極化恒等式的應用

☉鄭州外國語學校 姚思宇

向量是溝通代數與幾何的橋梁，向量的坐標運算為幾何運算插上了“代數的翅膀”，從而實現了向量與幾何、代數的巧妙結合.a·b=|a||b|cosθ建立了向量的數量積與兩個向量的長度及其夾角之間的關系，極化恒等式a·b=卻建立了向量的數量積與幾何長度之間的關系.因此對研究向量的數量積有廣泛應用.

一、極化恒等式

人教版必修4第二章第五節第一課時“平面幾何中的向量方法”的例1中，證明了平面幾何中一個常見的結論“平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍”.

圖1

然而①-②可得另外一個結論：

二、應用極化恒等式求向量的數量積

向量作為一種工具，由于它獨特的性質，在全國各地的高考中成為創新命題的出發點，向量試題有著越來越綜合、越來越靈活的命題趨勢，極化恒等式成為越來越重要的考查點.

例1 （2012年浙江卷）在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則________.

解析：如圖2，因為M是BC的中點，連接AM，根據極化恒等式有

圖2

圖3

例2 （2013年浙江卷）在△ABC中，P0是邊AB上一定點，滿足，且對于邊AB上任一點P，恒有，則（ ）.

（A）∠ABC=90° （B）∠BAC=90°

（C）AB=AC （D）AC=BC

由幾何性質知，P0D⊥AB，又因為CE平行P0D，所以CE⊥AB，故AC=AB，所以正確答案為D.

例3 （2016年江蘇卷）如圖4，在△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD上的兩個三等分點，則=_______.

圖4

三、應用極化恒等式求向量數量積的最值和范圍

求解平面向量的數量積的最值和取值范圍時可以從定義或坐標運算入手，但是解題過程常常會由于計算復雜、過程繁冗而導致出錯，使用極化恒等式，往往能化繁為簡，快速求解.

例4 已知正三角形ABC的外接圓O的半徑為2，點P是圓O上的一個動點，則的取值范圍是________.

解析：如圖5，取AB的中點D，連接PD，O為△ABC的重心.因為△ABC為正三角形，所以O在CD上，OC=2OD=2，CD=3，AB=2，根據極化恒等式有：

圖5

例5 （2012年安徽卷）平面向量a，b滿足|2a-b|≤3，則的最小值為________.

評注：本題直接利用極化恒等式進行恒等變形，變形后對等式進行適當的放縮，要注意等號成立的條件.

例6 如圖6，正方形ABCD的邊長為4，動點P在以AB為直徑的半圓弧上，則的 取 值 范 圍 是________.

解析：取CD中點E，連接PE，在△PCD內根據極化恒等式有，由圖6知，所以∈［0，16］.

圖6

評注：本題利用極化恒等式將向量的數量積進行代數轉化，由于P是動點，就需要探求的取值范圍.

例7 如圖7，在△ABC中，點E，F分別是線段AB，AC的中點，點P在直線EF上，若S△ABC=2，則的最小值______.

解析：如圖7，取BC中點D，在內根據極化恒等式有：

圖7

例8 點P是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上的 一 點 ，則 向 量的取值范圍是________.

評注：本題是極化恒等式在立體幾何中的應用，題目比較簡單，目的在于說明極化恒等式不僅適用于平面幾何，也適用于空間幾何.

例9（2017年全國卷Ⅱ）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，的最小值為_______.

解析：如圖8，設BC，AD的中點分別為D和E，連接PA，PB，PC，PD，PE，則，根據極化恒等式可得.因為△ABC是邊長為2的等邊三角形，所以，，當時的最小值為

圖8

極化恒等式不僅適用于平面向量，同樣適用于空間向量，以上例題我們可以發現極化恒等式對于解決向量的數量積有著非常重要的作用，掌握了這種方法為解決向量數量積拓寬了思路和方法.

1.王宏權，李學軍，朱成萬.巧用極化恒等式，妙解一類高考題考題［J］.中學教研（數學），2013（8）.

2.單長松.平面向量中不得不提的一個恒等式［J］.中學教研（數學），2014（1）.

3.張城兵.極化恒等式的妙用［J］.高中數學教與學，2016（7）.

4.楊蒼洲，周蘭英.例談極化恒等式的應用［J］.中小學數學：高中版，2016（10）.