高中數學函數單調性概念教學

陳佩

摘要：正確理解高中數學概念是學生學好數學的前提。在高中數學教學中，教師要重視數學概念的探究，引導學生參與數學概念的建立過程，體會概念蘊含的數學思想。本文主要探討了高中數學函數單調性的概念教學。

關鍵詞：高中數學 ? 函數單調性 ? 概念

在數學概念教學中，教師很少會創設情境，讓學生感知數學概念，導致學生記不住概念，也難以理解概念的本質。筆者認為，教師要積極引導學生參與數學概念的建立過程，讓學生理解概念的來龍去脈，直觀地感知或通過實驗逐步認識事物的本質，認識概念。

函數在高中數學中占有重要地位，其中函數的單調性最為特殊。筆者以北師大版必修1“函數單調性概念”教學為例，談談如何重視概念的探究過程，讓學生感悟概念內涵。

一、創設情境，引出課題

問題1：“上節課我們學習了函數的概念和函數的三要素，了解到函數是描述事物運動變化規律的數學模型。在生活中，我們常聽到房價上漲、氣溫升高、油價上漲、股票下跌這些話，你能舉出一些描述這些上升、下降變化規律的成語嗎？（如每況愈下、此起彼伏、蒸蒸日上……）”

問題2：“你能根據‘蒸蒸日上‘每況愈下‘波瀾起伏分別舉出一個函數嗎？”

問題3：“觀察y=2x，y=-2x，y=x2的函數圖像，說一說每個圖像從左至右是上升還是下降？”

引出課題：函數圖像的變化規律反映了函數的一種性質，這就是函數的單調性。

二、歸納探索，形成概念

問題4：“還記得初中時，你們用什么語言描述圖像的‘上升‘下降嗎？”

筆者以二次函數y= x2為例，引導學生觀察隨著自變量x的增大，函數值y如何變化？學生思考，得出結論，教師板書：圖像在y軸左側“下降”，即當x<0時，y隨著x增大而減小;圖像在y軸右側“上升”，即當x>0時，y隨著x增大而增大。我們稱前者為減函數，稱后者為增函數。

問題5：“還是以y=x2為例，y軸右側，圖像呈上升趨勢，即x>0時，y隨著x增大而增大。結合解析式用數學語言怎么描述？”

經過小組討論，得出以下幾種方式：

①在（0，+∞）內，x取1，2，3，4，5，根據解析式得到f（1）

f（4）

②在（0，+∞）內，設x1

x3……xn，如果得到f（x1）

f（x3）……f（xn） ，就可以得到x∈（0，+∞）時，y隨著x增大而增大;

③在（0，+∞）內，任意取x1，x2，讓x1

接著，最后引導學生分析比較以上三種方式，得出增函數數學符號語言，并板書。

問題6：“你能找出增函數概念的關鍵詞嗎？”

問題7：“你能類比增函數，給減函數下定義嗎？”

問題8：“初中學習了以下三類函數，你能通過觀察圖像指出函數在哪些區間上是單調的，單調性如何？①單調區間什么時候寫開區間，什么時候寫閉區間？②函數f （x）=在（-∞，0）和（0，+∞）上都是減函數，能否說這個函數在（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數？

三、初步應用，鞏固概念

例題1：判斷y=的單調性，并用定義證明它在（0，+∞）上的單調性。

引導學生討論證明方法后，教師應指導有困難的學生。學生完成后，教師可選取幾個典型解題過程投影并分析，組織學生討論解題過程中哪個是完整、正確的，最后總結出利用單調性定義證明函數的單調性的一般步驟為任取——作差——變形——定號——下結論。

最后，教師可布置變式練習，要求學生畫出函數f（x）=|x2-4x-5|的圖像，然后根據圖像寫出單調區間。

四、總結反思，提升能力

“函數單調性概念與初中所學的‘y隨x的增大而增大或圖像從左至右逐漸上升這種定義方法是否一致？兩者是否存在區別？”筆者設計以上兩個問題，讓學生經歷了函數單調性概念的建構過程。借助一次、二次函數等圖像，引導學生發現函數單調性的“上升”“下降”的直觀特征（圖形語言），再結合二次函數的圖像與對應值表定性描述增、減變化的數字特征（自然語言）：x增大，y增大（減小）。最后，教師進一步利用解析式研究，定量精確描述上述特征（符號語言），最后從特殊到一般給出增（減）函數的形式化定義。

參考文獻：

[1]羅小偉.中學數學教學論[D].南寧：廣西民族出版社，2000.

[2]俞湖紅.例談高中數學概念教學的有效策略[J].中等職業教育，2012，（6）.

[3]孔小明.函數單調性”的教學設計與說明[J].中學數學雜志，2010，（9）.

（作者單位：江西省豐城市第九中學）