巧構知識導圖 妙用一題多解

☉河南省內鄉縣高級中學 齊若貝

一首優美的經典音樂，不論哪個歌手翻唱，抑或用不同的樂器演奏，都是旋律優美，百聽不厭.平時我們有做不完的題，而每道題有可千變萬化，我們在解一些好題、難題時，往往百思不得其解，絲亂如麻，正所謂“東風夜放花千樹，更吹落，星如雨”，但如果學會用策略導圖，進行不同事物之間轉換，從不同角度進行不同的解法，然后從中尋求最簡捷的方法，以待考試用，厚積而薄發，問題自然迎刃而解，正所謂“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處”.如此怎不讓人嘆為觀止，拍案叫絕，回味無窮.

下面以一道填空題為例，談談用多元思維求解的策略方法.

一、問題

已知x，y都是大于0實數，若x2-xy+y2=1，求x+2y的取值范圍是__________.

分析：這道題雖是填空題，還是有一定困難的.看似簡單，似曾相識，思來想去，求不出正確答案.這樣的題，一定要先分析，厘清思路后再動手.

二、繪制核心知識導圖

利用核心知識導圖的構建，通觀了概念間的立體聯系，形象快速地把握知識點間的關聯，在分析和解決難題時思路非常清晰，讓解題思路看得見，解題方法更快捷.本題主要采取6種方法，概括8個方面知識點，體現3種數學思想.

三、解法

（一）方法1：參數方程法

感悟：本法從圓的方程形式“x2+y2=1”受到啟發，下面就是想辦法怎樣去掉條件式“x2+y2-xy=1”中的“xy”就好了，然后利用三角函數參數方程進行換元即可，此法比較大眾化，是最易想到的方法.

（二）方法2：判別式法

設x+2y=t，則x=t-2y，代入x2+y2-xy=1，整理后得7y2-5ty+t2-1=0，則判別式Δ=-3t2+28≥0，由已知條件可得t＞0，解得

又因為y＞0，在函數f（y）=7y2-5ty+t2-1中，根據二次函數性質，所以f（0）＞0，解得t＞1.

感悟：此法巧妙轉化方程有解問題，是最基本的一種方法，也是最常用、最易想到的方法.

（三）方法3：和差換元法

令x=m+n，y=m-n，代入x2+y2-xy=1，整理后得m2+3n2=1，又因為x=m+n＞0，y=m-n＞0，則m2+3n2=1表示橢圓的一部分，即直線m+n=0的上方，直線m-n=0的下方.

感悟：此法多用于數學競賽中，妙在這種變換能改變問題的結構形式，使解題思路清晰，靈活新穎，步驟簡潔，讓人大開眼界.

（四）方法4：斜三角聯想法

由已知條件知，可將x，y分別看成△ABC的兩邊a，b，則c=1，由x2+y2-xy=1，得a2+b2-ab=c2.

感悟：本法根據結構特征，巧妙聯想到斜三角形函數形式，考查知識點多，既有三角函數變換、單調性，又有兩角和差公式、正余弦定理，必須具備一定的推理能力、計算能力及聯想能力.

（五）方法5：不等式配湊法

由x2+y2-xy=1，得xy=x2+y2-1.

設x+2y=t，則t2=x2+4y2+4xy，整理后可得t2=5x2+8y2-4.

感悟：有些題實在“看不出來”的情況下，把不等式變形，然后利用兩次平方，待定系數法進行拼湊.此題內涵豐富，簡約不簡單.

（六）方法6：導數法

感悟：此法出現分類討論，也涉及函數的單調性問題，一定要注意函數的定義域，是分段函數的要分開計算.但知識新穎，方法靈活，不失為一種方法.

（七）方法7：柯西不等式法

感悟：本題解法與導數法的前半部分一樣，求t=x+2y=2x+的最值時用到柯西不等式.挖掘出題目隱含的條件，合理轉化，巧妙拼湊出柯西不等式的結構形式，是解題的關鍵和亮點.

至此，我們已把問題研究得清晰透徹，也使腦洞大開.很明顯，三角函數換元、判別式應用、圖形結合是我們比較常用的方法，其他方法也很有學問，很耐人尋味，在平時練習的過程中，應不滿足于一種解法，多思則多解，遇到具體問題才能做到隨機應變，達到快速求解的目的.博觀約取，厚積薄發，這是一個持久漸進的過程，貴在持之以恒.正所謂縱橫廣博，積累深厚，方能有所摘