一道題、一條線、一節課
——《一元二次方程根的判別式》的課堂教學有感

新疆烏魯木齊市第十三中學 張清華

一、溫故引課

開課我先復習板書了一元二次方程的一般形式和求根公式：

同時帶學生復習了根的判別式的作用，板書出根的判別式與一元二次方程根的三種形式：

b2-4ac＞0 一元二次方程有兩個不相等的實根；

b2-4ac=0 一元二次方程有兩個相等的實根；

b2-4ac＜0 一元二次方程沒有實數根。

二、新知探索，歸納整理

1.出示方程：（m-1）x2+2mx+m+2=0，請學生指出方程中的a，b，c。a=m-1，b=2m，c=m+2。

2.提出質疑，讓學生去設計探索：若我們要探索這個方程根的情況，你可否設計一道題目？（在此讓學生進行自主探究，并通過實物展臺讓學生展示自己設計的問題，之后教師進行題目的歸納）

類型1：

（1）關于x的一元二次方程（m-1）x2+2mx+m+2=0，

有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是____________。

（2）關于x的一元二次方程（m-1）x2+2mx+m+2=0，

有兩個相等的實數根，則m的取值范圍是____________。

（3）關于x的一元二次方程（m-1）x2+2mx+m+2=0，

沒有實數根，則m的取值范圍是______________。

類型2：

（1）關于x的方程（m-1）x2+2mx+m+2=0，

有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是____________。

（2）關于x的方程（m-1）x2+2mx+m+2=0，

有兩個相等的實數根，則m的取值范圍是____________。

（3）關于x的方程（m-1）x2+2mx+m+2=0，

有實數根，則m的取值范圍是______________。

和學生一起歸納以上的題目，引導學生進行觀察、分析、匯總。

三、例題精講，題后反思

匯總歸納中將以上各題逐一講解完成，之后從以上題目中選取幾個作為例題重點板書講解，以規范書寫格式。

例1 （1）關于x的一元二次方程（m-1）x2+2mx+m+2=0，

當m_______時，方程有兩個不相等的實數根。

【設計意圖】 通過此例題的設計，讓學生掌握書寫格式。

（2）關于x的一元二次方程（m-1）x2+2mx+m+2=0有兩個實數根，求m的取值范圍。

【設計意圖】 此題設計的目的是改變問法，同時強化學生解題時要關注a是否為字母，進而強化不忽視a≠0這一條件。

變式1：關于x的方程（m-1）x2+2mx+m+2=0，當m取何值時，方程有實數根？某同學的解法如下，你認為正確嗎？如不正確，如何改正？

在此讓學生進一步討論后再作答，將此題目與例1作比較，加強審題中注意細節變化。

【設計意圖】 此題難度上升，讓學生關注“關于x的方程”與“有實根”這兩個知識點的把握，同時板書過程，以規范學生的書寫。

變式2：關于x的一元二次方程（m-1）x2+2mx+m+2=0沒有實數解，化簡

解：a=m-1，b=2m，c=m+2，

∵方程沒有實數根，

∴8-4m＜0且m-1≠0，解得m＞2。

【設計意圖】 此題設計的意圖：（1）當8-4m＜0且m-1≠0 時，解出m＞2，已經存在m≠1，所以最后的結論只有m＞2，這一細節是學生易錯的點，再次通過此題加以強化；（2）將此類題與其他的知識點融合在一起，加強知識的綜合應用。

【歸納整理】 完成這幾道例題后，及時帶領學生加以歸納總結，如下：

1.見到題目先要關注前提條件是“關于x的方程”還是“關于x的一元二次方程”；

2.若是一元二次方程，千萬莫忽略了“a≠0”。

四、鞏固拓展、提高延伸

出示兩個不同的題型，讓學生熟悉根的判別式的應用。

1.求證：關于x的一元二次方程（m-1）x2+2mx+m+2=0恒有兩個不相等的實數根。

2.關于x的一元二次方程（m-1）x2+2mx+m+2=0的根的判別式為4，求方程的根。

五、課后小結，思路匯總

提問學生反思：通過本節課的學習，你最大的收獲是什么？

之后一起歸納：

（1）見到“實數根”，先看是“關于x的方程”還是“關于x的一元二次方程”，判斷解題方法；

（2）“關于x的方程”與“實數根”同時出現，要特別注意分類討論，不要忽略了方程為一元一次方程的情況；

（3）“關于x的一元二次方程”見到了“實數根”，要想到計算“根的判別式”，且莫忘“a≠0”。

在學生的動手動腦中，本節課的重難點得以逐步解答和強化，尤其是在學生的參與中，將細節變化中可能出現的問題及時呈現反饋，且得到仔細的分析比較，使學生對此知識的理解起到了很好的作用。

總之，一節課，一道題，一條線，變化中得到拓展，探索中得到升華。數學課堂的精彩在于此，數學教學的魅力也在于此！

[1]劉作兵.一元二次方程的教學反思[J].科學咨詢(教育科研)，2012（07）.

[2]賴寧.關于《數學課程標準》中一元二次方程的內容研究[D].西南大學，2008.