術體現了大學的學術性和時代感，物質科學則與數學的產生發展密不可分．在數學史方面，主要集中在顯性數學史，很少有隱性數學史的案例，因為隱性數學史案例需要作者有較深的數學史功底，同時還要有足夠的熱情去實施，相對來說更難．在數學與人文藝術方面最少，這也和數學課程本身特點有關．

第三，從兩屆比賽中可以看出運用數學文化的教師越來越多，但是層次卻在降低．比如，第三屆選手在教學環節上，主要集中于引入和小結環節，在例題、講授、習題環節運用的不多；在運用層次方面，多集中在比較淺的、無數學表達式的層次，用例題詳細解析的不多．這說明越來越多的人意識到數學文化在數學課程中的重要性，但是也有很多人停留在“為數學文化而文化”的層次．

第四，通過整體的樣本統計及典型課例分析，發現運用數學文化越多的，尤其是在例題環節使用數學文化從而能深入討論的課程，同一個案例在多個教學環節間呼應的，越容易受到評委的青睞．這一點在第三屆作品中表現尤為突出．3.1的教學內容在純數學內容與數學文化之間來去自如，已難以將兩者清晰劃分，而3.26、3.27兩位教師的作品中沒有數學文化的內容，內容略顯枯燥平淡，位居該組數學教師中的最后兩名．但是另一方面，數學文化的內容也并非越多越好，數學文化的本質是為數學核心內容服務的，多而泛地流于表面而失去了數學教學應有的深度則往往適得其反．應加強深入、有效的數學文化融入．

總之，教學競賽作為一種示范和引導，說明了數學文化融入大學數學課程的重要性和可行性．數學文化融入數學課程，還應注意廣度、深度與時效性，需“用心”進行教學設計，從點綴式、附加式到順應式、重構式，從錦上添花到水乳交融、渾然一體．

[1] 陳馨達．慶祝教師節，第二屆全國高校青年教師教學競賽在武漢舉行[J]．工會信息，2014（27）：2．

[2] 鄭春燕．什么是好的大學課程——第二屆全國高校青年教師教學競賽之后的感悟[J]．中國大學教學，2015（6）：93-96．

[3] 程晏蓓，趙艷霞，戚亞娟．從教學競賽到課堂教學——以《大學物理》為例[J]．南昌師范學院學報，2015，36（6）：17-19．

[4] 何光峰，李美娟．TIMSS數學錄像課研究及其借鑒意義[J]．數學教育學報，2016，25（5）：88-91．

[5] 王建磐，汪曉勤，洪燕君．中、法、美高中數學教科書中的數學文化比較研究[J]．教育發展研究，2015（20）：28-32．

[6] 沈春輝，柳笛，汪曉勤．文化視角下“中新美法”四國高中數學教材中“簡單幾何體”的研究[J]．數學教育學報，2013，22（4）：30-33．

[7] OECD. PISA 2012 assessment and analytical framework: mathematics, reading, science, problem solving and financial [M]. OECD Publishing, 2013: 110.

Study on Mathematical Culture in College Mathematics Courses ——Take the National Teaching Competition for College Young Teachers as Examples

GAO Xue-fen

(School of Science, Zhejiang Sci-Tech University, Zhejiang Hangzhou 310018, China)

Taking the lessons in the finals of 2nd and 3rd National Teaching Competition for College Young Teachers as samples, we applied the method of videos analysis to study the properties of mathematical culture content: What fields were the mathematical culture contents in? How were the culture contents applied in the lessons? The study showed that the mathematical culture had been widely used in the competition, the contents of the case were mainly concentrated in the life, science, technology and the history of mathematics. The cases were mostly applied to the introductions and summaries but the levels were not high. The lessons, which contained mathematical culture cases widely, frequently, deeply and keeping pace with the times, obtain the favor of the judges. It was suggested that teachers should pay attention to the scope of content, the depth of integration and the time of the examples.

teaching competition; mathematical culture; award-winning works; mathematics courses

[責任編校：周學智]

2017–10–26

高等學校大學數學教學研究與發展中心項目——在大學數學課程中培養學生創新思維和創新能力的案例研究（CMC20160409）；浙江省一流學科——浙江財經大學統計學（Z0111116008/048）；浙江理工大學科研啟動基金項目——大學與高中數學教育銜接問題研究（14062014-Y）；浙江理工大學“應用數學全英文授課課程群”（QYKC1512）

高雪芬（1976—），女，黑龍江北安人，副教授，博士，主要從事大學數學教育研究．

G642

A

1004–9894（2018）01–0072–04

高雪芬．數學文化在大學數學課程中的應用——以“全國高校青年教師教學競賽”獲獎作品為例[J]．數學教育學報，2018，27（1）：72-75．