例談數學核心素養在高中數學試題中的體現

☉甘肅省秦安縣第二中學 羅文軍

新課標修訂組認為：數學核心素養是具有數學基本特征的，適應個人終身發展和社會發展需要的人的思維品質與關鍵能力.高中階段數學核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.在高中數學學習中，通過解題提高自身的數學核心素養，是每位同學都必須面對的問題.本文結合具體試題來談一下高中數學試題中是如何體現核心素養的.

一、數學抽象

數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的素養.主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，用數學語言予以表征.

得1≤x＜2，故答案為［1，2）.

評注：本題從具體的題設背景中，聯想導數的運算法則［f（x）·g（x）］′=f′（x）·g（x）+f（x）·g′（x），抽象出函數g（x）=x·f（x），體現了數學抽象的核心素養.本題主要考查利用導數研究函數的單調性、構造函數解不等式，屬于難題.聯系已知條件和結論，構造輔助函數是高中數學中一種常用的方法，解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類的問題，設法建立起目標函數，并確定變量的限制條件，通過研究函數的單調性、最值等問題，常可使問題變得明了，準確構造出符合題意的函數是解題的關鍵.解這類不等式的關鍵點也是難點就是構造合適的函數，構造函數時往往從兩方面著手：①根據導函數的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據選項的共性歸納構造恰當的函數.

二、邏輯推理

邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的素養.主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.

例2 已知數列｛an｝滿足a1=1，an+1=3an+1.

評注：第（1）問中，通過遞推關系式構造出一個我們比較熟悉的數列，從而求出數列的通項公式，運用了演繹推理的方法，體現了邏輯推理的核心素養，也體現出數學抽象的核心素養.第（2）問運用了將分母縮小的放縮法，將復雜問題簡單化，證明不等式的過程運用了演繹推理，體現了邏輯推理的核心素養.

三、數學運算

數學運算是數學活動的基本形式，數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養.數學中的運算主要有兩大類：一類是純代數運算；一類是借助幾何圖形進行的代數運算.

（1）求橢圓Γ的方程；

（2）直線l與圓O：x2+y2=b2相切于點M，且與橢圓Γ相交于不同的兩點A，B，求|AB|的最大值.

綜上所述，|AB|的最大值為2.

評注：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系，所使用的方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點及弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用.第（1）問和第（2）問的解答過程中，都是借助幾何圖形進行的代數運算，考查了運算求解能力，體現了數學運算的核心素養.解析幾何的運算通常集“繁、長、巧”于一體，讓很多同學望而生畏.究其原因，主要是同學們在運算長度的判斷上出了問題：不能預估選擇的解題方向會有怎樣的運算及運算長度.若在解題過程中，同學們能認識到解題環節產生的運算，并通過分析進行合理的調控，更深入地理解算理，這樣才可以提高運算的靈活性.

四、數據分析

數據分析是指針對研究對象獲取數據，運用統計方法對數據進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的素養.主要包括：收集數據，整理數據，提取信息，構建模型，進行推斷，獲得結論.

例4 （河南省長葛市一高2018屆高三上學期開學考試）共享單車是指企業在校園、地鐵站點、公交站點、居民區、商業區、公共服務區等提供自行車單車共享服務，是共享經濟的一種新形態.一個共享單車企業在某個城市就“一天中一輛單車的平均成本（單位：元）與租用單車的數量（單位：千輛）之間的關系”進行調查研究，在調查過程中進行了統計，得出相關數據見下表：

租用單車數量x（千輛） 2 3 4 5 8每天一輛車平均成本y（元） 3.2 2.4 2 1.9 1.7

根據以上數據，研究人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型，得到兩個回歸方程，方程甲：，方程乙（1）為了評價兩種模型的擬合效果，完成以下任務：①完成下表（計算結果精確到0.1）（備注：e^i=yi-y^i，e^i稱為相應于點（xi，yi）的殘差（也叫隨機誤差））；

租用單車數量x（千輛） 2 3 4 5 8每天一輛車平均成本y（元） 3.2 2.4 2 1.9 1.7模型甲 估計值y^i 2.4 2.1 1.6殘差e^i 0 -0.1 0.1模型乙 估計值y^i 2.3 2 1.9殘差e^i 0.1 0 0

②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和Q1及Q2，并通過比較Q1，Q2的大小，判斷哪個模型擬合效果更好.

（2）這個公司在該城市投放共享單車后，受到廣大市民的熱烈歡迎，共享單車常常供不應求，于是該公司研究是否增加投放.根據市場調查，這個城市投放8千輛時，該公司平均一輛單車一天能收入10元，6元的概率分別為0.6，0.4；投放1萬輛時，該公司平均一輛單車一天能收入10元，6元的概率分別為0.4，0.6.問：該公司應該投放8千輛還是1萬輛能獲得更多利潤？（按（1）中擬合效果較好的模型計算一天中一輛單車的平均成本，利潤=收入-成本）.

分析：（1）①通過對回歸方程的計算可得兩種模型的估計值y^i，代入e^i=yi-y^i，即可得殘差；②計算可得Q1，Q2，比較Q1與Q2的大小可知哪種模型的擬合效果更好；（2）分別計算投放8千輛和1萬輛時該公司一天獲得的總利潤，即可得結論.

解：（1）①經計算，可得下表：

租用單車數量x（千輛） 2 3 4 5 8每天一輛車平均成本y（元） 3.2 2.4 2 1.9 1.7模型甲 估計值y^i 3.1 2.4 2.1 1.9 1.6殘差e^i 0.1 0 -0.1 0 0.1模型乙 估計值y^i 3.2 2.3 2 1.9 1.7殘差e^i 0 0.1 0 0 0

②Q1=0.12+（-0.1）2+0.12=0.03，Q2=0.12=0.01. 因為Q1＞Q2，故模型乙的擬合效果更好.

（2）若投放量為8千輛，則公司獲得每輛車一天的收入期望為10×0.6+6×0.4=8.4，所以一天的總利潤為（8.4-1.7）×8000=53600（元）.

所以投放1萬輛能獲得更多利潤，應該增加到投放1萬輛.

評注：本題主要考查了回歸模型的殘差分析及概率中的數學期望.本題主要涉及數據分析的數學核心素養.其中第（1）問的第①小問中分別計算模型甲和模型乙的估計值和殘差，可以看成是數據分析中的整理數據和提取信息；第（1）問的第②小問中計算模型甲與模型乙的殘差平方和Q1及Q2，并比較Q1，Q2的大小，可以看成數據分析中的構建模型、進行推斷、獲得結論，最終得出的結論是模型乙的擬合效果更好.第（2）問中，利用模型，計算每輛車一天收入的數學期望，再計算出總利潤，比較利潤大小，得出選擇投放1萬輛.

五、直觀想象

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的素養.直觀想象是發現和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象活動的思維基礎.

例5 （云南師范大學附屬中學2018屆高考適應性月考）如圖1，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1C與平面A1ADD1及平面ABCD所成角分別為30°，45°，M，N分別為A1C與A1D的中點，且MN=1.

圖1

（1）求證：MN⊥平面A1ADD1；

（2）求二面角A-A1C-D的平面角的正弦值.

分析：（1）根據中位線定理可得MN//CD，由長方體的性質可得CD⊥平面A1ADD1，從而可得結果；（2）以AB，AD，AA1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系A-xyz，分別求出平面A1CD與平面A1AC的一個法向量，根據空間向量夾角的余弦公式及同角三角函數之間的關系，可得結果.

解：（1）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，因為M，N分別為A1C，A1D的中點，所以MN為△A1CD的中位線，所以MN∥CD.

又因為CD⊥平面A1ADD1，所以MN⊥平面A1ADD1.

（2）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，因為CD⊥平面A1ADD1，所以∠CA1D為A1C與平面A1ADD1所成的角，即∠CA1D=30°.

又因為A1A⊥平面ABCD，所以∠A1CA為A1C與平面ABCD所成的角，即∠A1CA=45°.

所以MN=1，CD=2，A1C=4，A1A=，AC=.

如圖2，分別以AB，AD，AA1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系A-xyz，所以A（0，0，0），D（0，2，0），C（12，，C（2，2，0），B（2，0，0）.

圖2

評注：本題主要考查線面垂直的判定、利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，從而建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組，求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.本題第（1）問利用幾何直觀，借助題設和圖形中的平行關系和垂直關系，利用了線面垂直的性質定理證明了線面垂直.第（2）問利用幾何直觀建立空間直角坐標系，利用法向量法，將幾何問題代數化，體現出直觀想象和數學運算的核心素養.

六、數學建模

數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的素養.

例6（江蘇省常州市橫林高級中學2017～2018學年第一學期高三月考）某農戶準備建一個水平放置的直四棱柱形儲水器（如圖3），其中直四棱柱的高AA1=10m，兩底面ABCD與A1B1C1D1是高為2m，面積為10m2的等腰梯形，且若儲水窖頂蓋每平方米的造價為100元，側面每平方米的造價為400元，底部每平方米的造價為500元.

圖3

（1）試將儲水窖的造價y表示為θ的函數；

（2）該農戶如何設計儲水窖，才能使得儲水窖的造價最低，最低造價是多少元？（取=1·73）

分析：（1）過A作AE⊥DC，垂足為E，令AB=x，先將x用θ表示，再求出CD，即可將儲水窖的造價y表示為θ的函數；（2）利用導數確定函數的單調性，即可求出θ為何值時有最小值，從而可得如何設計儲水窖，才能使得儲水窖的造價最低.

解：（1）如圖4，過A作AE⊥DC，垂足為E，則AE=2，

圖4

答：當∠ADC=60°時，造價最低，最低造價為51840元.

評注：本題主要考查閱讀能力及數學建模能力、函數的解析式，屬于難題.與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現實生活的實例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數學模型進行解答.解答本題的根據是將儲水窖的造價y表示為θ的函數，從而利用導數求最小值.本題也考查了數學應用能力和創新意識.

1.中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）［M］.北京:人民教育出版社，2017.F