數學欣賞視角下提升解題能力的實證研究*

☉江蘇省太倉高級中學 張 敏

一、提升解題能力的重要意義

與初中數學不同，高中數學無論是內容上還是學習難度上都有明顯的提升，知識點繁多，分布分散，使得高中數學的學習成為了一大難點.又因為數學學科在高考中所占的比重較大，因此也是學習的重點.盡管如此，高中數學的學習并不是毫無章法的，在解決不同類型的習題時可以尋找、總結出規律.

在教育改革不斷深入的背景下，高中數學的學習不再局限于知識點的學習，培養學生的解題能力與提升學生的數學思維能力是當下高中數學教學的重點.數學是一門對學生的邏輯思維能力要求較高的學科，解題能力在一定程度上能體現學生的理論知識掌握情況.正因如此，全方位、多途徑地提升學生的解題能力，才能使得學生更好地理解高中數學知識，提升應用數學的能力，把不同學習階段的內容串聯起來，形成一個完整的知識體系，在這個過程中也能形成適合自己的數學解題思想.

二、解題能力提升策略導向

（一）穩抓基礎知識，加強理解學習

要想提升學生的解題能力，首先要做的就是強化學生對基礎數學知識的掌握，加強學生對基礎知識的學習，做到內化于心.筆者在教學過程中發現，很多數學習題都是教材中基礎知識點的變換或變形，歸根結底就是課本上的性質或定理，只是加上了具體的數學情境.盡管如此，在解決這些數學問題的過程中，有相當一部分的學生把這些“變形基礎題”看成難題，這就說明這部分學生對于課本知識點掌握得不牢固，理解不深刻，看不出習題的本質所在.

在蘇教版高中數學教材中，基礎知識都比較簡單，是學生學習高中數學的入門資料.盡管如此，在日常的教學過程中，教師不能忽略了教材基礎知識，一味地求難、求異，只有強化基礎訓練，才能使得學生將理論知識融會貫通，在做題時能較快地想到解題思路.除此之外，數學教師在講授過程中也要注意方法，在講解習題時要引導學生總結習題背后的數學概念或基礎定理、性質，讓學生知其然，更知其所以然，提高解題能力.

（二）提升審題能力，明確解題方法

由于中學生的思維能力尚不發達，在題干要求比較復雜時，難免會存在理解不完全甚至理解錯誤的情況.因此，教師在強調審題的同時，要加強學生理解能力的培養，從根本上提升學生的審題能力.比如，蘇教版高中數學選修的導數部分有這樣一題：

（三）知識內容為主，思想方法為輔

高中數學知識點繁多，融合了代數、幾何等諸多的知識，難度水平較高，因此對學生的基礎知識掌握情況以及知識運用能力是較大的考驗.盡管如此，知識點都是成體系的，不同的知識點、不同的習題都可能存在共通性，題目不同但采用的思想方法可能是相同的.因此，在日常的教學過程中，數學教師需要從思想方法著手，引導學生探索、總結有效的解題思路與解題方法.

1.方程與函數思想

函數思想就是對函數基礎內容更深層次的概括，在不等式、數列、方程等內容中均有所體現.與函數思想相關的，方程思想也是現階段高中數學學習中常用的思想方法，也是各地高考命題的重要內容.方程思想在各類數學計算題中應用廣泛，能極大地展現學生的數學計算能力.對比各地歷年的高考數學試題，筆者發現方程內容占比相當大.

綜上，廣大一線數學教師要注意學生函數思想和方程思想的培養.下面是蘇教版數學教材中的應用實例：

例2 若不等式x2+ax+1≥0在范圍內恒成立，試求a的最小值.

方法2：設函數y=x2+ax+1，結合二次函數圖像分析，注意對稱軸與區間]的相對位置關系，分三種情況討論.

方法3：設函數y1=x2+1，y2=-ax，可將原問題轉化為），可得a≥，即a的最小值為

2.分類討論思想

分類討論的解題思想的依據就是待解決對象的性質和特征，以此為基礎，從多個情況對問題進行劃分，單獨分析，最終匯總得出結論.這一解題思想的一大特點就是涉及的數學知識點比較多，邏輯性與綜合性較強，因此是對學生基礎知識的掌握程度以及分類思想的直接體現.下面以蘇教版教材中的數列問題為例.

在等差數列的教學過程中，根據公差的正負情況可以將等差數列分成遞增數列、常數列以及遞減數列；與此相類似的，對于等比數列，可以根據公比q以及首項a的范圍對其進行分類：

如果a1＞0，q＞1或者a1＜0，0＜q＜1，那么該數列為遞增數列；

如果a1＞0，0＜q＜1或者a1＜0，q＞1，那么該數列為遞減數列；

如果q=1，那么該數列為常數列；

如果a1＜0，q＜1，那么該數列為擺動數列.

除此之外，在求等比數列前n項和Sn時，首先需要確定公比q的值是否等于1，若已知條件不能判斷，則需要分成以下兩種情況進行討論：

3.數形結合思想

在高中數學問題的解決過程中，數形結合這一解題思路極為實用.通過這一解題技巧，學生可以將代數與圖形有機地結合起來，運用圖像將題目中的代數關系直觀描述.掌握數形結合的解題思想，準確運用圖像與數量的相互關系，學生能厘清條件以及結論之間的層次關系，更好地解決這些問題.

【解答過程】題干中的已知函數可以理解成點（2，3）到動點（cosx，sinx） 的斜率. 因為cos2x+sin2x=1，所以動點（cosx，sinx）圍成的軌跡是一單位圓，原問題也就轉化成了點（2，3）到單位圓某一點連線的斜率問題.由圖1可知，最大值與最小值分別出現在兩切線處，解得原函數值域為y∈

圖1

4.轉化思想

在做題過程中，常常會出現條件缺失或者是解題方法明確但解答過程繁雜的情況，這是教師就需要引導學生換個角度看問題，將問題進行轉化，巧妙地解決問題，而不是一味地進行計算.

例4 a，b，c滿足a2+b2+c2=ab+ac+bc，試判斷長度為a，b，c的三邊組成的△ABC的形狀.

【解答過程】因為a2+b2+c2=ab+ac+bc，

所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，

所以（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=0.

所以a=b，a=c，b=c，

所以△ABC為等邊三角形.

四、結語

在高中數學的學習過程中，數學知識是基礎，數學思想與解題能力是關鍵.為了有效地提升廣大高中學生的數學解題能力，本文以蘇教版高中數學教材為依托，從高中學生核心素養的要求出發，探索了數學解題能力的培養方法，通過具體數學案例詳細介紹了常見的解題技巧，希冀切實提升高中學生的數學學習效率，強化高中學生的數學學習能力，引導學生積極主動地思考、學習，進而有效提升學生的數學學習成績.