數形結合思想在“數與形”教學中的實踐與思考

浙江杭州市蕭山區城東小學（311200） 俞 波

【教材分析】

1.解題策略直觀，易于激發學生興趣

“數與形”一課最大的優點是一目了然。如例1（如下圖），圖中的算式與圖形一一對應，學生立刻就能感受到數形結合的美。在之前的教學中，數形結合思想已多有涉及，所以在六年級教學數與形的專題，其實是促進學生原有知識生長。

2.題目類型多樣，便于拓展思維寬度

例1是利用各種不同的圖形來揭示數的規律，讓學生學會用圖形的面積、數量、邊長等不同維度的量來建立等式關系，其重點是揭示規律。而例2“計算屬于利用圖形來計算有規律的算式，目的是引導學生運用圖形解決計算問題。例1和例2雖然都是典型的數形結合的題目，但它們并不屬于同一個計算范疇，有利于拓展學生的思維寬度。

3.思考方法抽象，利于培養建模能力

例2展示的是用圖形表示抽象的算式，但要想到用這種方法是需要一定的數學能力的，這就給教師培養學生的建模意識創造了機會和條件。

【實踐研究】

一、活用教材，優化思考方法

1.用數學的眼光觀察圖形

教學例1時，若直接出示課本中的算式和圖形，大部分學生都不能夠將圖形與算式聯系起來，教師最終只能直白地告知他們例題的思想，數學思考的重要價值就會因此喪失。對此，筆者采用繪畫的方式引入教學內容。

師：老師畫了一個圖，你們想看嗎？（課件出示圖形，如右圖所示）你們能否從數學的角度來找出這幅圖中蘊含的數呢？

生1：42=16。

師：逐一涂上顏色，你還能寫出一些等式來嗎？

生2：1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42。

用這樣的方式呈現例題，有利于學生深入解讀和認識圖形，更有利于后續將算式與圖形進行對比思考，真正用數的抽象揭示圖的神秘。

2.根據等式的變化尋找規律

上面這道例題的計算稍顯簡單，為此教師需要給學生制造一些思維沖突。

師：根據上面的等式和圖形，你有什么發現？

生3：1+3+5+7+9=52，1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=102。

生4：從1開始的連續n個奇數的和等于n2。

生5：重點要注意“連續”“奇數”“從 1 開始”。

這種讓學生尋找算式規律的方式，使得學生能夠更快速地掌握算式的特性，也能尋找到圖形屬性與算式的聯系。

3.利用規律解決問題

師：根據例 1 的結論算一算。1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝（ ），1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝（ ）。

讓學生利用例1的規律解決問題，使之充分體驗用數據揭示形的神秘的樂趣，很好地實現了預期的教學目標：讓學生感知數形結合的好處，知道用圖形來說明數的規律可以事半功倍。

二、創設平臺，引發解題感悟

1．給予機會獨立思考，思維有深度

教師適當放手，給予學生獨立思考的機會，是實現深度思考的重要途徑。如例2，“計算的教學。首先，教師請學生說一說題目的具體含義，啟發學生弄明白省略號的具體意思以及分母的變化規律；其次，教師追問：“這樣的題目你覺得該怎么解答？”學生提出的方法有通分計算、猜測規律、畫圖驗證等。這樣就很好地實現了教學目標：實踐操作，學會數形結合的具體操作方法，感知到可以用線段、正方形、圓等圖形來揭示數據的規律。

2．提供平臺深入探究，學習有寬度

進行探究實踐，是學生領悟數學思想的最佳策略。

（1）通分計算，尋找規律

生6：隨著加數的增加，結果逐漸變大，越來越接近1。

師：為什么最后結果接近于1？（啟發學生發現畫圖的優越性——直觀）

（2）繪制圖形，展示過程

首先，請學生上臺講解自己畫的圖形。

其次，教師在學生展示的基礎上利用課件出示與各種圖形對應的思維過程。

揭示：陰影部分的和=1-式子中的最后一個分數。

揭示：空白不斷變小，逐漸接近0，陰影部分就不斷變大直到接近于1。

這樣的探究活動，不僅讓學生深刻地理解了數與形的內涵，更使學生突破教學重難點，有利于學生不斷拓展數學學習的寬度。

3．幫助學生形成策略，收獲有厚度

學生獨立探究后給出了各種圖形，教師將這些圖形放在一起，并提問：“通過畫圖來解決問題有什么好處？”最后，教師總結：“同樣是揭示分數的計算規律，我們可以用不同的圖形來實現，可以用線段、可以用正方形、也可以用圓，也許還有別的圖形。”這樣的回味學習將使得學生的收獲具有厚度。

三、借助模型，形成數學思維

1．數形結合突破難點——從學習的基礎出發

數學廣角的內容都比較抽象，因此，在教學過程中教師要給出一些具體、形象、直觀的圖形去幫助學生理解。

師:當遇到難題或比較復雜的問題時，你會用什么辦法解決？（畫圖）為什么喜歡畫圖？

師:如果題目本身就是圖形題，怎么辦？（找出圖形中的規律）

師：像之前用圖形來解決相關問題的方法就是數形結合的方法，以前學過的內容有用到這種方法嗎？（加減法的意義、分數意義等）

師：下面的算式與圖形分別有什么樣的關系？

（a+b）c=ac+bc，（a+b）2=a2+2ab+b2

通過研究算式與圖形的對應關系，用式子描述圖形面積，用圖形面積刻畫式子，兩相對照，學生就能深刻感知數形結合的重要性。

2．圖形推算落實重點——從學習的過程出發

本課重點是讓學生經歷推理和探究圖形與算式之間關系，滲透數形結合的思想。為此，首要的是將數與形關聯在一起的本質找出來。教師可提問：“前面的例題是利用圖形的什么維度來建立關系的？”

3．抽象建模實現拓展——從學習的方法出發

本課的靈魂是抽象建模，首先要讓學生建立解決此類問題的模型；其次要讓學生形成思考和推理的意識。為此，教師可進行拓展練習，通過在練習中運用數形結合解決問題，凸顯其實用性，同時引導學生感知數形結合不單是用圖形來解決數的問題的，其實很多圖形中也蘊含著數的規律。

如用數的抽象來揭示圖形的神秘：

照這樣下去，第n個圖形有（ ）個紅色小正方形和（ ）個藍色小正方形。

這樣就能讓學生明白做這樣的題目首先要揭示圖形個數的規律，并且要用前面個數少的圖形中去揭示和發現這個規律，這是解決問題的基本技巧。

4．回顧過程完成梳理——從學習的序列出發

數學學習是有順序的，所以數學知識在學生的頭腦中的存儲是有層次、有先后的。為此，非常有必要讓學生對本節課進行適當的回顧與小結，從而使得所學知識秩序井然，使得從本課所學的方法與之前的經驗得以合理的整合。

【研究成果】

在本課的教學中，教師通過引導學生用數學的眼光觀察，讓學生明白可以用面積、數量、長度等將數與形聯系起來，算式可以用正方形、圓形、線段等不同的圖形來展現。這樣的教學落實了三個教學目標。（1）滲透了數學思想方法：學生能用圖形來解決數的問題，能用數的規律來解決圖形的問題。（2）掌握一種方法：讓學生在例題的分析與講解中順利的將數與形進行合理溝通。（3）提升一種能力：學生豐富了自身分析問題的手段與策略，明白數學中的問題并非孤立的，可以從另一個角度來解決問題。