“以靜制動，動靜結(jié)合”解決初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)型幾何問題

張春華

摘 要：初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)幾何一直是考查的難點(diǎn)、熱點(diǎn)，對學(xué)生的綜合能力要求很高。那么，教師如何引導(dǎo)學(xué)生解決動態(tài)幾何問題呢，教會學(xué)生“以靜制動，動靜結(jié)合”是解決此類問題的關(guān)鍵所在。

關(guān)鍵詞：動態(tài)幾何；動靜結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想

學(xué)習(xí)是一個不斷勇于嘗試和發(fā)現(xiàn)錯誤的過程，錯誤是不可避免的。動點(diǎn)型幾何問題，其實(shí)就是以幾何圖形為背景，點(diǎn)線面為載體的數(shù)學(xué)函數(shù)問題。我們要學(xué)會以靜制動，動靜結(jié)合，以不變應(yīng)萬變來解決此類問題。

一、動點(diǎn)型幾何問題教學(xué)中存在的問題

在初中數(shù)學(xué)的具體教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在以下問題并對其進(jìn)行了分析研究。這種綜合題目是最令學(xué)生頭疼的題目，也是我們教學(xué)中的重點(diǎn)難點(diǎn)。

筆者認(rèn)為要想解決動點(diǎn)幾何問題，需要將此類問題簡單化，將動態(tài)轉(zhuǎn)化為靜態(tài)。比如說有個動態(tài)幾何圖很復(fù)雜，我們可以將幾何圖分割成許多小部分來看。這樣我們就可以將其簡單化、靜態(tài)化。我們必須要學(xué)會轉(zhuǎn)化。

下面我們來看一道例題：在三角形ABC中，角ABC等于90°，AB等于4，BC等于3，O是邊AC上的一個點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心作半圓，與邊AB相切于點(diǎn)D，交線段OC于點(diǎn)E，作EP垂直于ED，交AB于點(diǎn)P，交邊CB的延長線于點(diǎn)F。當(dāng)BF=1時，求線段AP的長。

對于這個問題，我們會發(fā)現(xiàn)有兩種情況，這時我們要分開解答，我們要學(xué)會轉(zhuǎn)化，我們可以分開畫圖。這樣就可以將其簡單化、靜態(tài)化。

情況1，半圓O的半徑R較小時，EP交AB于點(diǎn)P，P在AB之間；交CB延長線于點(diǎn)F，F(xiàn)在B的左側(cè)：半圓O與邊AB相切于點(diǎn)D，∠ADO=90°，∠ODE=∠OED，（因?yàn)镈O=EO=R），∠ODE+∠EDP=∠OED+∠CEF=90°，所以∠EDP=∠CEF，直角△PBF∽△PED，（AAA），所以∠BFP=∠EDP，故∠BFP=∠CEF，因此CF=CE，CE=CF=CB+BF=3+1=4，作EG垂直BC，交BC于G，直角△EGC∽△ABC，（AAA），EG∶AB=EC∶AC，EG=4× = ，同理，CG= ，F(xiàn)G=FB+BG=FB+BC-CG=1+3- = ，直角△PBF∽△EGF，（AAA），PB∶EG=FB∶FG，PB=（ ）/（ ）=2，AP=AB-PB=4-2=2；

情況2，半圓O的半徑R較大時，EP交AB延長線于點(diǎn)P，P在B下方；交BC于點(diǎn)F，F(xiàn)在BC之間：與情況1類似過程，可以得CF=CE，CE=CF=BC-BF=3-1=2，EG= ，CG= ，F(xiàn)G=FC-CG=2- = ，PB∶EG=FB∶FG，PB=（ ）/（ ）=2，AP=AB+PB=4+2=6；

做動態(tài)幾何問題筆者認(rèn)為需要注意以下幾點(diǎn)：

1.掌握運(yùn)動變化的趨勢；

2.找出運(yùn)動初始時的幾何關(guān)系和將要求出的幾何量；

3.動靜結(jié)合，以靜制動，以不變應(yīng)萬變（這點(diǎn)很重要，上面筆者已經(jīng)介紹很詳細(xì)了）；

4.找一下幾何關(guān)系，代數(shù)關(guān)系（運(yùn)用一些定理以及一些特殊幾何圖形的幾何量）討論是否分類，是否有臨界點(diǎn)，根據(jù)這些可以列出相應(yīng)的方程。

下面我們再看一道例題。

例：有一邊長為5cm的正方形ABCD和等腰三角形△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，點(diǎn)B、C、Q、R在同一條直線l上，當(dāng)C、Q兩點(diǎn)重合時開始，t秒后正方形ABCD與等腰△PQR重合部分的面積為Scm2。解答下列問題：

（1）當(dāng)t=3秒時，求S的值；

（2）當(dāng)t=5秒時，求S的值；

（3）當(dāng)5秒≤t≤8秒時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值。

分析：當(dāng)?shù)妊鱌QR從C、Q兩點(diǎn)重合開始，以1cm/秒的速度沿直線l向左勻速運(yùn)動時，正方形ABCD與等腰△PQR重合部分圖形的形狀在改變，因此，我們需要根據(jù)運(yùn)動過程中的特殊位置分類討論解決。運(yùn)動過程中有四個特殊位置點(diǎn)，它們分別是點(diǎn)B、C、R和等腰△PQR底邊的中點(diǎn)E，這四個特殊位置點(diǎn)就是分類討論問題的“分界點(diǎn)”。

二、如何克服困難，成功教學(xué)

1.教師方面，我覺得老師可以從動靜結(jié)合，以靜制動出發(fā)，將動態(tài)幾何簡單化、靜態(tài)化。不僅要教會學(xué)生做會一道題，授之以魚，不如授之以漁，讓學(xué)生學(xué)會做這一類題。克服學(xué)生的焦慮、害怕心理。

2.學(xué)生方面，我們不僅要做題，做題目的同時也要想題，不要只會做一道題，要學(xué)會做一類題。要把這類題目的方法找到。我認(rèn)為學(xué)生必須掌握動與靜的關(guān)系，將其簡單化、動態(tài)化。

通過對初中動點(diǎn)幾何型問題的分析，我們針對師生共同的問題和原因，做出了一些相應(yīng)的措施，期待在新課標(biāo)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，將動點(diǎn)幾何這一大難題突破，或?qū)逃绞椒椒ǖ母母锾岢鲆恍┙ㄗh。

參考文獻(xiàn)：

顯蓮.論新課程改革中教師角色的轉(zhuǎn)變[J].教育探索，2004（2）.

編輯 高 瓊