淺談學習數學概念的習慣

孫恒來

【摘要】數學概念是反映事物在量或形方面本質屬性的抽象思維形式.各種數學能力，如運算、邏輯思維、空間想象能力等，都以概念為基礎.但很多學生在學習中對數學概念學習不重視，或只限于一知半解，把“會解題”作為數學學習的唯一目的，導致在后續學習中很難有提升空間，或在解題中經常出現一些概念性的錯誤，而無法得到有效糾正.

【關鍵詞】數學概念；策略；理解；表述

數學概念是指反映事物在量或形方面本質屬性的抽象思維形式.數學概念是數學內容的基本點，是邏輯導出定理、公式、法則的出發點，是建立理論系統的著眼點.同時，它又是學生認知的基礎，是學生進行數學思維的起點.

一、概念學習的策略

概念形成主要依靠對感性材料的抽象概括，而概念同化則主要依靠對感性經驗的抽象概括.因此，感性材料或經驗是影響概念學習的重要因素.相應的概念學習策略，具體從以下幾方面來看：

（一）直觀模型的運用

表示概念的符號，除語言文字外，還采用一種與概念相“匹配”的特殊視覺符號——直觀模型.直觀模型相對于語言媒介來說，直觀，易于從知覺上加以理解，使學生迅速正確理解概念的內涵.甚至，僅憑直觀模型，也能迅速理解把握概念，這是語言媒介所不及的.從心理學角度分析，當概念與表達概念的直觀模型緊密地結合在一起時，這一直觀模型將作為概念的代表物貯存在記憶中.當遇到與某一概念相匹配的直觀模型時，就能直接領會與之相應概念的本質特征.當需要從記憶系統中提出某個可利用的概念時，常常先再現與之相應的直觀模型，然后再進一步喚起對符號意義的回憶.因而，直觀圖形是知覺的重要媒介，它對學生掌握一類事物的本質特征，具有十分重要的意義.

（二）變式策略

數學概念的抽象、獨立、邏輯性強等特點，常常會造成學生在概念學習時以偏概全的現象.所以，學生在學習數學概念時，所呈現的例子應從不同的方面體現出數學概念的本質，使學生達到對數學概念的充分理解.從語言學角度來說，“詞感優先于詞義”，只有培養了學生對數學概念語言的詞感，才能使學生對數學概念充分掌握.

（三）正反例的明智組合

“概念或規則的正例傳遞了最有利于概括的信息，反例則傳遞了最有利于鑒別的信息.”在對概念進行舉例時，為突出概念的本質屬性，減少學習困難，應選取典型的概念例證，幫助我們在概念學習中抓住本質屬性，理解概念的各個方面.而反例的適當使用可以使學生對概念的理解更加精確，并且還可排除無關屬性的干擾，從另一個方面抓住數學概念或規則的本質，彌補正面闡述中的不足.

二、數學概念的理解

1.列舉典型，正反例比較：當正面事例和反面事例有明顯的區別時，列舉典型實例，辨析概念.

2.利用圖形、關鍵詞等：借助形使概念形象化，通過對關鍵詞的分析習得概念.

3.用自己的語言表述：如果學生自己用言語來表述相關屬性，能更好地習得概念，且較容易把它應用于新的情境.學生若能用言語來表示無關屬性，也能從中得益.

4.操作實物或模型：學生若能操縱實物或模型，比只讓他們觀看更容易習得概念.

5.及時反饋：反饋越是完整，學習效果越好.學生若能知道自己對錯原因，將有助于學習.學生反饋信息要精確、完整，任何模棱兩可的信息或錯誤信息，都會干擾概念學習.

6.充分思考：在學生學習概念時，必須為他們提供足夠的時間來同化給予他們的信息.

7.融會貫通：許多概念是相互聯系在一起習得的.所以理解概念要縱橫聯系、比較，達到融會貫通、靈活運用的目的.

三、數學語言的表述

從心理學角度看，語言表述實質上是個體內化（獲得）以后的外化（理解），整個學習過程，就是個體內化與外化，具體與抽象螺旋式前進的認知過程.要將頭腦中的概念傳遞出來，或者在已有概念的基礎上形成高層次的概念，必須借助語言和符號表示.因此，采用恰當的學習策略，準確地進行數學語言的表述，不僅直接影響到邏輯推理的進行，也影響到數學概念的形成.另外，學生能夠用自己的語言正確地敘述概念，解釋概念所揭示的本質屬性，這是學生深刻理解概念的一種標志.

數學語言其形式從廣義上來講可分為文字語言、符號語言、圖形語言三種形式.同一個數學概念用文字語言表示則生動，用符號語言表示則簡練，用圖形語言表示則直觀形象，但有些概念又可能用文字語言表示過于煩冗，用符號語言表示又嫌抽象，而圖形表達有時又未必全面.學生必須學會將一種語言翻譯成另一種語言.在數學概念學習中，各種形式之間的“轉譯”是數學語言表述的重要策略之一.從轉移的途徑來看，主要有：（1）數學語言之間的相互轉化.如，將文字語言、符號語言轉譯成圖形語言，以形助數，即“數形結合”數學思想的應用：將文字語言、圖形語言轉譯成符號語言，即“符號化”數學思想的應用等等；（2）用習慣的形式符號（語言）來描述新概念.用習慣的形式符號和語言來描述新概念，意味著學生對概念的內涵和外延都有了比較準確和全面的理解，順利地建立起了符號（語言）與概念的實質內容之間的內在聯系，使學生在看到新符號時就能夠聯想起符號所代表的概念及其本質特征.從轉移的過程來看，轉移策略實際是發揮了語言在不同抽象層次上的作用，普通語言的通俗、具體；圖形語言的直觀、形象；符號語言的抽象化、形象化、精確化，使思維活動進行了若干次“具體—抽象—具體”的轉折，因而，有助于數學概念的理解.