基于MF—DFA方法的外匯市場多重分形研究

王繼田+李媛

摘要：文章采用MF-DFA方法研究匯率波動的分形特征，以說明人民幣與美元匯率走勢的長記憶性特征。并通過實證得出兩個結論：一是人民幣對美元匯率的波動嚴重依賴其前期波動， 前期匯率數值會全部傳導到本期； 二是人民幣匯率市場波動存在明顯的分形維， 時間序列具有波動異方差性。

關鍵詞：匯率波動；MF-DFA；多重分形

一、引言

匯率是各國進行貿易、資本跨國流動的前提，是連接各國經濟往來的橋梁，因此匯率波動會對各國的經濟產生一定的影響。匯率波動對經濟波動及國際金融風險都具有良好的時效性和敏感性，研究匯率的波動特征能更好地把握匯率變化的規律，從而化解匯率波動對經濟的沖擊。反過來，經濟的變化也會對匯率收益率波動造成沖擊，影響匯率收益率的波動特征。

實證研究表明諸如外匯市場、股票市場、期貨市場等并不是有效的，人民幣對美元價格的變化并不是獨立的，而是存在相關性，人民幣對美元價格的變化并不服從正態分布，那么基于有效市場假說的經典金融市場理論存在著缺陷。Peters（1991）提出的分形市場假說（Fractal Market Hypothesis，FMH）提供了研究金融市場長時間序列的新方法和新思路，對市場特性的研究更為廣泛、深入和切入本質。其中收益率的長記憶性引起很多學者和金融市場實際從業人員的廣泛關注。認為人民幣對美元波動的行為就像一個動力學系統，對一些外郁的沖擊有快速和充分的初始反應，但是由于系統受長期穩定機制的控制，這個反應就會衰減，使其在短期內快速的消失。

基于分形理論的多重分形去趨勢分析法（MF-DFA）能夠有效去除局部趨勢對時間序列標度的影響，可以探測不同時間標度下時間序列所呈現的分形特征，是研究非平穩時間序列長期冪律關系的有效手段。因此，本文擬采用MF-DFA方法研究人民幣兌美元價格的波動。

二、研究方法

設時間序列x（t），t=1，2，…，N，其中N為時間序列的長度。

第一步：構造一列新的時間序列，

μ（t）=[x（i）-x] t=1，2，…，N。

第二步：將新的時間序列μ（t）分成Ns段，其中Ns=，并且記

μv（i）=μ（l+i） 1≤i≤s l=（v-1）s。

第三步：對數據μv（i）進行多項式擬合μv（i），得出殘差εv（i）=μv（i）-μv（i） 1≤i≤s。

第四步：對每一個子序列進行去趨勢處理，最終得到子序列降趨協方差公式。

第五步：定義q階波動函數，

第六步：改變q，得到在不同q的情況下所對用的h（q），得到關于q的函數h（q）。

其中，對于每一個q值，利用普通最小二乘法（OLS）回歸logFq（s）和log（s）得到的直線斜率就是h（q），也被稱為廣義Hurst指數。當h（q）因q的變化而變化時，時間序列具有多重分形特征，反之則是單分形特征。當q=2時，即為Hurst指數，其取值范圍為（0，1）。若H大于0.5，兩列時間序列具有長程相關性；若H等于0.5時間序列不具有長程相關性，可用隨機游走來描述；若H小于0.5，時間序列具有反持續性，也就是負的長程相關。

第七步：根據Shadkhoo 和Jafari的研究，得到多重分形標度指數：τ（q）=qh（q）-1。

若τ（q）是q的線性函數，則為單重分形；否則，即為多重分形。通過勒讓德變換，可以得到奇異性強度函數和多重分形譜函數：a=τ′（q）=h（q）+qh′（q），f（a）=qa-τ（a）。

三、數據描述

本文選取了2009年11月2日至2015年06月20日的人民幣與美元匯率波動的數據1370條，數據的來源是wind數據庫。將人民幣與美元的價格進行對數化處理，得到日度對數收益率序列，Rett=ln（Pt+1/Pt）。人民幣與美元的價格、對數收益率分別見圖1所有時間序列的統計性描述如表1。

從圖1中可以看出2009～2010年中期美元對人民幣匯率一直保持在穩定的6.8左右，而2010年中期之后到2012年第一季度急劇下降到6.3，此后在2012年內有一個小幅度上升到6.4，到2014年緩慢下降到6.1以下。

表1給出了外匯市場的基本統計性質。從中可以看出，總體來講外匯市場比較穩定。時間序列的Jarque–Bera檢驗結果都在1%的顯著性水平下拒絕原假設，說明外匯市場不符合有效市場假設下的正態分布假定。外匯市場的時間序列具有明顯的尖峰厚尾分布特性，這與Jarque–Bera檢驗保持一致。最后由長記憶性檢驗可以看出，外匯市場的對數收益率呈現弱的反持續性，即通過長記憶性檢驗。

四、實證結果

前面的數據描述說明了外匯市場存在長記憶性特征，接下來采用前文介紹的MF-DFA方法定量估計時間序列的非線性相關關系和多重分形特征。通過公式畫出了波動函數和標度的自然對數的散點圖，并用普通最小二乘法擬合出所對應的直線，直線的斜率即為廣義的Hurst指數（見圖2）。從圖2可以看出，隨著線性標度q的增加，波動函數和標度之間存在著明顯的冪率關系。

圖3給出了外匯市場的廣義Hurst指數與階數之間的關系圖。從之前的分析可以發現，如果廣義Hurst指數都為常數，那么該時間序列就為單分形，否則，為多重分形。從圖3中可以看出，對于原始時間序列，隨著的q的增大，他們的hurst指數逐漸減小。外匯市場表現出了明顯的多重分形特征。endprint

圖4是外匯市場的標度指數圖。從圖4中可以看出外匯市場的自相關關系表現為遞增凸函數，再次證明外匯市場具有多重分形特性。圖5給出了外匯市場的多重分形譜圖形。多重分形譜所刻畫的是金融時間序列復雜的動力學機制，其寬度也被認為可以很好的估計多重分形強度，并反映市場的復雜程度。多重分形譜寬度越大，說明多重分形特征越強，進而可以得出長程相關性越大的結論，自然而然，市場的復雜程度也會越高。從圖5中可以看出外匯市場序列分形譜呈現開口向下的類拋物線形狀，分形譜寬度顯著不為0，說明外匯市場序列存在明顯的多重分形特征。

五、結論

本文通過對外匯市場多重分形分析發現，外匯市場存在著明顯的長程自相關性，以此為基礎，又進一步研究了它們之間的動態機理。得到了以下的結論。

1. 人民幣對美元匯率的波動嚴重依賴其前期的波動， 前期匯率數值會全部傳導到本期，外匯市場時間序列在統計上表現出明顯的非正態性、尖峰厚尾和長期記憶性。

2. 采用MF-DFA方法進行研究發現，外匯市場存在明顯的多重分形特征，通過對原始序列進行隨機重排和概率分布替代發現，對于外匯市場，長期記憶性和厚尾分布都是其分形的重要來源。在外匯市場，信息不會完全公開，對于投資者而言，信息的獲得以及對新信息的消化都不是立即的，這個時間的不確定性使投資者不能準確的把握市場。當新信息持續出現和歷史信息的累計效應交互作用時，大量投資者可能會同時做出反應，造成市場大幅度波動。因此，優化市場投資結構，加強信息監管，減少內幕消息和交易，是外匯市場穩定發展的重中之重。

3. 從實際角度出發可以得到如下結論：人民幣升值有利于我國商品進口；國外進口商品價格下降，可以增加我國人民對進口商品的需求，從而增加進口數量；有利于穩定國內物價和提高收入。

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（作者單位：廣西師范大學經濟管理學院）endprint