試探面積法在初中數學解題中的運用

吳劍欽

在中學數學中，關于面積和面積法相關知識的教學已達到一定深度。通過對面積和面積法的學習，一方面，能夠使學生更好、更直觀地學習、理解和掌握數學知識;另一方面，通過學習面積法，構建“數形結合”幾何模型，能將中學數學中一些較為抽象和代數化的知識進行更為直觀、具象的幾何解釋。對此，教師必須更加深入地研究和探索面積及面積法的相關發展歷程、概念，以及其在中學數學解題中的巧妙運用，來增強中學生數學思維的靈活性，提高學生的數學素養。

一、中國古代數學的面積發展史

面積的發展史最早可以追溯到古埃及時期，其在中國的發展也同樣歷史悠久，源遠流長。與其他古代文明相比，面積在中國數學史上的發展有著獨特的風格和特色，其在中國古代主要用于田壟、土地的測量。早在公元前2世紀，中國古代數學家就著有《算術書》，這是中國數學史上首次系統性地提出和闡釋面積相關的算題，其中包括對田地的測量、土地稅征收，以及與實際生產生活密切聯系的面積問題。

二、面積的計算

1.與面積相關的公式

第一，三角形的面積公式：三角形底邊a乘以高h除以2，數學公式表示形式為S=ah;第二，梯形面積公式：梯形上底a加下底b乘以高h除以2，數學公式表示形式為S=（a+b）h/2;第三，矩形面積公式：矩形的長a乘以寬b，數學公式表示形式為S=ab;第四，平行四邊形面積公式：底邊a乘以高h，數學公式表示形式為S=ah;第五，兩個全等的平面圖形的面積相等;第六，任何一個封閉的平面圖形，其總面積等于各個部分面積相加之和。

2.與面積相關的定理

第一，兩個相似的三角形的面積比與相似比的平方相等;第二，兩個三角形的底邊跟高若是相等，則這兩個三角形的面積相等;第三，梯形、三角形、平行四邊形等平面圖形，若底和高都相等，則面積相等;第四，兩個三角形的對應邊相等且夾角互補，則這兩個三角形的面積相等;第五，相互等角或相互補角的兩個三角形的面積之比，等于夾角或補角的兩邊的乘積的比;第六，等角的平行四邊形面積比等于夾等角的兩邊乘積的比。

三、面積法在初中數學解題中的應用

中國著名的院士張景中在《仁者無敵面積法》中大量運用面積法進行幾何圖形求解及證明，充分證明了面積法在解題中的優越性。在中學數學解題中，面積法既可以用來計算平面幾何圖形的大小，又可以將面積作為一個橋梁以求解，或證明其他一些表面相似，以及看似無關實則相關的非面積幾何問題和代數問題。以下，筆者就簡要介紹面積法在初中數學解題中的幾種應用。

1.面積法建構幾何等量關系求解邊長

如“已知△ABC，把AD設為Rt△ABC的斜邊BC上面的高，并且設定AB=45，AC=60，對AD進行求解，即求AD。”本題是中學數學中最常見的直角三角形求高問題。一般解題思路主要是依據相似三角形和勾股定理進行求解，解題過程較為復雜，而采用面積法建構等量關系，使得解題更為高效、快捷。學生從已知條件中得知題中有兩個垂直關系，根據勾股定理可先求出線段的長，再根據面積法建構幾何等量關系AB·AC=BC·AD，從而求出線段AD等于36。

2.面積法求證線段比例等式

采用面積法證明線段的比例等式十分巧妙，其通過構建面積這一橋梁，來證明幾何圖形的線段比例等式關系，直觀而又清晰，極易為多數初中生所接受。如已知△ABC，設E為AD的中點，通過對BE進行連接，并且把它延長交AC于點F，設BD∶CD=2∶1，求證AF∶FC=2∶3。對于該證明題，我們可以通過面積法進行求證。首先， 對CE進行連接，設S△CED=x，由于AE=DE，可以知道S△ACE=x，由BD∶CD=2∶1，可以知道S△BED=2x;由AE=DE，得出三角形AEB的面積等于三角形BED;設S△EFC=y，則可以得到等式，計算得出x=y。

3.面積法計算概率

中學數學教材也有涉及概率的內容。當計算一些較為簡單的隨機事件所發生的概率時，除了使用列表分析法之外，學生還可以采用面積法進行計算。如在解“在一個黑白相間面積均等分布的圓盤中，轉動圓盤，求圓盤停止時指針指向非陰影部分的概率”這道題目時，學生運用傳統解題方法，過程極為復雜，而利用面積法求解該題，則十分簡易。

（作者單位：江西省贛州市南康區龍嶺中學）